Tehtävänä on määrittää normaalijakauman parametrit maximum likelihoodilla. Toki tiedän, että tuloksena pitäisi olla keskiarvo ja varianssi. Keskiarvon onnistunkin saamaan, mutta vaikka miten väännän, niin varianssin sigmaosan eteen tule 1/n, eikä 1/(n - 1), kuten pitäisi. Mikähän tuossa oikein kiikastaa, kun en (omasta mielestäni) ihan tumpelokaan ole? Vai olenko jotenkin symbolisokea, kun tuo loppuosa laskemisesta on keskiarvon saannin jälkeen ihan simmpeliä sijoitusta?
Maximum likelihood-hankaluuksia
Cumu-Laskiainen
8103
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Jos käytetään estimaattorina otoksen varianssia
s^2 = (1/n) S(x(i) - m)^2 ( S on tässä summan merkki eli tuo sigma) missä m on lukujen x(i) aritmeettinen keskiarvo niin tämän odotusarvo on
((1 - 1/n) x satunnaismuuttujan varianssi) eikä tuon satunnaismuuttujan varianssi. Jotta estimaattori olisi harhaton (unbiased) on käytettävä varianssin estimaattorina lauseketta
n/(n-1) s^2 = (( x(1) - m)^2 (x(2) - m)^2 ... (x(n) - m)^2) / (n-1)
Tämän odotusarvo on nyt tuo satunnaismuuttujan varianssi.
En tiedä vastasiko tämä kysymykseesi.
Ohman
Yllä siis tuo (1 - 1/n) -lausekkeen jälkeen oleva x on siis kertomerkki.'
Ohman
En tainnut sittenkään vastata kysymykseesi. Tuota äskeistä estimointitapaa sanotaan momenttiperiaatteeksi.Mutta voidaan käyttää tuota maksimointiperiaatettakin. Jos
meillä on normaalijakautuman tiheysfunktio f(x; myy, sigma) =
1/sqrt(2 pii sigma) exp( -(x-myy)^2 / sigma^2) saadaan siitä maksimointiperiaatteella odotusarvolle myy ja hajonnalle sigma samat estimaattorit kuin momenttiperiaatteella eli tuo "harhainen" varianssin estimaattori. Et ole laskenut väärin.
Sori että tässä pähkäilin.
Ohman
Voit lopettaa jo laskemisen, olet saanut ihan oikean tuloksen! Maximum likelihood tuottaa variansslle juuri tuon hieman harhaisen estimaattorin. Se on tosin asymmetrisesti harhaton, eli lähestyy oikeaa n:n kasvaessa.
Momentti-. ja analogiamenetelmät tuottavat täysin harhattamoman estimaattorin [siis tuon 1/(n - 1):n kanssa].
Äääh, läpiä taas päähän: samalla tavalla harhainen on momenttimenetelmälläkin saatu.
Tarkoitat kai asymptoottisesti harhaton?
Et tainnut lukea minun vastaustani ollenkaan.
Momenttiperiaate ja maksimointiperiaate johtavat tässä normaalijakautuman tapauksessa samaan varianssin V estimaattoriin v mutta tämän odotusarvo E(v) ei ole V vaan (1 - 1/n) V joten estimaattori ei ole harhaton (unbiased). Jos halutaan harhaton estimaattori tuo v korvataan estimaattorilla n/(n-1) v joka on harhaton.
Cumu-Laskiainen oli siis laskenut ihan oikein.
Nuo "asymptoottisuudet" tulevat kuvaan mukaan yleisimmissä tapauksissa. Voidaan todistaa melko yleisillä oletuksilla että maksimointiperiaatteen antamat parrametrien estimaatit ovat kaikkia muita asymptoottisesti edullisempia siinä mielessä että jos t on jonkin parametrin maksimointiperiaatteella saatu estimaattori niin sen odotusarvo E(t) -> 0 ja hajonta D(t) -> 0 kun n kasvaa rajatta ja että D(t) on ainakin asymptoottisesti pienempi tai yhtäsuuri kuin jokaisen muun estimaattorin hajonta jonka estimaattorin odotusarvolla on tuo äsken sanomani ominaisuus.
Ohman
No niin tarkoitin! Valitan, sama hatara pää kesät talvet ja tietysti syksylläkin. Ks. myös Ohmanin viesti asymptoottisuudesta.