Jäi vaivaamaan

Ensi oivallus osui oikeaan, pelkkä päättely riittää osoittamaan että tehon maksimi on pienin silloin kun teho on vakio koko matkalla.
Se yksinkertaistaa yhtälön muodostamista, mutta ratkeaako se yleisessä muodossa, vai vain numeerisesti.

Anekdoottina kertoisin vielä että sen aikaiset kehittyneimmät "tietokoneet" olivat muovisia tai puisia läpysköjä joissa oli keskellä joko liikkuva kiekko tai kieli logaritmeja ynnäämässä ja joilla numeerinen integrointi oli lähes katastrofi.

Tulee tietysti vielä termi m*g*v

Kyllä, mutta vain kun t = 0
T.n arvolla 0 ei ole merkitystä matkaan ja heti kun t saa jonkin poikkeavan arvon, myös kiihtyvyys saa omansa, eli ratkaisu kyllä löytyy.

Muutos negatiiviseen suuntaan on tehtävän annossa mahdoton, lisäksi v on vain , "ei välttämätön väliarvo", se voitanee korvata s' :lla ja yrittää ratkaisua t.n ja s.n funktiona, joiden rajat on määrätty.

Taisin itse heittää aikoinaan koko ongelman ja päädyin tulokseen vähän alle 780 W.
myöhemmin sama ongelma on kulkenut useamminkin ja ilmeisesti tarkennettuna tulos on n. 778 W .

Kelaa vanhoja ketjuja, sieltä pitäisi löytyä sekä perusteet että grafiikka tuloksiin.

BTW
Löysin tällaisen tekstin ja melkeinpä veikkaan että aloittaja voisi olla ko. nimimerkki.
___________

aqnostikko

23.5.2011 2:58

satunnainen kävijä kirjoitti:

Täsmällisen vastauksen formulointi näyttää olevan aika vaikeata. Jos joku tietää paremmin, niin opastakoon. Tässä kuitenkin selvitystä siitä mitä itse kysymyksen luonteesta pähkäilin.

Oletan että tässä tuo "vähintään" tarkoittaa myös hetkellistä tehoa, joten intuitiivisesti on melko selvää, että olettamalla tehon olevan sama vähimmäisteho, saadaan se kappale metrin korkeuteen nopeiten.

Vaaditaan siis vakioteho, eli systeemin energian muutosnopeus on vakio.

Systeemin energia E(h,v) = mgh 1/2 *mv²

dE/dt = C = ∂E/∂h*dh/dt ∂E/∂v*dv/dt

josta saadaan

mgv mvdv/dt = C

tässä nyt jo näkyy ennen ratkaisemistakin hankaluus ratkaisun hakemisessa:

alkunopeutta ei voida olettaa nollaksi, ja nopeuden muutosta alussa ei voi olettaa äärettömäksi. Alkunopeus ja alkukiihtyvyys pitää määrätä, josta tuo C sitten ratkeaakin sijoituksella. Mutta koko ratkaisu siis riippuu hihasta vedetyistä alkuarvoista, eikä ratkaisulla taida olla tässä siten paljoa mieltä.

Mutta jos joku keksii järkevämmän ratkaisutavan, niin kertokoon.
Näytä lisää

Siinähän se oli pähkinänkuoressa.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=P=m*s'(t) *(G s''(t))

Aikanaan 60-luvulla opiskeluaikoina painiskeltiin saman ongelman kanssa, (silloin ei ollut vielä laskimia, tarkin väline oli tikku).

Myöhemmin tällä palstalla (joskus 199*) oli joku laskeskellut yksinkertaisella askelohjelmalla ja päässyt arvioon vähän vajaa 780 W, mutta kuten totesit nollanopeudesta ei voi aloittaa.

Joo, virhe löytyi. Korjattuna tulee nyt, jos vakioteholla levosta lähtee ja lepoon päättyy,niin aika yllättäen hevosvoima (helvetillisten differentiaaliyhtälöiden jälkeen, mutta niin varmaan pitikin tulla.) Tossa ne laskut on, tulihan taas ratkottua näitä samoja differentiaaliyhtälöitä ajankuluksi.

aeija kirjoitti:

Joo, virhe löytyi. Korjattuna tulee nyt, jos vakioteholla levosta lähtee ja lepoon päättyy,niin aika yllättäen hevosvoima (helvetillisten differentiaaliyhtälöiden jälkeen, mutta niin varmaan pitikin tulla.) Tossa ne laskut on, tulihan taas ratkottua näitä samoja differentiaaliyhtälöitä ajankuluksi.

Lue lisää

Siis tossa:http://aijaa.com/OQqY1U

aeija kirjoitti:

Joo, virhe löytyi. Korjattuna tulee nyt, jos vakioteholla levosta lähtee ja lepoon päättyy,niin aika yllättäen hevosvoima (helvetillisten differentiaaliyhtälöiden jälkeen, mutta niin varmaan pitikin tulla.) Tossa ne laskut on, tulihan taas ratkottua näitä samoja differentiaaliyhtälöitä ajankuluksi.

Lue lisää

Lepo asennosta lepoasentoon on tarkalleen keskimääräinen teho se 1 hv, mutta nyt kysyttiin sitä hetkellistä minimiä ja jos niin, niin loppunopeus ei olekaan 0, koska hidastuvuutta ei voi hyödyntää kiihdytykseen.
Edellä jo oli vinkki, kuinka pienimpään tehoon pääsemiseksi massalle jää loppunopeutta juuri sen takia että negatiivista osaa ei voi maksimiarvosta vähentää.
Tehtävässä ei haettu tilannetta jossa massa siirretään lepotilasta lepotilaan eri tasolle, vaan pienintä hetkellistä tehoa ja se näyttää päätyvän siihen että massalle jää ylimääräistä liike-energiaa.

Se mitä kai tarkoitettiin oli tarvittavan huipputehon pienin arvo, eli optimoidaan noston ajallisen tehokäyrän huippu mahdollisimman pieneksi. Ja kuten edellä todettiin, optimi on nosto vakioteholla.
Jos massan pitää päätyä lepoon yhden metrin korkeuteen, tarvitaan nähdäkseni suurempi teho kuin tapauksessa jossa se saa jatkaa liikettään. Jos massa kiihdytetään sellaiseen nopeuteen että se jatkaa omalla vauhdillaan hidastuen metrin korkeuteen asti, pitää nopeuden tuossa taitekohdassa olla suurempi kuin tapauksessa jossa massa kiihtyy metriin asti. Joten tarvittava nostotehokin on suurempi. Siten tuo hevosvoima ei voi pitää paikkansa.
Mutta jos massan kiihdytys on käännettävissä sen hidastukseksi, saadaan optimi kun nostetaan vakioteholla jonnekin 95 cm asti ja sitten hidastetaan samalla teholla massa pysähdyksiin.

Täsmälleen siitä on kysymys.
Vain huipputehon pienintä arvoa haetaan.

aeija kirjoitti:

Siis tossa:http://aijaa.com/OQqY1U

Yksi lähestymistapa tähän on näillä nykyisillä laskuvälineillä(lue Wolfram) se, että pähkäilee ensin, että :
Sen nopeuden on pakko jossain kohtaa olla yli yksi, koska yhden metrin korkeuteen on tarkoitus sekunnissa päästä ja nollasta lähdetään.
Sen nopeuden kasvattaminen siihen yhteen vaatii vähiten tehoa silloin, kun se kestää mahdollisimman kauan, eli yläraja sille kestolle on 1 s. Lisäksi on se potentiaalienergia, joka sekin vaatii tehoa mg*1/1=735.75 W.

Tuo liike-energia vaatii tehoa nyt alustavasti ½mv^2/(1s) = ½*75*1^2/1=37.5 W
Nämä tehot yhteensä ovat 773.25 W.

Nyt minulla on tuossa paperissa parikin kaavaa, ja siihen ykköseen sijoittamalla tehoksi 773.25 W ja matkaksi 1 m, saadaan v=1.051 m/s.

Nyt lasketaan uusi kokonaisteho tuolla loppunopeudella, ja siitä tulee 777.6 W.
Sitten taas uusi P paperin yhtälöstä P=777.643 ja v= 1.0569.

Ja vielä kerta, niin P= 777.644 ja v = 1.05697 m/s.

Teho asettuu tuohon , ja se on niin lähellä sitä 778:aa, joka on kuulemma oikein, että minulle tämä riittää.
Minä käytin tuota kaavaa tehon laskemisessa, se on se ykköskaava: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2/1471.5 777.643x/(541328) 777.643^2/398282122*ln((735.7*x-777.643)/(-777.643))=-1/75

aeija kirjoitti:

Yksi lähestymistapa tähän on näillä nykyisillä laskuvälineillä(lue Wolfram) se, että pähkäilee ensin, että :
Sen nopeuden on pakko jossain kohtaa olla yli yksi, koska yhden metrin korkeuteen on tarkoitus sekunnissa päästä ja nollasta lähdetään.
Sen nopeuden kasvattaminen siihen yhteen vaatii vähiten tehoa silloin, kun se kestää mahdollisimman kauan, eli yläraja sille kestolle on 1 s. Lisäksi on se potentiaalienergia, joka sekin vaatii tehoa mg*1/1=735.75 W.

Tuo liike-energia vaatii tehoa nyt alustavasti ½mv^2/(1s) = ½*75*1^2/1=37.5 W
Nämä tehot yhteensä ovat 773.25 W.

Nyt minulla on tuossa paperissa parikin kaavaa, ja siihen ykköseen sijoittamalla tehoksi 773.25 W ja matkaksi 1 m, saadaan v=1.051 m/s.

Nyt lasketaan uusi kokonaisteho tuolla loppunopeudella, ja siitä tulee 777.6 W.
Sitten taas uusi P paperin yhtälöstä P=777.643 ja v= 1.0569.

Ja vielä kerta, niin P= 777.644 ja v = 1.05697 m/s.

Teho asettuu tuohon , ja se on niin lähellä sitä 778:aa, joka on kuulemma oikein, että minulle tämä riittää.
Minä käytin tuota kaavaa tehon laskemisessa, se on se ykköskaava: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2/1471.5 777.643x/(541328) 777.643^2/398282122*ln((735.7*x-777.643)/(-777.643))=-1/75

Lue lisää

Tuo iterointivaihe on hölmösti ja väärinkin kirjoitettu, mutta kai iterointi osataan...

yhtä hyvin voidaan olettaa että loppunopeus olisi 1m/s, jolloin kokonaisenergia olisi 773 j ja teho 773 W ! !
Kummassakaan tapauksessa ei mikään seikka viittaa siihen että 1m korkeus saavutettaisi 1 sekunnissa.

No niin kuin yritin selittää, kyseessä on ns. valistunut arvaus, mikä perustuu siihen että kappaleen kiihdytyksen osuus kokonaisenergiassa on pieni. Kirjoitin tuon ennen kuin e.d.k. julkisti oikean vastauksen ja voidaan nyt todeta että arvaukseni on noin 1,5 % päässä.
Voidaan arvioida että nosto voidaan suorittaa niin että loppunopeus on tuo 1,2 m/s (todellinen arvo on lähempänä 1,1 m/s). Sen sijaan loppunopeudella 1 m/s sitä ei voida suoritta levosta lähtien jos kiihtyvyys kasvaa jatkuvasti (vakioteho), sen sanoo järkikin.

Että tähän ketjuun vastanneiden tieto hevosvoimasta on kyllä riittävä, tai ainakin he todennäköisesti osannevat katsoa sen Wikistä, jos tarpeen.

Tehtävä oli huonosti muotoiltu ja siksi voidaan saivarrella tuolla triviaaliratkaisulla. Tosin tuolla edellä on jo täsmennetty, mitä todella tarkoitetaan.

" hetkellisestä minimi tehosta jolla 75 kg massa saadaan levosta 1 m korkeuteen 1 sekunnissa. "

Ei taida kysymys antaa tuon tapaiselle saivartelulle tilaa.

Lepotilaa kyllä yleensä pidetään erilaisena kuin liiketilaa, mutta yllättävän kauan tällä kertaa kesti ennen kuin palstan vakioidiootit ryhtyivät typerehtimään.

En kyllä ymmärrä mitä tarkoitat. Jos noin kysytään, hetkellinen minimiteho on tietysti 0, sillä massaa voidaan nostaa sekunnissa metrin verran niin että nostoteho on hetkellisesti nolla. Eli tuo on se triviaaliratkaisu. Mutta kysymys on huonosti muotoiltu ja siinä itse asiassa tarkoitettiin hetkellisen maksimitehon minimiarvoa. Ja niin kuin tuolla on ositettu, se saavutetaan käyttämällä nostossa vakiotehoa. Kannattaisi lukea koko ketju eikä jankata jatkuvasti samoista asioista.

Juuri sitä tarkoitin.
Ketjussa on heti alusta käynyt täysin selväksi, mikä on jutun sisältö, mutta jostain syystä aina näyttää löytyvän näitä itsetehostuksen tarpeessa olevia vajakkeja, jotka yrittävät hakemalla hakea edes jotain nyanssia johon voisivat iskeä.
Hyvin todennäköistä onkin että nämä 'älyn kääpiöt' eivät ole ymmärtäneet asiaa väärin, vaan puuttuvat nyansseihin vain päästäkseen esiintymään.

EiNiinHelppo kirjoitti:

En kyllä ymmärrä mitä tarkoitat. Jos noin kysytään, hetkellinen minimiteho on tietysti 0, sillä massaa voidaan nostaa sekunnissa metrin verran niin että nostoteho on hetkellisesti nolla. Eli tuo on se triviaaliratkaisu. Mutta kysymys on huonosti muotoiltu ja siinä itse asiassa tarkoitettiin hetkellisen maksimitehon minimiarvoa. Ja niin kuin tuolla on ositettu, se saavutetaan käyttämällä nostossa vakiotehoa. Kannattaisi lukea koko ketju eikä jankata jatkuvasti samoista asioista.

Lue lisää

" hetkellisestä minimi tehosta jolla 75 kg massa saadaan levosta 1 m korkeuteen 1 sekunnissa. "

Millään 0-teholla ei nosteta yhtään mitään, se ei siis voi olla kysymyksen kohteena, yrititpä sitten tulkita asiaa kuinka tahansa.

Jospa nyt voisitte siirtää kapasiteettinne äidinkielen osaamisenne esittelystä itse asiaan.

Ennen höyrykoneita kaivoksilla pumpattiin vettä hevosilla. Hevoset vetivät ympyrärataa kävellen vääntöpyörää, joka pyöritti pumppua. Pumpun momentti synnytettin hevosten voimalla. Teho on momentti kertaa kulmanopeus.

Onkohan horse power käännetty väärin. Hevosvoiman sijasta pitäisi puhua hevostehosta. Tehohan on voima kertaa nopeus. Kansankielellä asia ilmaistaan esim. niin, että autossa on "sata heppaa".

Ihminen kykenee tuottamaan pidempiaikaisesti noin 250 W lihastyötehon. Jos "hevosteho" on about 735 W, niin se vastaa noin kolmen miehen tehoa. Kuulostaa hyvin mahdolliselta.

Juuri näin.

344y6 kirjoitti:

Juuri näin.

Mikä on loppunopeus, 0 vai 1 m/s vai joku muu.

hsjdghl kirjoitti:

Mikä on loppunopeus, 0 vai 1 m/s vai joku muu.

siis tehtävässä

hsjdghl kirjoitti:

siis tehtävässä

Ilmeisesti se kuuluu tuohon "nostolaitteen optimointiin".

Näyttää parin viimeisen tekstin perusteella että ainakin osalle tehtävä on selvinnyt ja loppunopeudestakin se että kun ratkaisun kokonaisenergia tunnetaan, niin siinä on potentiaalienergia ja jäännösnopeuden liike-energia josta jäännösnopeus on helppo laskea jos siihen on tarvetta.

Sitten voisi kai jo siirtyä itse kysymykseen, että löytyykö ratkaisua muuten kuin numeerisesti.

Edellä jo sivuttiin lähestymistapaa että kiihdytykseen käytettävä energia käsiteltäisi erillään potentiaalienergiasta joka on vakio 735,5 J.
Vakiokiihtyvyys johtaa liian suureen tehoon ja loppunopeuteen, mutta pääsisikö jollain kiihtyvyyden painotuksella tai muilla tavoilla helpommin ratkaistavaan tulokseen kuin liikeyhtälom integrointi, tai voisiko integroinnin suorittaa jotenkin "kuin taka-oven-kautta" ?

Epäilen käyttökelpoisen "takaoven" löytymistä. Eli vaihtoehtoina on joko vaivalloinen numeerinen integrointi tai sitten W-funktioon perustuva ratkaisu vaikkapa wolframilla.

Nyt selvitään sitten jo ilman näitä nykyajan välineitäkin, siis 60-luvun malliin.

(Minäkin tuota energiayhtälön käyttöä mietin, mutta luulin funtsaavani hauki on kala pyörittelyä, ja halusin tietysti myös noita omiani esitellä vielä uudestaan (nars, nars....)

Energiaperiaate lähtökohtana on kyllä hyvä, sen ongelma on siinä että sillä saadaan loppunopeuden ja energian suhde, mutta koska kyseessä on keskimääräinen energia, se ei kerro kiihtyvyyden muutoksesta, eikä hetkestä, milloin 1m korkeus saavutetaan tai korkeudesta 1s kohdalla.

en-veikkaa-tätä-hevosta kirjoitti:

Energiaperiaate lähtökohtana on kyllä hyvä, sen ongelma on siinä että sillä saadaan loppunopeuden ja energian suhde, mutta koska kyseessä on keskimääräinen energia, se ei kerro kiihtyvyyden muutoksesta, eikä hetkestä, milloin 1m korkeus saavutetaan tai korkeudesta 1s kohdalla.

Lue lisää

Lähes millä tahansa arvioinnilla päästään tehossa välille 750 ... 800 W, loppunopeus kun ei todennäköisesti voi nousta kovinkaan suureksi.

Esitetty kaava antaa kiihdytysenergialle yli 10 % virheen eli metrin korkeus jäänee saavuttamatta, toisaalta kaava ei kaipaa mitään iterointia, riittää kun sijoittaa dv =0 ja ratkaisee yhtälön.

Odotamme mielenkiinnolla omaa ratkaisuasi, muutenhan repliikistäsi jäisi vaikutelma että kuulut näihin " kun ei itse osa voi aina kuteenkin aliarvioida muita".

En minä ainakaan mitään ääriarvotehtävän ratkaisua Wolframilla etsinyt, vaan noiden kahden yhtälön ratkaisua pisteessä x, t =1. Siihen käytin Wolframia.

Mutta kun ääriarvotehtävästä tuli kerran puhe, niin noilla molemmilla yhtälöilläni on epäjatkuvuuskohta (ln(0)), eli silloin kun:
mgv-P=0. Siinä voi joku ääriarvo siis olla.

Nyt kun oli vielä se energiayhtälö pisteessä x=1, t=1, eli Pt=½mv^2 mgx=>P=½mv^2 mg, niin taas on yhtälöpari:

mgv-P=0
P=½mv^2 mg

Tostahan tulee toisen asteen yhtälö: v^2-2gv 2g=0, ja ratkaisu v=1,05695, ja sitten P=777,6509 (W)
(En jaksa enää ruveta pähkäilemään yhtään lisää tuota epäjatkuvuuskohtaa ympäristöineen ja itseisarvoineen, takki alkaa olla jo tyhjä.)

Juuri niin, tehoksi tulee sitten 777,3887 W, lienet pyöristellyt väliarvoja.

Kaavasta näkee sen ongelman, siinä on aika oletettu 1 sekunniksi siten että tehon ja energian itseisarvo on sama.
Toisaalta kokonaisenergia on potentiaalienergian ja loppunopeuden liike-energian summa, riippumatta siitä kuinka suuri on loppunopeus.
Loppunopeuden suuruus pitäisi siten määräytyä myös nostokorkeuden mukaan, johon ei riitä pelkästään potentiaalienergian osa, vaan myös kiihdytysenergia riippuu korkeudesta.
Kaava antaa siis ,minimin jossa ehdot täyttyy, huomioimatta korkeutta.

Kiitos kuitenkin hyvistä vinkeistä ja mielenkiinnosta asiaan.

Wolfram antoi suljetun ratkaisun:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dsolve ( v'(t) g ) v(t) = (P/m)

Tosin W:n arvon laskenta vaatii sarjakehitelmän käyttöä.

Ei ihan lukiomatikalla irtoaisi tuo analyyttinen ratkaisu. Täytyy hieman tutkiskella W olemusta.

Sitä erityisesti ihmettelin, että jos v(0)=0 mutta P ei ole nolla, niin yhtälö ei voi toteutua 0-hetkellä.

differenssi kirjoitti:

Ei ihan lukiomatikalla irtoaisi tuo analyyttinen ratkaisu. Täytyy hieman tutkiskella W olemusta.

Sitä erityisesti ihmettelin, että jos v(0)=0 mutta P ei ole nolla, niin yhtälö ei voi toteutua 0-hetkellä.

Lue lisää

Niinpä_

Ja tehtävään v = f (t,P) on vasta välivaihe, se pitäisi vielä integroida ajan suhteen jotta korkeus mahdollistaa ratkaisun.

differenssi kirjoitti:

Ei ihan lukiomatikalla irtoaisi tuo analyyttinen ratkaisu. Täytyy hieman tutkiskella W olemusta.

Sitä erityisesti ihmettelin, että jos v(0)=0 mutta P ei ole nolla, niin yhtälö ei voi toteutua 0-hetkellä.

Lue lisää

Paitsi jos kiihtyvyys on alussa ääretön.

Matematiikan kannalta 0 tai 1/0 eivät yleensä ole mitään ongelmia, vai mitä ajattelet esimerkiksi tästä kyseisestä yhtälöstä hieman yksinkertaistettuna
>> dv/dt =P/m*v
Jos oletetaan että lähdetään paikaltaan, niin v= 0 kun t= 0.
Integroituna nopeudelle saadaan ongelmitta arvo t.n funktiona vaikka kiihtyvyys hetkellä t(0), v(0) kaavan mukaan onkin ääretön.

Ilmeisesti olet sotkenut asian aiempaan keskusteluun, jossa ongelmaan viitattiin askellusperiaatteella laskevassa tietokoneohjelmassa, joka ei hyväksy ensimmäiseksi summattavaksi elementiksi ääretöntä ja ilmoittaa yleensä errorin.
Nollasta poikkeava aloitus koskee siis lietytä tavalla toimivia ohjelmia, ei laskentaa.