Tukista, jonka halkaisija on 41.3 cm, sahataan kattopalkki. Tukin poikkileikkaus on ympyrä, ja palkin poikkileikkaus on suorakulmio, jonka kärjet ovat tämän ympyrän kehällä.
Kattopalkin lujuus on suoraan verrannollinen suureeseen xy2 , missä x on palkin leveys ja y on palkin korkeus. Kuinka leveä on yllämainitusta tukista sahattu mahdollisimman luja kattopalkki?
Mites tollane lasketaa?
Kattopalkin lujuus on suoraan verrannollinen suureeseen xy2 , missä x on palkin leveys ja y on palkin korkeus. Kuinka leveä on yllämainitusta tukista sahattu mahdollisimman luja kattopalkki?
Mites tollane lasketaa?
Vastaukset 33
Vanhimmat
Sinun täytyy maksimoida tuo funktio xy2 (tarkoitatko xy^2?) noilla annetuilla rajoituksilla. Selviät yhdellä muuttujalla. Vihje: Laita tukin keskikohta origoon ja ota muuttujaksi kulma a, joka muodostuu kun tarkastelet tuota sisäänasetettavan suorakulmion pos. neljänneksessä olevaa nurkkaa. Tällöin x-akselin arvo (eli puolet kysytystä leveydestä) on säde*cos(a) ja y-akselin arvo (puolet kysytystä korkeudesta) säde*sin(a).
Yhtälöt:
max xy², kun x² y² = 41,3².
Ratkaise jälkimmäisestä y² ja sijoita edelliseen, minkä jälkeen etsit lausekkeen derivaatan nollakohdan ja täten alkuperäisen lausekkeen maksimin.
Okei eli sain nyt tallasen lausekkeen -3x^2 1705,65 ja sen nollakohdat on -41,2 0 ja 41,2. Miten sen maksimin saa?
Nollakohdat väärin. Oikeat ±23,845.
Vaikka piirtämällä funktion (ei derivaatan) kuvaajan ja päättelemällä siitä minimiä ja maksimia vastaavan x:n arvon. Funktion maksimiarvohan ei edes kysystty.
Rakennusstatiikassa käytetään palkin osalta muotoa b*h^3/12.
Tuo pätee taipumiin. Jännityksiin bh²/6.
Taivutusvastus W=bh^2/6.
Palkin neliömomentti on bh^3/12.
http://www2.amk.fi/digma.fi/www.amk.fi/material/attachments/vanhaamk/digma/5h5F56QYb/LOS19.pdf
Tehtävän annossa kerrottiin, että kattopalkin lujuus on suoraan verrannollinen suureeseen xy2, missä x on palkin leveys ja y on palkin korkeus. Tehtävässä haetaan siis maksimiarvoa palkin taivutusvastukselle W=bh^2/6, missä b=leveys ja h=korkeus. Tällöin palkki on mahdollisimman luja.
Taivutusvastuksen kaavaa ei kerrottu tehtävän annossa, mutta lähtötietoina riittää tieto, että palkin lujuus on verrannollinen suureeseen suureeseen xy2.
Esitetyssä ratkaisussa laitettiin tukin ja palkin keskikohta origoon, siis ympyrän keskipisteeseen, jolloin x-akseli kulkee leveyssuunnassa ja y-akseli pystysuunnassa.
Edellä annettiin ratkaisuksi x-akselin suunnassa ±23,845, jolloin palkin leveydeksi tulisi 2 * 23,845 cm = 47,69 cm.
Lähtötiedoissa kuitenkin annettiin tukin halkaisijaksi 41,3 cm, joten edellä esitetty ratkaisu ei vaikuta olevan oikein?
Varmaan ne poisveistetyt osat liimataan palkkiin sopiviin paikkoihin.
Lankun leveydeksi tulee 23.845. Mistä olet saanut ajatuksen, että korkeus ilisi kaksinkertainen? Väärä ajatus. Korkeudeksi tulee 33,72
Ymmärrys hoi! Kyseessä olivat yhtälön juuret, eivät leikkauspisteiden koordinaattiarvot.
Kun lisäksi x merkitsee leveyttä, niin arvon täytyy olla positiivinen.
Näinhän se on. Korkeus vaikuttaa taivutusvastukseen tehokkaammin, vaikka leveys samalla vähenee.
Tietysti lujin palkki saadaan kun rungosta sahataan mahdollisimman suuri neliskanttinen parru.
Eli ympyrän sisään piirretty neliö...Tulee ilman derivoimista suurin mahdollinen
Et taida tietää paljon mitään lujuusopista. Miksiköhän esim. talojen kattotuolit ovat suorakulmioita eivätkä neliömuotoisia. Mieti sitä.
Ovathan lattialankutkin lappeellaan, eivätkä syrjällään. Mieti sitä.
Riippuu aivan tarvittavasta lattian lujuudesta. Olen nähnyt lattioita, joissa lankut ovat syrjällään.
Mietipä sitä.
Mutta nyt ei maksimoitu alaa xy vaan taivutusvastusta xy²/6.
Lattialankkujen alla ovat palkit jotka ovat pitempi sivu pystyssä. Ja niiden palkkien väli voi alla vain pari metriä, muuten lankku taipuu liiaksi.
Mietipä sitä.
Puutalojen seinissä lankut ovat pystyssä. Mieti sitä.
Puun laadullakin on oma merkityksensä. Eri puulajeilla on erilaiset lujuusominaisuudet eikä kaikkia puulajeja kannata käyttää KANTAVISSA rakenteissa.
Kantaviin rakenteisiin pitää käyttää ainoastaan lujuusluokiteltua puutavaraa. Noin sanottu "kotitarve" sahaus oman metsän puista ei aina tuota kunnon puutavaraa kantaviin rakenteisiin.
Puutavarassa on huomoitava myös "vapaa pituus" eli tukipisteiden välinen etäisyys toisistaan. Märkä puu kuivuessaan saattaa tuoda yllätyksiä kantavissa rakenteissa. Myös "naulaustekniikalla" on oma merkityksensä kantavissa rakenteissa.
Yksi laskukaava ei anna vastausta rakenteiden lujuusominaisuuksiin. Kannattaa käyttää ammattimiehiä tässäkin asiassa.
Ollaanpa sitä nyt niin helvetin ammattimiestä että. Luuletko sinä aivan tosissasi, että kymmeniä vuosia puutavaraa käsitelleet ja käyttäneet ihmiset eivät käytännössä luonnostaan ymmärrä puutavaran erilaista lujuutta? Että hidaskavuisesta, tiheäsyisestä tukista saadaan lujempaa ja jäykempää lankkua kuin räkämännystä? Tai että puutavara kuivuessaan kutistuu, ja vielä eri tavalla eri suuntiin?
Kyllä niitä rakennevirheitä vaan näyttää jatkuvasti ilmaantuvan. (myös joillekin ammattilaisille). On ihan paikallaan muistuttaa näistä turvallisuusseikoistakin.
Rakenteiden lujuudessakin on huomioitava myös ne "varmuuskertoimet" eli rakenteet mitoitetaan "yli" sen teoreettisen laskennan.
Esimerkiksi tuulen voimat on myös huomioitava ko. paikkakunnalla. (m/s)
Rakenteita EI mitoiteta pelkän staattisen kuormituksen varalta. (massapaino)
Ei tämä ole saivartelua. Muunmuassa siltojen suunnittelusssa on on huomioitava myös tuulikuorman vaikutus. Televisiossa on joskus esitetty miten eräs riippusilta tuhoutui tuulen voimasta (rakenteet alkoivat heilua)
Kysymyksenasettelu ei ole täysin johdonmukainen, sillä puun vetolujuus on suurempi kuin sen puristuslujuus, minkä vuoksi palkin ns. neutraaliakseli ei ole palkin keskikohdalla. ja tämä vaikuttaa myös palkin käytettävyyteen.
Eri kuormituksilla, käyttöolosuhteilla ja puun laadusta liittyvillä seikoilla on merkitystä myös määritettäessä suurinta taipumaa palkin keskellä.
Taipuman laskennassa on palkin hitausmomentti tärkeä ja taipuma sekä taipumaviiva saadaan sen ja tunnetun suunnittelukuormituksen perusteella laskettua integroimalla. Taipuma ei saa ylittää sallittua arvoa eivätkä puristus- ja vetojännitykset sallittuja arvoja.
Palkin neutraaliakselin paikan jännityksen ollessa myötörajan alapuolella määrittää vain materiaalin kimmokerroin, ei materiaalin lujuus. Palkin myödön alettua väittämäsi pätee.
https://noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/rak-43.2300/luennot/Rak-43_2300_puupalkit.pdf
Mitä minä juuri totesin, ks. s. 34. Puristuspuoli myötää.
Ai.
Ei se niin mene tehtävän ja sen asettelun kannalta.
Hyvää Joulua.
:8)
P.S Hooken lailla ei tässä ole mitään tekemistä.
Lujuuslaskennassa käytettävät varmuuskertoimet sen takaavat.
Sinä näköjään sotket suloisesti lujuustarkastelun teoreettiset perusteet ja normien mukaisen lujuuslaskennan keskenään. Jälkimmäinen on vain yksinkertaistettu versio edellisestä, koska insinööri Taavi Tavallinen ei hallitse teoriaa riittävän laajasti (jännitysten todellinen jakautuminen, materiaalin plastinen käyttäytyminen, halkeilu jne.) kyetäkseen sen perusteella käytännön rakenteiden mitoitukseen. Lisäksi tuollainen lähestymistapa valtaosassa tapauksista olisi hyttysen ampumista tykillä.
Kerroin vain oman käsitykseni alkuosan kysymyksenasettelun osalta.
Sen sain 70-luvulla opiskellessani rakennusinsinööriksi opetuksesta.
Toistaiseksi kaikki mitoittamani sillat, talot ja muut rakenteet ovat toimineet.
:8)
Tuolla esitetty sahattujen sivujen liimaaminen olisi hyvä idea, muutenhan tuossa puhutaan yhdestä tukista josta pitäisi saada mahdollisimman luja palkki.
Voisiko joku jolla on tuoreemmassa muistissa lujuusoppi, esittää laskelman, mikä on paras vaihtoehto, tuo ympyrän sisään piirretty neliö, vaiko korkeuden optimointi.
PS. en ole nähnyt neliskulmaisia enkä neliömäisiä kattotuolejakaan. Kaikki ovat ansas rakenteita, ja kolmioita
Edellä esitetty ratkaisu, jossa laskettiin leveydeksi 23,845 cm ja korkeudeksi 33,72 cm, on täysin oikea ratkaisu, vaikkakin tämän ketjun alkupään kommenteissa esitetyissä kaavoissa oli virheitä.
Lujuusoppia opiskelleet tietävät, että lujin ratkaisu ei ole poikkileikkaukseltaan neliön muotoinen palkki ja toisaalta eihän ratakiskot tai kattotuolitkaan ole poikkileikkaukseltaan neliön muotoisia.
Toisaalta liimapuusta valmistettujen palkkien käytöstä voi lukea vaikka Turvallisuustutkinnan linkeistä, esim:
http://www.turvallisuustutkinta.fi/fi/index/tutkintaselostukset/muutonnettomuudet/tutkintaselostuksetvuosittain/muutonnettomuudet2003/b22003ymessuhallinkatonromahtaminenjyvaskylassa1.2.2003.html
Liimapuupalkit tehdään höylätystä puutavarasta, pelkkä sahaus ei tuo riittävän hyvää pintaa liimaukselle.
Liimapuupalkeista löytyy myös lujuusluokittelu merkinnät. Liimapuupalkkeja ei taida kannattaa tehdä tee-se-itse menetelmällä koska valmista määrämittaista tavaraa saa suhteellisen halvalla.
Eikä tule rakennusvalvonnan kanssa mitään ongelmia.