Osoita, että funktio f(x)=3x^2-x 2 saa vain positiivisia arvoja.
Miten asia selviää?
Miten asia selviää?
Funktio saa vain positiivisia arvoja
ihmettys
374309
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 37
Vanhimmat
Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Funktiolla ei ole nollakohtia, koska yhtälön 3x² - x 2 = 0 diskriminantti on negatiivinen.
Näin ollen funktion f kuvaaja on koko ajan x-akselin yläpuolella, ja siten se saa vain positiivisia arvoja.
Yritä ratkaista yhtälö 3x^2 -x 2 = 0. Huomaat, että sillä ei ole reaalilukuratkaisuja. Funktio ei siis voi saada arvoa 0, joten se on aina saman merkkinen. Merkin vaihtuminen edellyttäisi, että jossain pisteessä f= 0 (f on jatkuva funktio). Koska esim. f(0) = 2 > 0 on f siis aina > 0.
Ohman
Tietääkseni 1 ^2 = 1 ja ( -1) ^2 = 1
Mitenkäs sitten täällä neuvotaan taas ihan eri tavalla: http://opetus.tv/maa/maa2/diskriminantti/ <-- Kohta 1. Teoriaa diskriminantista toisen asteen polynomille
Määritetään funktion nollakohtayhtälön diskriminantti:
ax ^ 2 bx c = 0 x = ( -b ± √ ( b ^ 2 - 4ac )) / 2a D = b ^ 2 - 4ac
D = 1 ^ 2 - 4 * 3 * 2 = -23 D < 0, joten funktion kuvaaja ei leikkaa x–akselia
Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa vain positiivisia arvoja.
Vastaus: f(x) ei voi saada negatiivisia arvoja.
Jatkuu: Kulkee aina suoran g(x) = 2x - 1 yläpuolella?
Täydennä lausekkeesi neliöksi
3x^2-x 2=3(x^2-2*1/6*x 2/3 (1/6)^2-(1/6)^2)=3(x-1/6)^2 2/3-(1/6)^2
=3(x-1/6)^2 23/36>=0 23/36=23/36
Siis lausekkeesi on positiivinen.
Kulkee suoran g yläpuolella vain jos h=f-g>0 kaikkialla
h(x)=3x^2-x 2-(2x-1)=3x^2-3x 3
Täydennä taas neliöön
3(x^2-1 1)=3(x^2-2*1/2*x (1/2)^2-(1/2)^2 1)=3(x-1/2)^2-(1/2)^2 1=3(x-1/2)^2 3/4>=0 3/4=3/4.
Mokasit jossain. Jos x=1, on 3x^2-x 2=4 mutta 3(x-1/6)^2 23/36=49/18.
Pitää olla 3x^2-x 2=3(x-1/6)^2 23/12.
Vielä yksi konsti: etsi minimi. Derivaatta 6x-1=0 -> x0=1/6, y0=23/12. Toinen derivaatta >0 eli minimi.
Minkä ihmeen takia täällä tarjotaan mitä erilaisimpia konsteja asiaan jonka sanoin jo ihan yksinkertaisesti. Koska funktio f on jatkuva ja se ei missään pisteessä saa arvoa 0 niin ei se voi vaihtaa merkkiä. Eli jos olisi f(a) < 0 mutta f(b) > 0 täytyisi a:n ja b:n välillä olla luku c missä f(c) = 0. Mutta f =/ 0 kaikkialla. Siis jos f> 0 jossain, se on >0 kaikkialla ja jos f < 0 jossain se on < 0 kaikkialla. Ja kysyjän funktio oli positiivinen esim. pisteessä x = 0: f(0) = 2. f on siis positiivinen kaikkialla.
Tässä oli nyt sama esitys uudestaan vähän monisanaisemmin. Mihin ihmeeseen tässä noita kaikenlaisia esitettyjä paraabeli- ym. juttuja tarvitaan?
Yrittäisitte ajatella matemaattisesti. Ja ymmärtää mitä on kirjoitettu.
Vaihtoehtoisia ratkaisuja on tietenkin lupa esittää mutta niiden tulisi olla jotenkin parempia kuin jo esitetyt tai ainakin jollain lailla mielenkiintoisia. Muuten niiden vaihtoehtoratkaisujen esittämisessä ei oikein ole mieltä.
No, sainpahan ainakin purettua aamukiukkuani!
Ohman
Itse ratkaisin sen noin kun löysin jotain vinkkiä opetustv videoista, mutta en sitten vissiin ratkaissut sitä oikein. Kerrohan Ohman, että miten osoitan tämän paraabelin kulkevan aina suoran g(x) = 2x - 1 yläpuolella?
Vaihtoehtoisia tapoja ratkaista tehtävä on hyvä esittää siksi että sopivin ratkaisu riippuu funktiosta. Toisen asteen polynomeille soveltuu hyvin tuo nollakohdan puuttumisen osoittaminen mutta jollekin toiselle funktiolle ei niinkään vaan minimiarvon etsiminen on helpompi menetelmä. Kolmannelle taas on helpointa löytää alarajafunktio. Ei pidä olla niin prinsessanherkkä!
Tämähän on ihan simppeliä. Miksi et osannut? On voimassa (f-g)(x)=3x^2-x 2-(2x-1)=3x^2-x 3=3(x^2-x/3) 3=3((x-1/6)^2-1/36) 3=3(x-1/6)^2 (3*36-3)/36>0.
Et näköjään ymmärrä todistuksestani mitään.
Sehän soveltuu jokaiselle jatkuvalle funktiolle eikä vain "toisen asteen polynomeille".
Mikään jatkuva funktio ei voi muuttua negatiivisesta arvosta positiiviseen arvoon tai päin vastoin saamatta siinä välissä arvoa 0. Ei se voi "hypätä " nollan yli. Jos siis nollakohtia ei ole, funktion arvon etumerkki ei voi muuttua, se on aina tai aina -, oli funktio sitten muuten mikä hyvänsä.
Kerrataan vielä: Funktio f(x), joka on jatkuva kun a <= x <= b, saa tämän välin sisäpuolella jokaisen f(a):n ja f(b):n välissä olevan arvon. (Voi saada muitakin arvoja).
Nyt tämä saa riittää.
Ohman
(f-g) (x) = 3 x^2 -x 2 - (2x - 1) = 3x^2 -3x 3 = 3(x^2 - x 1) > 0 sillä arvolla x = 0 se saa arvon 3 > 0 eikä tuolla funktiolla ole reaalisia nollakohtia joten se pysyy aina positiivisena.
Mutta eihän tätä tulosta mihinkään tarvita tässä tehtävässä. Piti osoittaa, että se alkuperäinen funktio on positiivinen eikä tämä saatu epäyhtälö sitä asiaa todista sillä y = 2x - 1 saa myös negatiivisia arvoja.Eikä se, että f > jokin negatiivinen luku todista että f on positiivinen. Tulos on ihan tarpeeton.
Söhellys vaan jatkuu!
Ohman
Ohmaani ei hoksannut, että esimerkiksi rationaalifunktiot vahtavat etumerkkiään myös nimittäjän nollakohdassa, joten tämä todistus ei silloin ole paikkaansapitävä. Tokihan polynomifunktiolla tämä toimii sillä ne ovat kaikkialla jatkuvia mutta esim. juurikin nämä rationaalifunktiot ovat jatkuvia vaan määrittelyjoukossaan johon nimittäjän nollakohdat eivät kuulu.
On väärin kirjoittaa "Funktio f(x)=3x^2-x 2". Tässä pelkkä f on funktio ja f(x) on tämän f:n arvo pisteessä x. Nämä ovat aivan eri asioita.
Ohman, totesin että sopivin tapa riippuu funktiosta. Otetaan vaikkapa funktio e^x-x. Funktion tuntien on helppo nähdä että sillä ei ole nollakohtaa mutta sen osoittaminen vaatii aika lailla selittelyä. Mutta jos derivoidaan, huomataan helposti että löytyy minimikohta x=0, y=1.
Mutta eihän tuo minimikohdan löytäminen riitä. Onhan funktioita joilla on positiivinen minimi mutta ne voivat saada silti negatiivisia arvoja. Eli silti on osoitettava vähän lisääkin jos mielii todistaa että funktio > 0.
Mutta jos tiedetään, että funktiolla ei ole nollakohtia niin sen merkki ei voi muuttua.
Ohman
"Mutta jos tiedetään, että funktiolla ei ole nollakohtia niin sen merkki ei voi muuttua."
Jatkuva funktio f:R\{0}->R, f(x)=1/x haluaa esittää eriävän mielipiteen.
Olen kyllä koko ajan puhunut jatkuvista funktioista. Tuosta nyt kommentoimastasi sattui nyt jäämään sana "jatkuva" pois. Esimerkkifunktiosi ei ole jatkuva pisteessä x= 0, ei edes määritelty.
Jos olisit lukenut aiempia kommenttejani olisit ehkä jättänyt tuon ylevän kommenttisi tekemättä. Tai mistä sen voisin tietää?
Ohman
Kuten totesin, kyseessä on jatkuva funktio. Funktion jatkuvuutta voi tietenkin tarkastella vain funktion määrittelyjoukkoon kuuluvissa pisteissä, kuten mistä hyvänsä jatkuvuuden määritelmästä voi tarkistaa.
Tässä tehtävässä puhuttiin siitä, onko tietty funktio positiivinen kaikilla argumentin arvoilla eli onko f(x) > 0 kaikilla arvoilla x.Sinun esimerkkifunktiosi ei ole määritelty pisteessä x= 0 eli se ei kuulu tämän tehtävän piiriin.
Kyllä minä olen esittänyt tämän asian ihan riittävän selkeästi vaikka sana "jatkuva" jäikin eräästä kommentistani pois.
Jos sinulle on tuntematon se seikka, että välillä a <= x <= b määritelty jatkuva funktio saa tällä välillä kaikki f(a):n ja f(b): välissä olevat arvot niin en mahda mitään.
En viitsi enempää kommentoida turhaa viisasteluasi.
Ohman
Mitä ihmettä? Kyllä f(x)=3x^2-x 2 on määritelty nollassa. Funktion arvo on kaksi.
Et ymmärrä vai?
Minä kommentoin nimimerkin "Yhtenäinen" kirjoitusta jossa hän käytti esimerkkinä funktiota f(x) = 1/x.
Eikö olisi syytä lukea ketjua vähemmän pitemmältä ennenkuin ryhtyy kommentoimaan? Ehkä turhat kommentit jäisivät pois?
Ohman
No eipä ollut sisennetty tuo kommentti nimimerkin "Yhtenäinen" kommentin alle. On se vaan harmillista kun ei osata.
Yritin kyllä "sisentää" mutta kone ei sillä kertaa jostain syystä suostunut tähän vaikka klikkasin "Kommentoi lainaten"-kenttää.Monesti muulloinkin on käynyt näin. Ei se syy aina ole osaamattomuudessa tämän palstan kanssa. Monet kommenttini ovat hävinneet kokonaan vaikka olen toiminut ihan oikein.
Kyllä lukijan olisi silti pitänyt ymmärtää, sillä puhuin "tästä tehtävästä" ja "sinun esimerkkifunktiostasi" joka "ei kuulunut tämän tehtävän piiriin" Olisi sen tekstin luullut tavallisen tallaajan ymmärtävän.
Kirjoitin pääasiassa keskustelua seuranneille enkä sellaisille jotka kesken kaiken puuttuvat asiaan välittämättä asiayhteyksistä.Tällaisillehan joka ikinen kommentti pitäsi kirjoittaa kaikesta aiemmin jo kirjoitetusta koko ajan muistuttaen.
Ohman
Ketjun alkuperäinen kysymys on ratkaistu moneen kertaan, sen suhteen ei ole ongelmaa. Ensimmäisen viestini motivaationa toimi havainto siitä, kuinka kommentoit varsin aggressiiviseen sävyyn muiden viestejä ja nostat esiin pienimmätkin virheet ja epätäsmällisyydet. Tällöin sovellamme toki samaa standardia kaikkiin viesteihin.
Väite "Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiään, jos sillä ei ole nollakohtaa" ei siis pidä paikkaansa, kuten esimerkkifunktioni näytti. Lisäksi tarvitaan jonkinlainen oletus funktion määrittelyjoukon yhtenäisyydestä.
Näin ollen yleispätevämpi tapa alkuperäisen kaltaisen ongelman todistamiseen on näyttää, että funktion pienin arvo on positiivinen, kuten KaikkiKukatKukkikoon teki. (hän vain käytti hieman virheellisesti sanaa minimi pienimmän arvon sijasta). Tällöin ei tarvitse tehdä mitään oletuksia funktion määrittelyjoukosta tai jatkuvuudesta.
Se että tuo funktio saa vain positiivisia arvoja, voidaan osoittaa helposti myös ilman derivaattaa eli seuraavasti:
Täydentämällä neliöksi saadaan:
f(x) = 3x^2 - x 2 = 3(x - 1/6)^2 2 - 1/12
Lausekkeen 3(x - 1/6)^2 arvot ovat aina suurempia tai yhtäsuuria kuin 0.
Siispä funktion f(x) arvot ovat aina vähintään 2 - 1/12 (positiivinen).
Niin ja siis piti sanomani, että ilman diskriminanttiakin siis onnistuu.
Hyvä. Hienosti osasit kopioida ja muokata vähän nimimerkin "näinsemenee" viestiä, joka lähetettiin 29.10.2015 19:30.
Joo eipä sitä jaksa toisten viestejä aina lukea.
Okei. Eipä taida olla kovinkaan motivoivaa kirjoittaa palstalle, jonka viestejä ei lueta.
Vielä vähemmän motivoivaa olisi kopioida toisten vastauksia ja esitellä niitä omina.
No laitetaanpa nyt tähän sitten vielä ylimääräinen ratkaisutapa:
Olkoon x >= 1. Tällöin x(x-1) >= 0 eli x^2 >= x. Siispä 3x^2 > x^2 >= x.
Joten 3x^2 - x > 0 ja siis 3x^2 - x 2 > 0 2 (eli positiivinen).
Tarkastellaan tapausta x < 1:
Paraabeli y = 3x^2 ja suora y = x leikkaavat kohdissa x = 0 ja x = 1/3.
Siispä x - 3x^2 < 1/3. Joten 3x^2 - x > -1/3 ja siis 3x^2 - x 2 > 2 - 1/3 (eli positiivinen).
Vieläkö löytyy erilaisia ratkaisuja?
Kyllähän näitä tapoja voi keksiä vaikka kuinka monta. Esimerkiksi nähdään heti, että kun x<0 on 3x^2-x 2>0. Mutta kun x>=0, on AM-GM-epäyhtälön perusteella 3x^2 2>=2sqrt(3x^2*2)=2sqrt(6)x>x.
Juu elegantti ratkaisu on tuo. Tuota am-gm epäyhtälöä vaan harvempi lukiolainen vielä tietää.
Lisäys vielä edelliseen, että meneehän se toki näin lukiolaisen muistikaavoilla (kuten am-gm epäyhtälölläkin):
Koska (a - b)^2 = a^2 - 2ab b^2, niin sijoittamalla a = sqrt(3)x ja b = sqrt(2) saadaan edellisestä 3x^2 - 2sqrt(6)x 2 >=0, josta edelleen 3x^2 - x 2 >0.