käänteisfunktion määrittelyjoukko

Piti kirjoittamani kun - inf < y <= 1

Ohman

siis lauseke on kolmasneliöjuuri (1-y)

Selitätkö vielä, mikä on kolmasneliöjuuri?

nimimerkki.kolmas kirjoitti:

Selitätkö vielä, mikä on kolmasneliöjuuri?

kolmasjuuri siis;D

näin: ∛1-y

nimimerkki.kolmas kirjoitti:

Selitätkö vielä, mikä on kolmasneliöjuuri?

eiköhän kaikki ymmärrä mitä aloittaja tarkoitti...

Jaaha. Matematiikassa voi harrastaa pilkunviilausta. Tuo on uutta minulle.

Jos y=9, on juurrettava -8 jonka kuutiojuuri on -2.

Taas nimimerkki "Noinkohan" inttää!. Ei tuo funktio ole reaalifunktiona määritelty alueessa y > 1. Kompleksifunktiona kylläkin. Ei se, että joissain yksittäisissä pisteissä voidaan laskea tuon lausekkeen arvo tarkoita, että funktio olisi määritelty tuolla alueella. Ihan turha kommentti!

Ohman

Wikipedia: "Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli x>0 laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste n on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu x>0 , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut."

Kyllä kaikille negatiivisille luvuille löytyy reaalinen kuutiojuuri. Eri asia että löytyy myös kompleksiratkaisuja.

No sanoin väärin tuon "yksittäisissä pisteissä", kyllähän se arvo x^(1/3) voidaan laskea jokaisessa pisteessä x, myös silloin kun x < 0.Jos x> 0 niin (-x)^(1/3) =
- x^(1/3) sillä (- x^(1/3)) ^3 = (-1)^3 * (x^(1/3))^3 = - x.

Toisaalta (- x)^(1/3) = (-1)^(1/3) * x^(1/3).

Mutta (-1) ^(1/3) = e^(i pi/3) = 1/2 i sqrt(3)/2 .Tämä on vain yksi potenssifunktion haara,haaroja kaikkian kolme: (-1)^(1/3) = e^(i (pi/3 2 k pi)/3) missä k = 0 ,1 tai 2)

Kun nyt wikipediaan viittasit niin käypä sijoittamassa WolframAlphaan lauseke x = (1 - y)^(1/3). WA kyllä sanoo kohdassa "properties as a real function" että määritysalue (domain) on alue y <= 1.

Reaalialueella "yleinen potenssi" x^y on x:n jatkuva funktio kun x > 0 ja määritelty myös kun y on irrationaalinen.

Reaalialueella yleinen eksponenttifunktio a^x määritellään kun a>0, tällöin se on yksikäsitteinen ja jatkuva. Sillä on derivaatta d/dx(a^x) = a^x ln a. Tämä ei ole määritelty jos hyväksytän a <0. Vaikka jos hyväksyt että (- 8 )^(1/3) = - 2 niin kai sitten log(-8,-2) = 1/3. Siis kantaluvun -8 mukainen luvun -2 logaritmi olisi 1/3. Eikös nyt olla aika kaukana reaalialueen tavanomaisesta matematiikasta?

Pitäisi myös määritellä mitä tarkoitttaa x^y kun x < 0 ja y on irrationaalinen. Mikä arvo on luvulla (-3)^pi? No (-1)^pi * 3^pi eli on määriteltävä mitä on (-1)^pi.Koska pi on irrationaaliluku niin z^pi on äärettömän monikäsitteinen funktio jonka haarat vaihtuvat toisiinsa kun z kiertää origon ympäri.

Veisi nyt vähän turhan "syville vesille" ruveta tässä pohtimaan kaikkia syitä miksi "yleensä" reaalialueella määritellään tuo x^y vain kun x > 0 tai a^x vain kun a > 0

Minä ainakin käytän edelleenkin kirjalisuudesta "yleensä" löytyviä määritelmiä.

Ohman

Ohman kirjoitti:

No sanoin väärin tuon "yksittäisissä pisteissä", kyllähän se arvo x^(1/3) voidaan laskea jokaisessa pisteessä x, myös silloin kun x < 0.Jos x> 0 niin (-x)^(1/3) =
- x^(1/3) sillä (- x^(1/3)) ^3 = (-1)^3 * (x^(1/3))^3 = - x.

Toisaalta (- x)^(1/3) = (-1)^(1/3) * x^(1/3).

Mutta (-1) ^(1/3) = e^(i pi/3) = 1/2 i sqrt(3)/2 .Tämä on vain yksi potenssifunktion haara,haaroja kaikkian kolme: (-1)^(1/3) = e^(i (pi/3 2 k pi)/3) missä k = 0 ,1 tai 2)

Kun nyt wikipediaan viittasit niin käypä sijoittamassa WolframAlphaan lauseke x = (1 - y)^(1/3). WA kyllä sanoo kohdassa "properties as a real function" että määritysalue (domain) on alue y <= 1.

Reaalialueella "yleinen potenssi" x^y on x:n jatkuva funktio kun x > 0 ja määritelty myös kun y on irrationaalinen.

Reaalialueella yleinen eksponenttifunktio a^x määritellään kun a>0, tällöin se on yksikäsitteinen ja jatkuva. Sillä on derivaatta d/dx(a^x) = a^x ln a. Tämä ei ole määritelty jos hyväksytän a <0. Vaikka jos hyväksyt että (- 8 )^(1/3) = - 2 niin kai sitten log(-8,-2) = 1/3. Siis kantaluvun -8 mukainen luvun -2 logaritmi olisi 1/3. Eikös nyt olla aika kaukana reaalialueen tavanomaisesta matematiikasta?

Pitäisi myös määritellä mitä tarkoitttaa x^y kun x < 0 ja y on irrationaalinen. Mikä arvo on luvulla (-3)^pi? No (-1)^pi * 3^pi eli on määriteltävä mitä on (-1)^pi.Koska pi on irrationaaliluku niin z^pi on äärettömän monikäsitteinen funktio jonka haarat vaihtuvat toisiinsa kun z kiertää origon ympäri.

Veisi nyt vähän turhan "syville vesille" ruveta tässä pohtimaan kaikkia syitä miksi "yleensä" reaalialueella määritellään tuo x^y vain kun x > 0 tai a^x vain kun a > 0

Minä ainakin käytän edelleenkin kirjalisuudesta "yleensä" löytyviä määritelmiä.

Ohman

Lue lisää

Itse asiassa monet modernit oppikirjat määrittelevät reaalialueella ensin funktiot e^x ja ln(x) ja sitten määritellään

a^x = e^(x ln(a)) kun a > 0.

Tästähän sitten tuo derivaatta, jonka mainitsin, on laskettavissa ja se on a^x * ln(a).

Ohman