Olen eka vuoden matematiikan ja tilastotieteen opiskelija, juuri aloittanut. Silmäilin tuossa uteliaisuudesta edistyneenpää matemaattisen tilastotieteen opusta, jossa nuo käsitteet olivat alkusivuilla. Katsoin niitä Wikipediasta, mutta taitoni eivät oikein riitä ymmärtämiseen. Kaipa ne opiskellessa sitten oppii.
Mutta viitsisikö joku jo nyt ystävällisesti selittää verbaalisesti, miten nuo eroavat "tavallisista" joukoista ja integraaleista. Kiitos, jos!
Mutta viitsisikö joku jo nyt ystävällisesti selittää verbaalisesti, miten nuo eroavat "tavallisista" joukoista ja integraaleista. Kiitos, jos!
Vastaukset 18
Vanhimmat
Borel-joukot ovat oleellisesti sama asia kuin reealilukujen joukon R osajoukot. Hullut matemaatikot ovat vain tulleet keksineeksi, että on olemassa sellaisia reaalilukujen osajoukkoja, joiden tilavutta ei voikaan mitata. Nyt niitä joukkoja, joilla on tilavuus, on alettu kutsumaan Borel-joukoiksi. Käytännössä kaikki vähänkin järkevät reaalilukujen osajoukot ovat Borel-joukkoja.
Ja Stieltjes-integraali tarkoittaa sitä, että intergoitavaa funktiota painotetaan eri lailla eri pisteissä. Esimerkiksi jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvon laskeminen voidaan tehdä integroimalla muuttujan arvoa, kunhan sitä painotetaan tiheysfunktiolla.
Wikipedian selitykset ovat tosiaan aika vaikeita. Matemaatikoilla on taipumus sanoa helpot asiat hankalasti. Selkeys uhrataan täsmällisyyden alttarilla...
Borel-joukot ovat pienin sigma-algebra joukkoja, joka sisältää avaruuden topologian. Ei niillä ole mitään tekemistä R:n kanssa.
Selkeyttämisen ei sentään pitäisi tarkoittaa potaskan puhumista. Wikipedian artikkeli on roskaa.
No höpsistä sulle. Eka lause on totta, toka väärin ja neljäs myös väärin. Kolmas sentään oikein.
Minusta matemaattinen osaaminen on syytä rakentaa vahvaksi, eli olet lukemassa taidoillesi liian vaikeaa asiaa. Nuo Borel-joukot on selitetty osoitteessa http://math.stackexchange.com/questions/179734/basic-help-with-sigma-algebras-and-borel-sets . Stieltjesin integraaleista on annettu intuitio osoitteessa http://math.stackexchange.com/questions/764/riemann-vs-stieltjes-integral?rq=1
Kuten nimimerkkikin sanoo, nuoren uteliaisuutta vaan, asia siirtyy automaattisesti tuonnemmaksi kunhan saa tietää suunnilleen, mihin kohtaan matematiikan kartalla tuollaiset otsikot sijoittuvat :)
Kiitos vastauksista! Olen nyt hivenen tietävämpi.
Tyhmä (?) kysymys: kun lasken odotusarvon E(x) = int[x*f(x)]dx, niin laskenko siis itse asiassa Stieltjes-integraalin? f(x) on siis tuossa tiheysfunktio.
Ei mikään tyhmä kysymys, turha kysymysmerkki suluissa. Lasketpa odotusarvon kanssa hyvinkin Stieltjes-integraalin. Eivät ne integrointisäännöt siitä miksikään muutu. Borel-joukot ovat vähän vaikeampi ja aika abstrakti asia, eikä koko käsitetttä juuri tarvita muuta kuin hyvin eksaktissa alan matemaattisessa esityksessä.
Plussia nimim. Noitelle yllä: kyllä asiat voi selittää verbaalisestikin selkeästi! Oikeassa tietysti muutkin kommentoijat ovat, mutta olihan aloittaja toki selvästi ilmoittanut matemaattisen tietämyksensä statuksen. Varmasti oppii vielä lisää, ja tuollainen uteliaisuus on vain hyvä merkki! Tsemppiä!
Tuo on tavallinen Riemann-integraali.
Stieltjes-integraali on muotoa int(x) dF(x). Toisin sanoen se "painotusfunktio" on differentiaalisymbolin jälkeen.
Mikäli F'(X) = f(x), niin saattaa päteä int(x*f(x))dx = int(x) dF(x) eli Stieltjes- integraalia vastaa antamasi Riemann-integraali. Silti tämä ei päde aina siinäkään tapauksessa (ks. https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann–Stieltjes_integral#Generalized_Riemann.E2.80.93Stieltjes_integral , Properties and relation to the Riemann integral)
Stieltjes-integraalissa F(x):n ei kuitenkaan tarvitse olla derivoituva tai edes jatkuva, ja jos se ei sitä ole, niin S-integraalia ei voi lausua antamassasi Riemann-muodossa.
Ja siis Stieltjes-integraalin ideasta sen verran, että tarkoituksena on painottaa summaa (integraalia) toisen funktion g(x) "muutosnopeudella".
Riemann-integraali on erikoistapaus Stieltjes-integraalista: tällöin g(x) = x eli vakiofunktio. Vakiofunktion muutosnopeus on kaikkialla sama, joten integroitava funktio f(x) saa kaikkialla saman painotuksen integraalia laskettaessa.
Sen sijaan jos valitaan g(x) = x^2, niin funktion kasvunopeus kiihtyy (koska derivaatta 2x suurenee). Tällöin suuremmilla x funktiota f(x) painotetaan enemmän kuin pienemmillä x.
Muistaakseni ainoa vaatimus g(x):lle on, että se on kaikkialla määritelty ja monotonisesti kasvava, mutta ainakaan wikiartikkelin mukaan viimeksimainittua rajoitusta ei olisi - tosin nolla- tai miinusmerkkinen painotus voi johtaa vähän hassuihin lopputulemiin.
Stieltjes-integraali on askel kohti vielä yleisempää Lebesque-integraalia, jossa tuo nk. integrointimitta dx voidaan määritellä vielä yleisemmin.
Kiinnostavampi integraali on sitten Lebesguen integraali, liittyy mittateoriaan ja sitä kautta todennäköisyyslaskentaan.
Stieltjes integraalithan ovat juurikin integraaleja mitan suhteen, joten eikös kyseessä ole juuri Lebesgue-integraali? Sitten, jos mitta on "derivoituva", niin sen voi esittää tuon painofunktion avulla, joka on siis tuo "derivaatta".
Harvoinpa noita tulee muisteltua, mutta minulla on sellainen käsitys, että Lebesgue on laajempi kuin Stietljes. Perusteluksi se, että vaikka integraalien "takana" olevat Borel-joukot kyllä ovat Lebesgue-mitallisia, niin kaikki Lebesgue-joukot eivät ole Borel-joukkoja.
Minusta Lebesgue–Stieltjes yleistää Lebesgueta, joten Lebesguen–Stieltjesin integrointi on vähintään yhtä yleinen menetelmä kuin Lebesguen integrointi. Samoin Riemann–Stieltjes yleistää Riemannin integraalia, joten Riemannin–Stieltjesin integrointi on vähintään yhtä yleinen menetelmä kuin Riemannin integrointi, mutta tämä on ei ole yhtä yleinen menetelmä kuin L–S. Eli riippuu siitä, kumpaa Stieltjesin integraalia tarkoitetaan.
Hei fffffs, kun lienet aktiivisesti lähimpänä matematiikkaa, niin panisitko nuo Riemannin, Lebesguen ja Stieljesin integraalit yleisyysjärjestykseen. Itselläni on jossain ullakolla muinaiset muistiipanoni prof. Hyyrön luennoilta, joissa noita integraalien yleisyyskysymyksiä käsiteltiin, mutta en tätä varten viitsisi kaivaa niitä esiin.
Tämä nyt etenee aika kauaksi aloituksesta, mutta niin aina ...:-).
Yleisyys järjestykseen?, eiköhän Riemann ole käytetyin integraali niiden joukossa jotka integrointia joutuvat suorittamaan.
Yleistysjärjestys:
Daniell
Lebesgue-Stieltjes
Lebesgue Riemann-Stieltjes
Riemann
Darboux
Aika karkea yritys, kun eri integraaleissa on eri lähestymistavat. En tunne Hyyrön luentomateriaalia.
Juu, noin se minunkin käsittääkseni menee, vaikka lähestymistavat vaihtelevatkin.
Mielenkiintoista, mutta ei noita kyllä ole koskaan tullut vastaan käytännössä, esim. fysiikassa. Riemannin integraalin määritelmä on mielenkiintoinen lähinnä siitä syystä että määritelmän mukaan integraalin laskeminen täsmällisesti äärettömän suppenevan sarjan avulla on myös mahdollista. Kun integrandin osavälit jaetaan äärettömän pieniksi suorakulmioiksi ja lasketaan summa niistä. Se ei kuitenkaan ole suositeltavaa, koska äärettömän suppenevan sarjan laskeminen täsmällisesti on yleisessä tapauksessa usein hankalampaa kuin integroiminen. Numeerisesti laskettuna joudutaan tekemisiin sarjojen kanssa kuitenkin, mutta se on eri asia.
Siis mikä yleisyysjärjestys?
"eiköhän Riemann ole käytetyin integraali niiden joukossa jotka integrointia joutuvat suorittamaan."
Jos jokainen Riemann-integroituva funktio on Lebesgue-integroituva, niin Lebesguen integraali on ainakin yhtä yleinen kuin Riemannin integraali.
Täsmällisempi vastaus vaatisi varmaan täsmällisemmän tiedon siitä, miten yleisyyttä mitataan.