Olkoon vektorit a =2i-3j ja b=i kj. Määritä vakio k siten että vektorit a b ja 2a-3b ovat yhdensuuntaisia.
Näin yritin ratkaista mutta ei onnistu->
a b = 3i (k-3)j
2a-3b = 4i-6j-3i-3kj i-(6-3k)j
a b = t(2a-3b)
-> 3i (k-3)j=ti-t(6-3k)j
Ja tosta i:n ja j:n kertoimia vertaamalla
3=t ja k-3=-t(6-3k)
tosta sit ratkaisin k:oon mutta eipä se kelpaa oikeaksi vastaukseksi. Hjelp!
Näin yritin ratkaista mutta ei onnistu->
a b = 3i (k-3)j
2a-3b = 4i-6j-3i-3kj i-(6-3k)j
a b = t(2a-3b)
-> 3i (k-3)j=ti-t(6-3k)j
Ja tosta i:n ja j:n kertoimia vertaamalla
3=t ja k-3=-t(6-3k)
tosta sit ratkaisin k:oon mutta eipä se kelpaa oikeaksi vastaukseksi. Hjelp!
Vastaukset 10
Vanhimmat
mmh...
k:lle yhtälö: 2/1=(-3)/k => k=-3/2
Katsoin vektorisi epähuomiossa väärin. Toivottavasti periaate selvisi.
Kannattaa vielä muistaa, että tulee kaksi vastausta. Yhdensuuntainen vektori kun voi sojottaa samaan suuntaan kuin alkuperäinen, tahi päinvastaiseen.
> a =2i-3j ja b=i kj
> 2a-3b = 4i-6j-3i-3kj i-(6-3k)j
Tässä on ilmeisesti merkkivirhe. Po.:
2a - 3b = 2(2i - 3j) - 3(i kj) = i - (6 3k)j
Mitä alkuperäiseen ongelmaan tulee, ratkaisun saa hyvin helposti myös ristitulolla¹. En ole varma, opetetaanko sitä lukiossa, mutta Maolissa se kyllä on. Ristitulolle pätee: a x b = 0 a||b.
Merkitsen vektoria ai bj ck merkinnällä (a, b, c), koska k-yksikkövektori sekoittuisi muuten vakioon k:
(a b) x (2a-3b)
= (3, k-3, 0) x (i, 6 3k, 0)
= (0, 0, -15-10k)
-15 - 10k = 0 k = -3/2.
¹ Tässä siis 2-ulotteisille vektoreille 3. komponentti on 0, jolloin ristitulon laskiminen on todella helppoa.
Samaan päästään myös vektorien pistetulolla, joka merkitään itseisarvoltaan ykkösen suuruiseksi. Tuloksena on kaksi ratkaisua joko samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset vektorit.
"Samaan päästään myös vektorien pistetulolla, joka merkitään itseisarvoltaan ykkösen suuruiseksi."
Pätee korkeintaan joissain erikoistapauksissa (jos vektorit ovat ykkösen pituisia). Yleisestihän tuo väite ei pidä paikkaansa:
s = (1, 2, 3)
t = (2, 4, 6)
Vektorit s ja t ovat yhdensuuntaiset, koska t = 2s. Näiden pistetulo on kuitenkin = 28 ≠ 1.
Jos vektorit normeerataan, niin saadaan kyllä:
= 1.
"Tuloksena on kaksi ratkaisua joko samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset vektorit."
Ei kaikissa yhdensuuntaisuustehtävissä automaattisesti ole kahta ratkaisua. Eikös tehtävä nyt ollut tyyliin: s = (1 1), t = (1 k); määrää k siten, että s ja t ovat yhdensuuntaisia. s||t, jos s = αt tai s = -αt jollakin α.
Olennaista tässä on, että muuttelemalla t:n yhtä komponenttia et mitenkään saa luotua siitä s:lle vastakkaissuuntaista vektoria. s:n suuntaisen t:stä saa tasan yhdellä k:n arvolla (k=1), joten ratkaisuja on täsmälleen yksi.
Kun vektorit normalistetaan ykkösen mittaisiksi, niin edellä kerrotulla pistetulolla saadaan myös oikea vastaus. Mutta vektoreiden normalistamisen ratkaisu todellakin vaatii.
Laskin tehtävän sekä samansuuntaisten että vastakkaissuuntaisten vektoreiden pistetuloilla, ja samansuuntaisena tuli vastaukseksi toisen asteen yhtälöstä tuo -3/2 kaksinkertaisena juurena. Vastakkaissuuntaisena - tuosta selittämästäsi syystä - tehtävällä ei ollut reaaliratkaisua.
mites jos a=b
2i-3j=i kj
kj=2i-3j-(1)i | /j
k=( 1i-3j)/j
b=i (i-3j)/j*j
b=i (i-3j)
b=2i-3j
vektorit on kaikista helpoin laskea librevitunofficella:)
Mitä lie vektori i k j? Jos sillä tarkoitetaan vektoria i k j, niin näin se käy:
a = 2 i - 3 j, b = i k j.Määritetään x ja y siten, että a = x b ja b = y(2a - 3 b).
2 i - 3 j = x(i k j). Siis x = 2 ja 2 k = - 3 eli k = - 3/2.
nyt a = 2 i - 3 j = 2( i - 3/2 j) = 2 b joten a ll b.
b = i - 3/2 j = y(4i - 6 j - 3 i 9/2 j) = y (i - 3/2 j) eli y = 1.Joten a ll b ll 2a - 3 b.
Siis: k = - 3/2.
Todettakoon vielä, että yhdensuuntaiset vektorit osoittavat samaan suuntaan. Vektori, jonka "nuoli" osoittaa vastakkaiseen suuntaan, ei ole yhdensuuntainen vaan vastakkaissuuntainen. Esim.
i ja - i eivät ole yhdensuuntaiset. Jotkut kirjoittajat ovat sekoittaneet janojen yhdensuuntaisuuden ja vektorien yhdensuuntaisuuden.
Ohman