Tasasivuisen kolmion sivun pituus on x ja tiheys α (massa pinta-alayksikköä kohden). Pyörimisakseli on kolmion kärjessä, kohtisuorassa kolmion tasoa vasten. Yritän laskea kolmion hitausmomenttia, sain tulokseksi J=5/48*sqrt(3) α*x^4. Saatteko saman?
Entä kuinka ok olisi integroimisen sijaan vain olettaa laskussa, että massa m=α*A= α*sqrt(3)/4*x^2 on keskittynyt kolmion painopisteeseen?
Entä kuinka ok olisi integroimisen sijaan vain olettaa laskussa, että massa m=α*A= α*sqrt(3)/4*x^2 on keskittynyt kolmion painopisteeseen?
Vastaukset 27
Vanhimmat
Ei voi noin.
Jos oletetaan massa pistemäisenä, sillä ei oletuksen mukaan silloin ole omaa hitautta, eli myös kolmion hitaus keskiönsä suhteen on huomioitava.
Siis tuolla lisäyksellä kyllä.
Entä saatko saman tuloksen integroimalla?
2. kysymys: Kts. Steinerin sääntö.
Tuossa sitä hitausmmenttia on integroitu.. Ei kylläkään tasasivuinen kolmio, mutta tuosta soveltamalla saa kyllä esiin senkin.
https://www.youtube.com/watch?v=yEa8npNVejg
Kiitos paljon!!!
Yritin vielä hitausmomenttia puolipallolle, jonka säde on R, tiheys ρ. Pyörimisakseli on pallon keskipisteen kautta kulkeva suora. Esimerkiksi jos pallo sijaitsee xy-tason yläpuolella, akseli on z-akselin suuntainen.
Piirsin sivukuvan pallosta, josta huomaan, että z-akselia vastaan kohtisuorassa olevan poikkileikkausympyrän säde on R*cos(Θ), kun Θ = korotuskulma, [-pii/2, pii/2]. Ollaan siis pallokoordinaatistossa. φ = atsimuuttikulma, [0,2pii].
Näin ollen ajattelin, että hitausmomentti saataisiin seuraavasti:
J=\int_D^{ }r^2dm=\int_D^{ }r^2\rho dV=\rho\int_D^{ }r^2dV=\rho\int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{2}}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{R\cos\theta}r^4dr\right)d\varphi\right)d\theta=\frac{16}{75}\pi\rho R^5
(kaavan voi avata esim. https://www.tutorialspoint.com/latex_equation_editor.htm )
ja siis kysymys vielä unohtui, eli missä menee väärin? Kun tuo tulos ei taida olla oikein...
Kerrotko vielä, onko pyörimisakseli puolipallon pyörähdysakseli vai jokin muu?
Jep, eli esim. tämän puolipallon yhtälö olisi x^2 y^2 z^2=R^2, z>=0 ja tällöin pyörimisakseli on z-akseli.
Eiköhän tuommoisen kappaleen analysointi onnistu helpoimmin kun ladotaan xy-tasolle ympyränmuotoisia kiekkoja päällekkäin niin että z-akseli lävistää ne keskeltä.
Olisiko silloin,
poikkileikkauksen säde = sqrt(R^2-z^2)
ja hitausmomentti
J=\rho\int_{z=0}^{z=R}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{R^2-z^2}}r^3dr\right)d\varphi\right)dz=\frac{4}{15}\pi\rho R^5
kaavan avaaminen https://www.tutorialspoint.com/latex_equation_editor.htm
ja se vielä, että miksi tulos on eri kuin 10:07 viestissä
Wikipedia suosittelee tällaista lähestymistapaa:
"Solid sphere (ball) of radius r and mass m.
A sphere can be taken to be made up of two stacks of infinitesimally thin, solid discs, where the radius differs from 0 to r (or a single stack, where the radius differs from −r to r). Solid sphere (ball) of radius r and mass m."
Umpinaiselle pallolle saadaan I = 2/5 mr^2. Puolipallolle I on varmaan puolet tuosta. Kannattanee selvyyden vuoksi laskea ensin yhden kiekon hitausmomentti ja sitten monistaa niitä. Yhdestä pitkästä litaniasta ei ota erkkikään selvää.
Varmaan tuolta saa jotain vihjettä.
https://www.youtube.com/watch?v=fbD5txXPWPw
Puolipallo P: x^2 y^2 z^2 = R^2 missä z >= 0 ja tiheys = d. Pyörimisakseli on z-akseli.
J = d * Int(P:n yli) r^2 dV missä r on etäisyys z-akselista.
J = d * Int(0 <= z <= R) (- sqrt(R^2 - z^2) <= x <= sqrt(R^2 - z^2)) ( - sqrt(R^2 - z^2 - x^2) <= y <= sqrt(R^2- z^2 - x^2)) (x^2 y^2)dz dx dy.
Käsiin on joskus tarttunut joku UMF:n pruju, jossa on laskettu pallon hitausmomentti,. Saiskohan siitä sen puolipallon sitten suoraviivaisesti kahdella jakamalla, ...en osaa sanoa:
https://aijaa.com/MfltfC
Tosin vaikuttaa siltä, että hitausmomentti pallolle ja puolipallolle on sama, kun ilmaistaan säteen ja massan avulla.
Esimerkiksi linkatussa videossa, pallon hitausmomentti on 8/15πρR^5= 8/15πρR^5/(4/3*π*R^3*ρ/m)=2/5*mR^2.
Puolipallon hitausmomentti on 4/15πρR^5= 8/15πρR^5/(1/2*4/3*π*R^3*ρ/m)=2/5*mR^2.
Mitenkä mahtaa käydä, jos z-symmetrinen puolipallo pyörii x-akselin ympäri?
Pallossa, sen osissa ja monissa muissakin pyrähdyskappaleissa on hitausmomentin laskeminen yksinkertaisempaa, yhden mahdollisen suunnan eliminoitumisen vuoksi.
esimerkki: pallo napakoordinaatissa, origo pallon keskipisteessä.
Massa-alkion tilavuus (kork -> lev -> pit) on tällöin R*dß*cos(ß) -> R*coc(ß) -> 2pii R*sin(ß), ja etäisyys pyörintäakselista R*sin(ß).
Vain kulman integrointi, ja tässä vielä bonuksena, kun lasket 1/4 pallon hitauden, niin ei ole merkitystä mihin paikkaan akselin suhteen osat sijoittuvat. (puolipallo pysty, tai vaaka-asennossa), joten puolipallon hitaus voi olla sama toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien akselien suhteen.
Mistä tuo laskun lähtötilanne (x^2 y^2) tulee? Jos hitausmomentille perusmääritelmä on etäisyyden neliön integraali massan yli?
Eikö etäisyyden neliö 3-ulotteisessa avaruudessa olisi ennemmin r^2=x^2 y^2 z^2 ?
Olettaisin että pyörähdysakselin suunta ei vaikuta etäisyyteen, joten pari vektoria on tarpeeksi.
Etäisyys tässä tarkoittaa etäisyyttä pyörähdysakselista mikä on laskussani (26.3. klo 16:10) z-akseli.
J on koordinaatistosta riippumaton suure mutta laskua voi helpottaa jonkin sopivan koordinaatiston käyttäminen. Sylinterikoordinaatistossa (r,u,z) on
x= r cos(u)
y = r sin(u)
z = z
ja Jacobin determinantin arvo on r joten J = d* I missä I on integraali
I = Int(0 <=z <= R) (0 <= r <= sqrt(R^2 - z^2) (0 <= u <= 2 pii) r^3 dr du dz
Jatkan:
I = 2 pii Int(0 <=z <= R)dz ((R^2 - z^2)^2 /4 = pii/2 (R^5 R^5/5 - 2 R^5/3) = 4/15 pii R^5
Puolipallon massa M = d* 2/3 pii R^3 joten
J = 2/5 M R^2
Kokonaisen pallon hitausmomentti on 2/5 * koko pallon massa*R^2.Koska tuo puolipallon massa M on puolet tästä nähdään että puolipallon hitausmomentti keskiakselin suhteen on puolet koko pallon saman akselin suhteen lasketusta hitausmonmentista.
Tuli yksi ( liikaa: p.o. ...dz(R^2-z^2)^2/4 =... ja olisihan tuon voinut kirjoittaa näinkin päin:
...(R^2 - z^2)^2 / 4 dz = ...
Kysymys kuului että miten mahtaa käydä jos z-symmetrinen puolipallo pyörii x-akselin ympäri?
No tietysti härveli täristää ja ravistaa niin että paikat tippuvat hampaista,
Luehan tarkemmin se kysymys.(Eilen 10:07, 12:04)
Kiitos!!!!