Ruohoniityllä seisoo korkea rehusiilo. Siilo on pystyyn asetetun lieriön muotoinen, sen läpimitta (siilon halkaisija) on 10 metriä. Alhaalla siilon seinään on kiinnitetty rengas, johon on kiinnitetty liekariimu. Kuinka isolta alueelta riimuun kiinnitetty pässi voi syödä ruohoa, kun liekariimun pituus on 10 metriä?
Tarkennukseksi: kysyn ainoastaan sen alueen pinta-alaa, jonka rajaa toisaalta siilon ulkoseinä, toisaalta riimun vapaan pään piirtämä kaari kun riimu liikkuessaan kiertyy siilon ulkoseinän ympärille, kunnes vapaa pää kohtaa siilon seinän.
Tarkennukseksi: kysyn ainoastaan sen alueen pinta-alaa, jonka rajaa toisaalta siilon ulkoseinä, toisaalta riimun vapaan pään piirtämä kaari kun riimu liikkuessaan kiertyy siilon ulkoseinän ympärille, kunnes vapaa pää kohtaa siilon seinän.
Vastaukset 24
Vanhimmat
Onko rengas kiinni siilon ulko- vai sisäpinnassa, eli syökö pässi siilon sisällä vai ulkopuolella olevaa ruohoa? Jos puhut ulkoseinästä, niin tällöin siilon seinän paksuutta ei varmaankaan oleteta mielivaltaisen ohueksi.
Tietenkin ulkoseinässä, eihän riimu muutoin kiertyisi seinän ympärille ja pinta-alahan olisi sama kuin silon pohjan pinta-ala.
Pässi syö siis ulkopuolella kasvavaa ruohoa. Seinän paksuudella ei ole merkitystä; siinä kohtaa voisi olla vaikka massiivinen betonilieriö.
Oisko tollaset 224 neliötä?
Miten lasket alan?
Koska olennaisin unohtui, laitan vielä tarkennusta kysymykseeni: ei ole olennaista niinkään lopputulos (=pinta-ala) vaan se, miten se lasketaan.
Pässin alue koostuu puoliympyrästä ja kahdesta alueesta, joita rajoittavat ympyrä, edellä mainitun puoliympyrän säde sekä ympyrän evolventti. Olkoon S se piste, missä naru sivuaa säiliötä, kun pässi syö puoliympyrän ulkopuolelta, O on ympyrän keskipiste ja P puoiiympyrän keskipiste (= narun kiinnityskohta). Kulma SOP olkoon A.
Kulma A on välillä (0, 2) (radiaaneissa). Edellä 2 tulee siitä, että silloin kaaren pituus (10 m) on 2 * ympyrän säde (5 m).
Narusta 5*A pituinen osa kulkee pitkin siilon pintaa. Loput 10 - 5*A on matka sivuamispiteestä evolventille.
Tehdään epätäsmällinen tarkastelu: Kun A kasvaa määrällä dA (pieni), niin naru suurin piirtein piirtää kolmion, jonka kanta on (10 -5*A)dA, ja korkeus noin (10 - 5*A). Tämän laihan kolmion ala on siis noin (1/2) * (10 - 5*A)^2 *dA. Kun integroidaan tämä välillä (0, 2), saadaan osan pinta-ala.
Tämä tehtävä on netissä nimellä goat problem.
Joo, noin mäkin sitä laskin. Puoliympyrän ala 157 neliötä ja nuo reuna-alueet 200/3 neliötä, yhteensä tuo 224 neliötä, jos laskin oikein.
Tässä on tosiaankin puoliympyrä, jonka säde on 10 ja sitten kaksi samankokoista alaa.
Puoliympyrän ala on tuo Pässinpää1:n mainitsema 157 m^2 ja nuo loppualat ovat kumpikin 200/3 - 25 ( m^2) eli yhteensä koko pässin alue on 157 400/3 - 50= 240 (m^2).
Tuo 200/3 saadaan näin.Otetaan se positiivisen y-akselin puoleisessa (x,y) - tason osassa oleva, toinen on sitten saman kokoinen.
Aluetta rajoittaa reunakäyrä R(t) saadaan näin. Sisällä olevan 5-säteisen ympyrän kehän piste on 5 cos(t) i 5 sin(t) j. Ympyrän tangentti tässä pisteessä on
R'(t) = -5 sin(t) i 5 cos(t) j ja siis vastaava yksikkövektori on T(t) = -sin(t) i cos(t) j.
Pässin narun pituus tangeerauspisteestä pässiin on 10 - 5 t ja reunakäyrä on siis
R(t) = 5 cos(t) i 5 sin(t) j (10 - 5 t) T(t) =
(5 cos(t) 5t sin(t) - 10 sin(t)) i (5 sin(t) -5t cos(t) 10 cos(t)) j
Reunakäyrällä t käy arvosta 0 arvoon 2: R(0) = 5 i 10 j ja R(2) = 5 cos(t) i 5 sin(t) j kuten pitääkin olla.
R'(t) = (5t cos(t) - 10 cos(t)) i (5t sin(t) - 10 sin(t)) j
R x R' = (50 t^2 -100 t 100) k
Käyrä rajoittaa nyt alan A = 1/2 Integraali (0 <= t <= 2)(R x R') dt . Tämä on k:n suuntainen vektori, jonka itseiarvo,jota tässä tarvitaan, on siis
25 Integraali (0 <= t <= 2) (t^2 -2t 2) = 25 (2^3/3 - 4 4) = 200/3.
Tästä on nyt vähennettävä se 5-säteisen ympyrän osa joka on tämän alueen sisällä eli 2/(2 pii) pii 5^2 = eli 25. 200/3 - 25 = 125/3. Alueita on kaksi samankokoista, toinen siellä x-akselin alapuolella joten koko alue on 250/3 = 83 ja koko pässin syömä alue on siis
157 83 = 240 (m^2).
Ohman.
133 157 =
Tuo vihonviimeinen rivi 133 157 = jäi jostain tekstistä jota korjasin eikä kuulu asiaan.
Ohman
Ehdoton yläraja alalle on (pii*100)-(pii*25)= noin 235, ja siitä vähän pois.
Netissä on saatu myös tuo tässä ylempänä oleva noin 224
http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html
Siinä on varmaankin sovellettu Greenin kaavaa???
Olisit käynyt laskuni läpi. Et taida ymmärtää sitä? Kerropa missä siinä on virhe.
Ohman
Kun tässä vielä mietin, niin tuo virheellinen luku 224 on saatu lisäämällä puoliympyrän pinta-alaan 157 luku 66,7 joka on tuo 200/3. Mutta tämä on väärin. Tuosta luvusta pitää vähentää se siilon sisään jäävä ympyrän osa, jonne pässi ei pääse ja lisäksi näitä alueita on 2. Mielestäni oma laskuni on oikein, mutta jos joku löytää siitä virheen niin mikäs siinä, kunhan osoittaa sen matemaattisesti.
Ohman
Laskin tuolla edellä kuvatulla kolmioperiaatteella; valitettavasti en voi piirtää kuvaa. Siinä tulee tuo integraali 0->2 funktiosta 2*(1/2)*(10-5*x)^2 (x on keskuskulma liean irtaantumispisteeseen) mikä antaa 200/3 neliötä ympyrän sivuilla oleville aloille yhteensä, eikä mitään vähennettävää.
200/3 on koko se alue mitä se pässin kulkema reunakäyrä rajoittaa x-akselin yläpuolella. Mutta kyllä tästä on vähennettävä se siilon sisällä oleva alue johon pässi ei pääse.
Kritisoijien pitäisi sanoa mikä laskussani on väärin eikä esitellä omia "kolmioperiaatteita" tai netistä löytyviä juttuja. Olen laskenut alueen pinta-alan ihan tavalliseen pinta-alan laskutapaan. Korkeintaan minulla voisi olla laskuvirhe mutta en nyt sellaista huomaa.
Ohman
Tuossa edellä siilomies kertoi miten lasketaan yläraja kysytylle pinta-alalle. Oletetaan ensin että siilo ei mitenkään rajoita liekaa. Silloin pässi voisi syödä 10 m säteisen ympyrän alalta eli 314 neliön alalta. Koko siilo sisältyy tuohon alaan, ympyrän keskipiste on ympyrän kehällä ja ympyrä sivuaa siiloa vastakkaiselta puolella. Vähennetään nyt siilon ala ympyrästä (neljännes) niin saadaan tuo 235 neliötä. Piirtämällä nähdään helposti että kysytty pinta-ala sisältyy tähän alaan ja on jonkin verran pienempi. Eli kysytty ala ei voi olla 240 neliötä.
Matemaattiset tehtävät edellyttävät matemaattisia ratkaisuja. Olen laskenut pinta-alan ihan normaalilla integroinnilla. (Siinä ei tarvita mitään "kolmioperiaatteita" vaan ihan vaan integroidaan.)
Olen esittänyt ihan selkeän matemaattisen ratkaisun. Ei sitä voi kumota muuten kuin osoittamalla että laskussani on jokin virhe. Eihän tietysti ole pois suljettua, ettei laskussani voisi olla virhettä, mutta en kyllä sellaista huomaa. Ei laskuani kumoa muu kuin mahdollisen virheen esittäminen. Ei laskuani kumoa vetoaminen nettiin, erilaisiin "periaatteisiin" eikä edes mustaan raamattuun.
Itse olen esittänyt syitä miksi nuo muut vastaukset ovat vääriä. Kun lasketaan sitä pässin aluetta niin tuo rajakäyrä rajoittaa koko aluetta x-akselin yläpuolella mutta pässi ei pääse siilon sisään joten alueesta on vähennettävä siilon sisään jäävä osa.Ja sitten on se toinen saman kokoinen alue x-akselin alapuolisessa tason osassa.
En vastaa enää muihin kommentteihin kuin sellaisiin joissa joku löytää laskustani virheen.
Ohman
Ohman laskee kai sellaisen kuvion pinta-alaa jota rajaavat y-akselin suuntainen 10 m pitkä jana, tangentin pätkien piirtämä verhokäyrä ja siilon 10 m pitkä ympyränkaari. Ohman laskee vektorin tämän kuvion ääriviivalle siiloympyrän keskipisteestä ja käyttää menetelmää jossa lasketaan vektorin pyyhkäisemä ala kun sen toinen pää kulkee ääriviivaa pitkin (jossa summeerataan "hyvin kapeita kolmioita"). Ohman soveltaa tätä menetelmää verhokäyrälle. Siiloympyrän sektorin alan, 25 neliötä, hän vähentää suoraan. Mutta laskematta jää ala kun vektori kulkee y-akselin suuntaista janaa pitkin, jolloin muodostuva ala on suorakulmainen kolmio jonka kateetit ovat 5 ja 10 m. Sen ala on siis 25 neliötä, sattumoisin sama kuin siilosektorin ala joten nuo alat kumoavat toisensa.
Ohmanin integraalissa täytyy olla myös tekijän 2 virhe koska yhden laskettavan kuvion pinta-ala on 200/6 ja kahden yhteensä 200/3. En ole katsonut niin tarkkaan että voisin sanoa missä tuo virhe on.
Tuolla R x R' = 25 t^2 (sin^2 cos^2)... = (25 t^2
En pidä mahdottomana että laskussani olisi jokin virhe. Nautitulla Oktoberfest-oluellakin saattaa olla näppinsä pelissä. Nyt ei ole aikaa eikä halua ruveta tarkastamaan juttuani.
Ohman
Kävin nyt läpi sen integroinnin ja olihan siellä virhe kuten Pässinpää1 ounasteli.Eli integroitava on 25 t^2 -100 t 100 ja saadaan pinta-alaksi
(25/2 ) Int(0 <= t <= 2) ( t^2 - 4 t 4) dt = (25/2) (2^3/3 - 2 (2^2) 8) = 200/6.
Ohman
Niin ja unohtui sanoa että se toinenkin P1:n kommentti on oikein ja alaksi tulee siis
157 2 * (200/6) = 224 kuten täällä jotkut muutkin ovat laskeneet.
Ohman
Olen tähän yrittänyt vääntää omaa ratkaisuani sekä tämän linkin: http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html, että Ohmanin paikkavektori käyrälle esityksen perusteella, jotta tämä tehtävä jollain lailla olisi lukiotiedoilla ymmärrettävissä /ratkaistavissa(minulla itsellähän ei ole kuin lukiotausta, ja sitten tämä sivusto.)
Tähän olen nyt päätynyt: http://aijaa.com/27qQrh
Tuossa mathworldin linkissä on jätetty hyvin paljon asioita sanomatta, mutta sen sijaan on esitetty jotain itsestään selvyyttä monella rivillä. Tuo saattaa olla jokin Greenin kaavan sovellutus, mutta minä en Greenin kaavasta ole jyvälle päässyt.
Sen sijaan tämä temppu, mitä minä käytin , siis kaksi alaa yhteen ja jaetaan kahdella, on käyttökelpoinen jossain muussakin. Olen sitä itsekin täällä muuallakin käyttänyt. (Se voi ollakin itse asiassa Greenin kaavaa....)
Nyt en korjaa mitään, vaan selvennän tuota paikkavektorijuttua, ja tässä on "lähteenä" tuo Ohmanin esitys: http://aijaa.com/oQmhmO
Tuo integrointikaava on helppo johtaa kun ajatellaan approksimoitavan kaarevaa ääriviivaa x-y-suuntaisella porrasviivalla. Piirretään viitepisteestä (tehtävässä siilon keskipisteestä) janat porrasviivan kulmapisteisiin, jolloin muodostuu kapeita kolmioita. Niiden alat saadaan summana (x*dy-y*dx)/2 missä dx ja dy ovat kapeiden kolmioiden kantoja sekä y ja x vastaavia korkeuksia. Jos ääriviiva on annettu t-parametriesityksenä, voidaan kirjoittaa dy=(dy/dt)*dt ja dx=(dx/dt)*dt, mistä saadaan tuo kaava (1/2)*(x*y'-y*x')*dt. Kun tuo integroidaan suljetun käyrän ympäri vastapäivään, saadaan pinta-ala. Sama kaava saadaan myös Ohmanin antmasta vektorien ristitulosta.