Kartion pinta-ala voidaan laskea tasolle auki rullattuna: Kartion pohjaympyrä on yhtä pitkä kuin sektorin kaari ja sektorin säde on kartion sivun pituus.
Miten todistetaan että kartion ja tasolla sitä vastaavalla ympyräsektorilla on sama pinta-ala. ?
Kartio avattuna tasolle todistus
jäi-selvittämättä
16
1495
Vastaukset
Tuo on hyvä kysymys ja osoittaa esittäjältään oikean tyyppistä matemaattista ajattelua. Vastaus tuohon on se, että kartion pinta pitää pystyä kuvaamaan bijektiivisesti siihen tason ympyräsektoriin siten, että metriset ominaisuudet eivät muutu. Toisin sanoen pisteiden väliset etäisyydet ja kulmat pysyvät muuttumattomina.
- Näin_ajatellut
Voisi myös ajatella, että kartiopinta korvataan säännöllisellä, kolmioista koostuvalla monitahokkaalla. Kun monitahokkaat sivuavat kartiota sekä ulko- että sisäpuolelta, saadaan levittyvän tasopinnan alalle ala-ja ylälikiarvot.
Kun sitten sivujen määrän annetaan lähestyä ääretöntä, niin raja-arvona saadaan kartion vaipan levitetty ala. - jaapsk
Meillä annettiin tuo koulussa. Miten määritellään kartion pinta-ala? Ilmeisesti jonakin pintaintegraalina? Sitten tuo integraalin pitää olla yhtä suuri kuin ympyräsektorin ala.
- dssitikka
A= integral from 0 to h (2pi*y*(sqrt(1 (dy/dx)^2)dx ,
y=(r/h)*x=>dy/dx=r/h. Sitten vaan sijoitetaan y ja dy/dx - ikkremimiN
h
∫ (2πr/h)x√(1 r²/h²) dx = πrh√(1 r²/h²) = πr√(h² r²) = πrs
0
- Laskee
Sinisalon esittämä metrinen homomorfismi on tyylikäs yleispätevä vastaus. Se tosi edellyttää hieman yliopistotasoisen matematiikan ymmärtämistä.
Kansantajuisesti voidaan ajatella, että pinta-alat ovat samat, jos niillä on sama kaava. Johdetaan kartion vaipan alan kaava raja-arvona seuraavasti. Olkoon kartion pohjan piiri a ja kyljen pituus r. Ajatellaan ensin, että kartion pohja on säännöllinen n-tahokas. Kukin taho on siis kolmio, jonka pinta ala on kanta*korkeus/2. Olkoon kanta r/n. Kun annetaan n:n kasvaa äärettömiin, kolmion korkeus lähenee kartion kyljen mittaa r ja kanta asettuu mielivaltaisen lähelle ympyräkartion kehää. Näiden kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala siis lähenee kartion vaipan pinta-alaa A
A = n * (a/n*r)/2 jossa n = kolmioiden lukumäärä, ja (a/n*r)/2 kolmion pinta-ala.
Sievennettynä A = a*r/2, joka vastaa r-säteisen ympyrän sektorin pinta-alaa.
Huom. Tässä oiottu sen verran, että ei sellaisenaan käy matemaattisesta todistuksesta.- dssitikka
Tuo Sinisalon esitys on itse asiassa pellisepän levitysoppia:
https://sites.google.com/site/rakennuspeltisepaenpt/levitysoppia
- jäi-selvittämättä
Kiitos vastauksista!
Tuossa riitäisikin opiskeltavaa jos tutkisi perusteellisemmin.
Toisaalta jos on taivutellut peltiä tai paperia, vastaus voi olla liiankin ilmeinen (vaikkei matemaattisesti osoitettu).- Tavantahvo
Niin, tässä tullaankin kysymykseen, mitä laajempaa todistamista tehtävässä edes olisi? Tasoksi oikenevat vaippapinta-alat yms voidaan laskea alkeisgeometrian avulla, siitä ei liene erimielisyyttä.
Eri asia on sitten tasoon oikenematon pinta, esim. pyörähdyskappaleissa, ja siihen ylempänäkin mainittu integraalikaava on yksi mahdollisuus. Todellisuudessa vain ei yleensä tunneta funktiota, mikä pitäisi integroida, esim. mikähän olisi kananmunan kuoren pinta-ala.
Ja tottahan tuo integroitava funktio voi olla kaareutuvan sijasta suorakin, jolloin voidaan (leikkimielellä ehkä) 'todistaa' , että tasolla palapelinä olevien pintapalasten summa on sama kuin alkup.kappaleen pinta-ala.
Mutta luulen, että alkup. kysymys ei erityisempää todistelua tarvitse; tuo integraalikaava pitää tietenkin olla todistettu, että se teoriassa antaa oikean pinta-alan, käytännössä funktion tuntemattomuus johtaa analyyttisen ratkaisun sijasta numeerisiin laskelmiin. - jäi-selvittämättä
"Todistaminen" on ehkä väärä sana kuvaamaan mielentilaa, joka kysymyksen sai tekemään. Enemmänkin että mites se noin meni ja miten voisi aina tietää miten pinnat käyttäytyvät ottamatta paperia ja saksia käyttöön. "Todistamiseen" riittänee toisella tavalla saatu yhtäläinen laskentakaava.
- TavanTahvo
Itse asiassa lieriö ja kartio taitavat ollakin ainoat kaarevapintaiset geometrian ideaalimallit, joiden pinnat vääristymättä oikenevat tasoksi, joten siltä osin ruuti lienee tässä keksitty ;)
Nimim. MattiKSinisalo:n ajatus lienee pelkästään tämän kysymyksen kohdalla hieman akateeminen; karttaprojektioissa tasolle eri tarkoituksia varten joudutaan näitä kuvausjuttuja kaiketi miettimään syvällisestikin. - Näin_ajatellut
TavanTahvo kirjoitti:
Itse asiassa lieriö ja kartio taitavat ollakin ainoat kaarevapintaiset geometrian ideaalimallit, joiden pinnat vääristymättä oikenevat tasoksi, joten siltä osin ruuti lienee tässä keksitty ;)
Nimim. MattiKSinisalo:n ajatus lienee pelkästään tämän kysymyksen kohdalla hieman akateeminen; karttaprojektioissa tasolle eri tarkoituksia varten joudutaan näitä kuvausjuttuja kaiketi miettimään syvällisestikin.Tässä pitää vielä yleistää, eli on kyse yleisestä kartiosta ja yleisestä lieriöstä, joiden poikkipinta voi olla jotakin muuta kuin kartioleikkaus. Yleisen lieriön erikoistapauksia ovat viivoitinpinnat, jotka muodostuvat, kun suora liukuu kahta johdekäyrää pitkin. Tällöin voi olla kyseessä esimerkiksi muutoskappale, jossa ellipsi muuttuu ympyräksi eivätkä johdekäyrät ole edes yhdensuuntaisissa tasoissa. Oikeastaan myös muunnoskappaleet suorakaiteesta ympyräksi, niin että päädyt ovat erisuuntaisissa tasoissa, ovat ns. levittyviä kappaleita.
Tässä kuitenkin suora, reaalinen muunnoskappale levityksineen:
http://www.tpub.com/blueprintreading/14040_files/image171.jpg
ja vino ympyräkartio:
http://www.tpub.com/blueprintreading/14040_files/image172.jpg
Sitten vielä muutama varoituksen sana: Levitysgeometriaa ei suhteellisen yksinkertaistenkaan kappaleiden tapauksessa pystytä johtamaan suljettuun muotoon. Jo vino, ympyräpohjainen kartio vie ratkaisun elliptiseen integraaliin, josta ratkaisu on haettava numeerisesti, mutkikkaammasta geometriasta nyt puhumattakaan. Levysepän kolmiointi tietokoneella on ratkaisussa kova sana. Tosin reaalirakenteiden nollasta poikkeava paksuus ja siitä aiheutuva levyn venyminen tekee jutut joskus hieman ikävämmäksi.
- koostus
Ketjun kirjoitusten liikkuma-alue taitaa kaivata pienta ajatusten kokoamista: aloittaja esitti koulukirjatasolta aivan alkeisgeometriasta kysymyksen, miten asiansa voisi perustella. No, perustelun tarve suorastaan katosi hoksaukseen, että ympyräkartion vaippa aukeaakin tasoon ympyräsektoriksi, joten asia muuntui ns.itsestäänselvyydeksi eli 'ilmeiseksi'.
Rakennuspeltisepän oppi on tavallaan hauskakin rinnastus, siellä kääritään kokoon tasopellistä erilaisia 'tötteröitä' :)
mutta tuskin keskitytään teoreettisiin todisteluihin, riittää kun homma tarvittavalla tarkkuudella käytännössä (kirjaimellisestikin) taittuu.
Toinen juttu on sitten ympyrän (ja sektorinkin) pinta-alan pitävä matemaattinen todistus. Se tullee koulussa eteen vasta lukiossa rajankäyntitarkastelujen ja integraalikäsitteiden jälkeen. Tottahan erilaisia jakoja tihentämällä ilman integraalejakin asiaa perustellaan ("voidaan olettaa" -systeemi), mutta onko se 'oikea' matemaattinen todistus?
Kuten edellinen kirjoittaja koulun oppimäärien ulkopuolelta viittaa, jo pelkkä kartion (ympyräkin- sellaisen) vinous johtaa, että vaipan pinta-alaa suljetussa (analyyttisessä) muodossa on mahdoton laskea, numeerisia menetelmiä tarvitaan silloin.- Vaippahemmo
Minua on tässä ketjussa ihmetyttänyt se, että kukaan ei ole todennut ympyräkartion vaipan pinta-alan olevan puolet vastaavan ympyrälieriön vaipan pinta-alasta.
Lieriön vaippa: A=2pi*R*s
Kartion vaippa: A=pi*R*s - olisikonoin
Ensimmäisen asteen funtion integraaliin tulee kerroin ½.
Kartion sivu on x- (ja y-)akselista poikkeava suora eli ensimmäistä astetta.
Lieriön sivu on x- (tai y)-akselin suuntainen eli 0-asetta eli vakio. - zzz-
Vaippahemmo kirjoitti:
Minua on tässä ketjussa ihmetyttänyt se, että kukaan ei ole todennut ympyräkartion vaipan pinta-alan olevan puolet vastaavan ympyrälieriön vaipan pinta-alasta.
Lieriön vaippa: A=2pi*R*s
Kartion vaippa: A=pi*R*sJuu, hauska huomio tavallaan jälkikäteen. Vai näkiskö joku itsestäänselvyytenä jo päältä, että jos lieriön vaippa pinta-ala olisi 2, niin 'vastaava' kartion olisi automaattisesti 1 ?
Vastaava sanakin kyseenalainen, koska lieriössä mittana korkeus ja kartiossa sivujana, eli kappaleina molemmat eri korkuiset.
ps. se myönnytys kommentoijalle, että suorassa lieriössä sivujana ja korkeus yhdistyvät :)
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
En löydä sinua
En löydä sinua täältä, etkä sinä varmaankaan minua. Ennen kirjoitin selkeillä tunnisteilla, nyt jätän ne pois. Varmaan k222401- 612327
Eelin, 20, itsemurhakirje - Suomalaisen terveydenhuollon virhe maksoi nuoren elämän
Yksikin mielenterveysongelmien takia menetetty nuori on liikaa. Masennusta sairastava Eeli Syrjälä, 20, ehti asua ensi1062270- 321527
Hajoaako persut kuten 2017?
https://www.is.fi/politiikka/art-2000011217813.html Tämä on totisinta totta. Persut on murroksessa. Osa jättää puolueen2381522- 321480
Kamala uutinen: Henkilö kuoli Tokmannin pihaan Kankaanpäässä- Jäi trukin alle
IL 9.5.2025 Ihminen kuoli Kankaanpään Tokmannin edustalla perjantaina aamupäivästä. Poliisin mukaan henkilö oli jäänyt371422- 281190
- 951171
Ne oli ne hymyt
Mitä vaihdettiin. Siksi mulla on taas niin järjetön ikävä. Jos haluat musta eroon päästä niin älä huomioi mua. Muuten kä201156