hitausmomentin laskeminen

Entä saatko saman tuloksen integroimalla?

Kiitos paljon!!!

ja siis kysymys vielä unohtui, eli missä menee väärin? Kun tuo tulos ei taida olla oikein...

Anonyymi kirjoitti:

ja siis kysymys vielä unohtui, eli missä menee väärin? Kun tuo tulos ei taida olla oikein...

Kerrotko vielä, onko pyörimisakseli puolipallon pyörähdysakseli vai jokin muu?

Anonyymi kirjoitti:

Kerrotko vielä, onko pyörimisakseli puolipallon pyörähdysakseli vai jokin muu?

Jep, eli esim. tämän puolipallon yhtälö olisi x^2 y^2 z^2=R^2, z>=0 ja tällöin pyörimisakseli on z-akseli.

Anonyymi kirjoitti:

Jep, eli esim. tämän puolipallon yhtälö olisi x^2 y^2 z^2=R^2, z>=0 ja tällöin pyörimisakseli on z-akseli.

Eiköhän tuommoisen kappaleen analysointi onnistu helpoimmin kun ladotaan xy-tasolle ympyränmuotoisia kiekkoja päällekkäin niin että z-akseli lävistää ne keskeltä.

Anonyymi kirjoitti:

Eiköhän tuommoisen kappaleen analysointi onnistu helpoimmin kun ladotaan xy-tasolle ympyränmuotoisia kiekkoja päällekkäin niin että z-akseli lävistää ne keskeltä.

Olisiko silloin,

poikkileikkauksen säde = sqrt(R^2-z^2)
ja hitausmomentti
J=\rho\int_{z=0}^{z=R}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{R^2-z^2}}r^3dr\right)d\varphi\right)dz=\frac{4}{15}\pi\rho R^5

kaavan avaaminen https://www.tutorialspoint.com/latex_equation_editor.htm

Anonyymi kirjoitti:

Olisiko silloin,

poikkileikkauksen säde = sqrt(R^2-z^2)
ja hitausmomentti
J=\rho\int_{z=0}^{z=R}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{R^2-z^2}}r^3dr\right)d\varphi\right)dz=\frac{4}{15}\pi\rho R^5

kaavan avaaminen https://www.tutorialspoint.com/latex_equation_editor.htm

Lue lisää

ja se vielä, että miksi tulos on eri kuin 10:07 viestissä

Anonyymi kirjoitti:

ja se vielä, että miksi tulos on eri kuin 10:07 viestissä

Wikipedia suosittelee tällaista lähestymistapaa:

"Solid sphere (ball) of radius r and mass m.
A sphere can be taken to be made up of two stacks of infinitesimally thin, solid discs, where the radius differs from 0 to r (or a single stack, where the radius differs from −r to r). Solid sphere (ball) of radius r and mass m."

Umpinaiselle pallolle saadaan I = 2/5 mr^2. Puolipallolle I on varmaan puolet tuosta. Kannattanee selvyyden vuoksi laskea ensin yhden kiekon hitausmomentti ja sitten monistaa niitä. Yhdestä pitkästä litaniasta ei ota erkkikään selvää.

Anonyymi kirjoitti:

Wikipedia suosittelee tällaista lähestymistapaa:

"Solid sphere (ball) of radius r and mass m.
A sphere can be taken to be made up of two stacks of infinitesimally thin, solid discs, where the radius differs from 0 to r (or a single stack, where the radius differs from −r to r). Solid sphere (ball) of radius r and mass m."

Umpinaiselle pallolle saadaan I = 2/5 mr^2. Puolipallolle I on varmaan puolet tuosta. Kannattanee selvyyden vuoksi laskea ensin yhden kiekon hitausmomentti ja sitten monistaa niitä. Yhdestä pitkästä litaniasta ei ota erkkikään selvää.

Lue lisää

Varmaan tuolta saa jotain vihjettä.
https://www.youtube.com/watch?v=fbD5txXPWPw

Puolipallo P: x^2 y^2 z^2 = R^2 missä z >= 0 ja tiheys = d. Pyörimisakseli on z-akseli.

J = d * Int(P:n yli) r^2 dV missä r on etäisyys z-akselista.
J = d * Int(0 <= z <= R) (- sqrt(R^2 - z^2) <= x <= sqrt(R^2 - z^2)) ( - sqrt(R^2 - z^2 - x^2) <= y <= sqrt(R^2- z^2 - x^2)) (x^2 y^2)dz dx dy.

Tosin vaikuttaa siltä, että hitausmomentti pallolle ja puolipallolle on sama, kun ilmaistaan säteen ja massan avulla.

Esimerkiksi linkatussa videossa, pallon hitausmomentti on 8/15πρR^5= 8/15πρR^5/(4/3*π*R^3*ρ/m)=2/5*mR^2.

Puolipallon hitausmomentti on 4/15πρR^5= 8/15πρR^5/(1/2*4/3*π*R^3*ρ/m)=2/5*mR^2.

Anonyymi kirjoitti:

Tosin vaikuttaa siltä, että hitausmomentti pallolle ja puolipallolle on sama, kun ilmaistaan säteen ja massan avulla.

Esimerkiksi linkatussa videossa, pallon hitausmomentti on 8/15πρR^5= 8/15πρR^5/(4/3*π*R^3*ρ/m)=2/5*mR^2.

Puolipallon hitausmomentti on 4/15πρR^5= 8/15πρR^5/(1/2*4/3*π*R^3*ρ/m)=2/5*mR^2.

Lue lisää

Mitenkä mahtaa käydä, jos z-symmetrinen puolipallo pyörii x-akselin ympäri?

Anonyymi kirjoitti:

Mitenkä mahtaa käydä, jos z-symmetrinen puolipallo pyörii x-akselin ympäri?

Pallossa, sen osissa ja monissa muissakin pyrähdyskappaleissa on hitausmomentin laskeminen yksinkertaisempaa, yhden mahdollisen suunnan eliminoitumisen vuoksi.

esimerkki: pallo napakoordinaatissa, origo pallon keskipisteessä.

Massa-alkion tilavuus (kork -> lev -> pit) on tällöin R*dß*cos(ß) -> R*coc(ß) -> 2pii R*sin(ß), ja etäisyys pyörintäakselista R*sin(ß).

Vain kulman integrointi, ja tässä vielä bonuksena, kun lasket 1/4 pallon hitauden, niin ei ole merkitystä mihin paikkaan akselin suhteen osat sijoittuvat. (puolipallo pysty, tai vaaka-asennossa), joten puolipallon hitaus voi olla sama toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien akselien suhteen.

Mistä tuo laskun lähtötilanne (x^2 y^2) tulee? Jos hitausmomentille perusmääritelmä on etäisyyden neliön integraali massan yli?

Eikö etäisyyden neliö 3-ulotteisessa avaruudessa olisi ennemmin r^2=x^2 y^2 z^2 ?

Anonyymi kirjoitti:

Mistä tuo laskun lähtötilanne (x^2 y^2) tulee? Jos hitausmomentille perusmääritelmä on etäisyyden neliön integraali massan yli?

Eikö etäisyyden neliö 3-ulotteisessa avaruudessa olisi ennemmin r^2=x^2 y^2 z^2 ?

Lue lisää

Olettaisin että pyörähdysakselin suunta ei vaikuta etäisyyteen, joten pari vektoria on tarpeeksi.

Anonyymi kirjoitti:

Mistä tuo laskun lähtötilanne (x^2 y^2) tulee? Jos hitausmomentille perusmääritelmä on etäisyyden neliön integraali massan yli?

Eikö etäisyyden neliö 3-ulotteisessa avaruudessa olisi ennemmin r^2=x^2 y^2 z^2 ?

Lue lisää

Etäisyys tässä tarkoittaa etäisyyttä pyörähdysakselista mikä on laskussani (26.3. klo 16:10) z-akseli.

J on koordinaatistosta riippumaton suure mutta laskua voi helpottaa jonkin sopivan koordinaatiston käyttäminen. Sylinterikoordinaatistossa (r,u,z) on
x= r cos(u)
y = r sin(u)
z = z
ja Jacobin determinantin arvo on r joten J = d* I missä I on integraali

I = Int(0 <=z <= R) (0 <= r <= sqrt(R^2 - z^2) (0 <= u <= 2 pii) r^3 dr du dz

Anonyymi kirjoitti:

Etäisyys tässä tarkoittaa etäisyyttä pyörähdysakselista mikä on laskussani (26.3. klo 16:10) z-akseli.

J on koordinaatistosta riippumaton suure mutta laskua voi helpottaa jonkin sopivan koordinaatiston käyttäminen. Sylinterikoordinaatistossa (r,u,z) on
x= r cos(u)
y = r sin(u)
z = z
ja Jacobin determinantin arvo on r joten J = d* I missä I on integraali

I = Int(0 <=z <= R) (0 <= r <= sqrt(R^2 - z^2) (0 <= u <= 2 pii) r^3 dr du dz

Lue lisää

Jatkan:
I = 2 pii Int(0 <=z <= R)dz ((R^2 - z^2)^2 /4 = pii/2 (R^5 R^5/5 - 2 R^5/3) = 4/15 pii R^5
Puolipallon massa M = d* 2/3 pii R^3 joten
J = 2/5 M R^2
Kokonaisen pallon hitausmomentti on 2/5 * koko pallon massa*R^2.Koska tuo puolipallon massa M on puolet tästä nähdään että puolipallon hitausmomentti keskiakselin suhteen on puolet koko pallon saman akselin suhteen lasketusta hitausmonmentista.

Anonyymi kirjoitti:

Jatkan:
I = 2 pii Int(0 <=z <= R)dz ((R^2 - z^2)^2 /4 = pii/2 (R^5 R^5/5 - 2 R^5/3) = 4/15 pii R^5
Puolipallon massa M = d* 2/3 pii R^3 joten
J = 2/5 M R^2
Kokonaisen pallon hitausmomentti on 2/5 * koko pallon massa*R^2.Koska tuo puolipallon massa M on puolet tästä nähdään että puolipallon hitausmomentti keskiakselin suhteen on puolet koko pallon saman akselin suhteen lasketusta hitausmonmentista.

Lue lisää

Tuli yksi ( liikaa: p.o. ...dz(R^2-z^2)^2/4 =... ja olisihan tuon voinut kirjoittaa näinkin päin:
...(R^2 - z^2)^2 / 4 dz = ...

Anonyymi kirjoitti:

Jatkan:
I = 2 pii Int(0 <=z <= R)dz ((R^2 - z^2)^2 /4 = pii/2 (R^5 R^5/5 - 2 R^5/3) = 4/15 pii R^5
Puolipallon massa M = d* 2/3 pii R^3 joten
J = 2/5 M R^2
Kokonaisen pallon hitausmomentti on 2/5 * koko pallon massa*R^2.Koska tuo puolipallon massa M on puolet tästä nähdään että puolipallon hitausmomentti keskiakselin suhteen on puolet koko pallon saman akselin suhteen lasketusta hitausmonmentista.

Lue lisää

Kysymys kuului että miten mahtaa käydä jos z-symmetrinen puolipallo pyörii x-akselin ympäri?
No tietysti härveli täristää ja ravistaa niin että paikat tippuvat hampaista,

Anonyymi kirjoitti:

Kysymys kuului että miten mahtaa käydä jos z-symmetrinen puolipallo pyörii x-akselin ympäri?
No tietysti härveli täristää ja ravistaa niin että paikat tippuvat hampaista,

Lue lisää

Luehan tarkemmin se kysymys.(Eilen 10:07, 12:04)

Anonyymi kirjoitti:

Etäisyys tässä tarkoittaa etäisyyttä pyörähdysakselista mikä on laskussani (26.3. klo 16:10) z-akseli.

J on koordinaatistosta riippumaton suure mutta laskua voi helpottaa jonkin sopivan koordinaatiston käyttäminen. Sylinterikoordinaatistossa (r,u,z) on
x= r cos(u)
y = r sin(u)
z = z
ja Jacobin determinantin arvo on r joten J = d* I missä I on integraali

I = Int(0 <=z <= R) (0 <= r <= sqrt(R^2 - z^2) (0 <= u <= 2 pii) r^3 dr du dz

Lue lisää

Kiitos!!!!