Pässi ruohonsyönnissä

Onko rengas kiinni siilon ulko- vai sisäpinnassa, eli syökö pässi siilon sisällä vai ulkopuolella olevaa ruohoa? Jos puhut ulkoseinästä, niin tällöin siilon seinän paksuutta ei varmaankaan oleteta mielivaltaisen ohueksi.

Oisko tollaset 224 neliötä?

Koska olennaisin unohtui, laitan vielä tarkennusta kysymykseeni: ei ole olennaista niinkään lopputulos (=pinta-ala) vaan se, miten se lasketaan.

Pässin alue koostuu puoliympyrästä ja kahdesta alueesta, joita rajoittavat ympyrä, edellä mainitun puoliympyrän säde sekä ympyrän evolventti. Olkoon S se piste, missä naru sivuaa säiliötä, kun pässi syö puoliympyrän ulkopuolelta, O on ympyrän keskipiste ja P puoiiympyrän keskipiste (= narun kiinnityskohta). Kulma SOP olkoon A.

Kulma A on välillä (0, 2) (radiaaneissa). Edellä 2 tulee siitä, että silloin kaaren pituus (10 m) on 2 * ympyrän säde (5 m).

Narusta 5*A pituinen osa kulkee pitkin siilon pintaa. Loput 10 - 5*A on matka sivuamispiteestä evolventille.

Tehdään epätäsmällinen tarkastelu: Kun A kasvaa määrällä dA (pieni), niin naru suurin piirtein piirtää kolmion, jonka kanta on (10 -5*A)dA, ja korkeus noin (10 - 5*A). Tämän laihan kolmion ala on siis noin (1/2) * (10 - 5*A)^2 *dA. Kun integroidaan tämä välillä (0, 2), saadaan osan pinta-ala.

Tämä tehtävä on netissä nimellä goat problem.

Tässä on tosiaankin puoliympyrä, jonka säde on 10 ja sitten kaksi samankokoista alaa.
Puoliympyrän ala on tuo Pässinpää1:n mainitsema 157 m^2 ja nuo loppualat ovat kumpikin 200/3 - 25 ( m^2) eli yhteensä koko pässin alue on 157 400/3 - 50= 240 (m^2).

Tuo 200/3 saadaan näin.Otetaan se positiivisen y-akselin puoleisessa (x,y) - tason osassa oleva, toinen on sitten saman kokoinen.

Aluetta rajoittaa reunakäyrä R(t) saadaan näin. Sisällä olevan 5-säteisen ympyrän kehän piste on 5 cos(t) i 5 sin(t) j. Ympyrän tangentti tässä pisteessä on

R'(t) = -5 sin(t) i 5 cos(t) j ja siis vastaava yksikkövektori on T(t) = -sin(t) i cos(t) j.

Pässin narun pituus tangeerauspisteestä pässiin on 10 - 5 t ja reunakäyrä on siis

R(t) = 5 cos(t) i 5 sin(t) j (10 - 5 t) T(t) =

(5 cos(t) 5t sin(t) - 10 sin(t)) i (5 sin(t) -5t cos(t) 10 cos(t)) j

Reunakäyrällä t käy arvosta 0 arvoon 2: R(0) = 5 i 10 j ja R(2) = 5 cos(t) i 5 sin(t) j kuten pitääkin olla.

R'(t) = (5t cos(t) - 10 cos(t)) i (5t sin(t) - 10 sin(t)) j

R x R' = (50 t^2 -100 t 100) k

Käyrä rajoittaa nyt alan A = 1/2 Integraali (0 <= t <= 2)(R x R') dt . Tämä on k:n suuntainen vektori, jonka itseiarvo,jota tässä tarvitaan, on siis

25 Integraali (0 <= t <= 2) (t^2 -2t 2) = 25 (2^3/3 - 4 4) = 200/3.

Tästä on nyt vähennettävä se 5-säteisen ympyrän osa joka on tämän alueen sisällä eli 2/(2 pii) pii 5^2 = eli 25. 200/3 - 25 = 125/3. Alueita on kaksi samankokoista, toinen siellä x-akselin alapuolella joten koko alue on 250/3 = 83 ja koko pässin syömä alue on siis

157 83 = 240 (m^2).

Ohman.

133 157 =

Laskin tuolla edellä kuvatulla kolmioperiaatteella; valitettavasti en voi piirtää kuvaa. Siinä tulee tuo integraali 0->2 funktiosta 2*(1/2)*(10-5*x)^2 (x on keskuskulma liean irtaantumispisteeseen) mikä antaa 200/3 neliötä ympyrän sivuilla oleville aloille yhteensä, eikä mitään vähennettävää.

Tuossa edellä siilomies kertoi miten lasketaan yläraja kysytylle pinta-alalle. Oletetaan ensin että siilo ei mitenkään rajoita liekaa. Silloin pässi voisi syödä 10 m säteisen ympyrän alalta eli 314 neliön alalta. Koko siilo sisältyy tuohon alaan, ympyrän keskipiste on ympyrän kehällä ja ympyrä sivuaa siiloa vastakkaiselta puolella. Vähennetään nyt siilon ala ympyrästä (neljännes) niin saadaan tuo 235 neliötä. Piirtämällä nähdään helposti että kysytty pinta-ala sisältyy tähän alaan ja on jonkin verran pienempi. Eli kysytty ala ei voi olla 240 neliötä.

Matemaattiset tehtävät edellyttävät matemaattisia ratkaisuja. Olen laskenut pinta-alan ihan normaalilla integroinnilla. (Siinä ei tarvita mitään "kolmioperiaatteita" vaan ihan vaan integroidaan.)

Olen esittänyt ihan selkeän matemaattisen ratkaisun. Ei sitä voi kumota muuten kuin osoittamalla että laskussani on jokin virhe. Eihän tietysti ole pois suljettua, ettei laskussani voisi olla virhettä, mutta en kyllä sellaista huomaa. Ei laskuani kumoa muu kuin mahdollisen virheen esittäminen. Ei laskuani kumoa vetoaminen nettiin, erilaisiin "periaatteisiin" eikä edes mustaan raamattuun.

Itse olen esittänyt syitä miksi nuo muut vastaukset ovat vääriä. Kun lasketaan sitä pässin aluetta niin tuo rajakäyrä rajoittaa koko aluetta x-akselin yläpuolella mutta pässi ei pääse siilon sisään joten alueesta on vähennettävä siilon sisään jäävä osa.Ja sitten on se toinen saman kokoinen alue x-akselin alapuolisessa tason osassa.

En vastaa enää muihin kommentteihin kuin sellaisiin joissa joku löytää laskustani virheen.

Ohman

Ohman laskee kai sellaisen kuvion pinta-alaa jota rajaavat y-akselin suuntainen 10 m pitkä jana, tangentin pätkien piirtämä verhokäyrä ja siilon 10 m pitkä ympyränkaari. Ohman laskee vektorin tämän kuvion ääriviivalle siiloympyrän keskipisteestä ja käyttää menetelmää jossa lasketaan vektorin pyyhkäisemä ala kun sen toinen pää kulkee ääriviivaa pitkin (jossa summeerataan "hyvin kapeita kolmioita"). Ohman soveltaa tätä menetelmää verhokäyrälle. Siiloympyrän sektorin alan, 25 neliötä, hän vähentää suoraan. Mutta laskematta jää ala kun vektori kulkee y-akselin suuntaista janaa pitkin, jolloin muodostuva ala on suorakulmainen kolmio jonka kateetit ovat 5 ja 10 m. Sen ala on siis 25 neliötä, sattumoisin sama kuin siilosektorin ala joten nuo alat kumoavat toisensa.

Ohmanin integraalissa täytyy olla myös tekijän 2 virhe koska yhden laskettavan kuvion pinta-ala on 200/6 ja kahden yhteensä 200/3. En ole katsonut niin tarkkaan että voisin sanoa missä tuo virhe on.

Olen tähän yrittänyt vääntää omaa ratkaisuani sekä tämän linkin: http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html, että Ohmanin paikkavektori käyrälle esityksen perusteella, jotta tämä tehtävä jollain lailla olisi lukiotiedoilla ymmärrettävissä /ratkaistavissa(minulla itsellähän ei ole kuin lukiotausta, ja sitten tämä sivusto.)
Tähän olen nyt päätynyt: http://aijaa.com/27qQrh
Tuossa mathworldin linkissä on jätetty hyvin paljon asioita sanomatta, mutta sen sijaan on esitetty jotain itsestään selvyyttä monella rivillä. Tuo saattaa olla jokin Greenin kaavan sovellutus, mutta minä en Greenin kaavasta ole jyvälle päässyt.
Sen sijaan tämä temppu, mitä minä käytin , siis kaksi alaa yhteen ja jaetaan kahdella, on käyttökelpoinen jossain muussakin. Olen sitä itsekin täällä muuallakin käyttänyt. (Se voi ollakin itse asiassa Greenin kaavaa....)

Tuo integrointikaava on helppo johtaa kun ajatellaan approksimoitavan kaarevaa ääriviivaa x-y-suuntaisella porrasviivalla. Piirretään viitepisteestä (tehtävässä siilon keskipisteestä) janat porrasviivan kulmapisteisiin, jolloin muodostuu kapeita kolmioita. Niiden alat saadaan summana (x*dy-y*dx)/2 missä dx ja dy ovat kapeiden kolmioiden kantoja sekä y ja x vastaavia korkeuksia. Jos ääriviiva on annettu t-parametriesityksenä, voidaan kirjoittaa dy=(dy/dt)*dt ja dx=(dx/dt)*dt, mistä saadaan tuo kaava (1/2)*(x*y'-y*x')*dt. Kun tuo integroidaan suljetun käyrän ympäri vastapäivään, saadaan pinta-ala. Sama kaava saadaan myös Ohmanin antmasta vektorien ristitulosta.