Janan pituus on 1. Jana peitetään ympyrällä ja neliöllä. Mikä on ympyrän ja neliön pienin mahdollinen yhteenlaskettu pinta-ala.
Miten tämä pitäisi käsittää? Peitetäänko koko jana SEKÄ ympyrällä, jonka halkaisija on 1, ja neliöllä, jonka sivun pituus on 1. Vai siten että osan janasta peittää ympyrä ja osan neliö?
Miten tämä pitäisi käsittää? Peitetäänko koko jana SEKÄ ympyrällä, jonka halkaisija on 1, ja neliöllä, jonka sivun pituus on 1. Vai siten että osan janasta peittää ympyrä ja osan neliö?
Vastaukset 16
Vanhimmat
Tuossa riittää, että neliön lävistäjän pituus on 1.
Vähän hölmösti asetettu tehtävä, Veikkaan, että osan janasta voi peittää ympyrällä ja osan neliöllä.
Tässä ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjän yhteenlaskettu pituus tulee olla janan pituus (todista!). Lausu alojen summa halkaisijan x ja lävistäjän 1-x pituuksien funktiona, saat toisen asteen yhtälön, jonka minimi on haettu ratkaisu.
Tuo pituuksien summa on tehtävän alkuoletus eikä siis todistusta vaativa asia.
Toisen asteen yhtälöllä ei ole minimiä vaan ratkaisut (juuret).
Sen sijaan polynomifunktiolla voi olla ääriarvoja.
Ohman
Kiitos korjauksesta, sattui termiologialipsahdus. Piti siis kirjoittamani " saat toisen asteen polynomin, ... ". Periaatteessa koetan olla tarkka, kun matematiikka vaatii sitä, mutta kuten ilmeistä, aina pitäisi olla kaksi tarkastajaa, ennen kuin julkaisee mitään.
Ei se ole alkuoletus vaan asia on pääteltävä. Esim niin että aluksi oletetaan, että ympärä peittää vähintään x pituisen osan janasta alkupisteestä laskien, ja neliö vähintään osan 1-x. On aika helppoa todeta, että ympyrän ala minimoituu, kun sen halkaisijan pituus on x, ja vastaavasti neliön alan minimoituvan, kun sen lävistäjän pituus on 1-x.
Laskee > "Tässä ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjän yhteenlaskettu pituus tulee olla janan pituus (todista!)."
Ohman > "Tuo pituuksien summa on tehtävän alkuoletus eikä siis todistusta vaativa asia."
Oleellista olikin halkaisija ja lävistäjä - ei niistä mainittu tehtävässä mitään. Eli lisätehtävä:
Osoita, että janan peittävä neliö on alaltaan pienin silloin, kun jana on neliön lävistäjä. Ja sama ympyrän halkaisijan suhteen.
Toki tuo on selviö, mutta selviötkin on oltava todistettavissa.
Oletpa oikeassa ettö oikeastaan tuo asia pitäisi todistaa.
Ajatellaan että ympyrä ja neliö sijaitsevat kuten olen laskenut eli ympyrän halkaisija ja neliön lävistäjä ovat pitkin tuota ykkösjanaa. Ne leikkaavat janan pisteessä P jonka etäisyys janan ympyrän puoleisesta päästä on 2 x, missä x on ympyrän säde. Etäisyys neliön puoleisesta päästä on siis 1 - 2x ja tämä on neliön lävistäjän pituus.
Jos ympyrä nyt muutetaan toiseen asentoon niin ympyrää on kasvatettava jotta se leikkaisi janan pisteessä P sillä ympyrän halkaisija on ympyrän jänteistä pisin (pitääkö tämäkin todistaa?).
Otetaan neliön vastakkaisilta sivuilta pisteet ja yhdistetään nämä janalla. Pisin tällainen jana on neliön lävistäjä (pitäisikö todistaa?). Joten jos neliötä muutetaan toiseen asentoon sitä on kasvatettava jotta sen sivu leikkaisi janan pisteessä P.
Olipa P mikä tahansa piste janalla niin pienin pintojen summa saadaan kun ympyrä ja neliö ovat tuossa alkuasennossa.Neliö ja ympyrä eivät myöskään saa sijaita siten että niiden leikkaus olisi muu pistejoukko kuin (P), tällöinhän ympyrä ja neliö olisivat suurempia kuin niiden leikatessa pisteessä P (onko todistettava?).
Nyt tehtävässä etsitään se P:n paikka mikä antaa pienimmän pinta-alojen summan kun ympyrä ja neliö ovat tuossa alussa kuvaamassani asennossa.
Riittäisikö tämä? Jos ei, niin korjaa tai täydennä. En nyt aamutuimaan enempääkään järkeile.
Ohman
Olen juuri tuolla menetelmällä lausekkeen tehnyt, mutta huonolla menestyksellä.
(1-x)(1-x) pii*(x'0,5)^2 , derivointi ja kaavaan derivaattafunktion nollakohtien syöttäminen.
(1-x)^2 pii*x^2/4 ->
(1 pii)x^2/4-2x 1 derivoi ja laske nollakohta->
(1 pii)*x/2-2=0
(1 pii)*x=4 ->X=4/(1 pii)=0,906
Ei mene noin. Neliön lävistäjä=ympyrän halkaisija. Neliön lävistäjä sivu*neliöjuuri 2. Näinollen a*juuri 2=1-x. Tästä ratkaistaan a. Nyt voidaan laskea a^2 pii*(0,5x)^2 ja derivointi.
Siis kun x on ympyrän säde:
A = (1-x/sqrt2)^2 pii*x^2/4
Ratkaisuna x = sqrt2/(1 pii/2) = 0,55
Eihän tässä ole sitten mitään laskettavaa, jos neliön lävistäjä on sama kuin ympyrän halkaisija. Miten tähän päätelmään on tultu ja miksi lopputulos ei ole 0,5, jos kerran lävistäjä ja halkaisija ovat samat??
Hah nyt tajusin idean. Lähti rullaamaan. Seuraavakin tehtävä on samantyylinen, siinä jana peitetään pallolla ja kuutiolla.
Olkoon ympyrän säteen pituus x. Neliön lävistäjän pituus on 1- 2x. Neliön sivu a toteuttaa yhtälön 2 a^2 = (1-2x) ^2. Ympyrän ja neliön yhteenlaskettu pinta-ala on
A(x) = pii x^2 1/2 (1-2x)^2. A'(x) = 2 pii x - 2 (1 - 2x) = (2 pii 4 ) x - 2 = 0 joten x = 1/(pii 2). A'' > 0 joten kyseessä minimi.
Minimipinta-ala on A(1/(pii 2)) = pii (1/(pii 2)^2 1/2 (1 - 2/(pii 2))^2 =( pii/2) / (pii 2).
Toinen tapa:
Tarkastellaan funktiota A(x,y) = pii x^2 y^2 /2 - k(2 x y - 1).
dA/dx = 2 pii x - 2 k = 0 ja dA/dy = y - k = 0. y = k ja x = k/ pii. 2 k/ pii k - 1 = 0 ja k(2/ pii 1) = 1
joten k =pii/(2 pii)
x = 1/(2 pii) ja y = pii/(2 pii).
Neliön sivun pituus = y/sqrt(2) joten minimipinta-ala on
pii /(2 pii)^2 1/2 * pii^2 / (2 pii)^2 =( pii/2) / (pii 2).
Ohman
Kyllä ne on kuulkaatte otettava aivan yleiset ympyrä ja neliö ja minimoitava sitten näiden alojen summa ehdolla että ne peittävät sen janan.
No ei nyt ihan yleiset. Kun tehtävässä edellytetään että ympyrä ja neliö yhdessä peittävät janan. Siten voidaan olettaa vaikkapa, että ympyrä peittää vähintään x pituisen osan janasta. Jolloin neliön on peitettävä vähintään loput 1-x pituinen osa janasta. Niinkuin tuolla edellä yritettiin selittää.