Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH
Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.
Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä
6
173
Vastaukset
Laskin, että kun n käy kohti ääretöntä, niin myös n-kulmio ja sen kaveriympyrä käyvät yhdeksi.
Tämä liittyy sinkkupalstaan siten, että kun särmät hioutuvat, niin kaveri on helpompi löytää läheltä.
Hmmm... minä sain, että niiden säteiden suhde lähenee arvoa 9/8. Kyllähän sinne ylhäälle näyttää sellainen kuun sirppi isoilla n jäävän, joten säteet eivät lähenisi toisiaan(?)
Tästähän tuli aika mukava tehtävä (kaikki kunnia alkuperäiselle postaajalle, joka toisessa ketjussa tämän tehtävän neliölle asetti).
Käytin Wolfram Alphaa parissa kohtaa: yhtälöryhmän ratkaisuun ja tuohon raja-arvoon, no paljastetaan nyt että minä sain säteiden (itse ympyrän ja n-kulmion ympärille piirretyn ympyrän) suhteeksi r / r_2 kaavan
sin(pi/n)*(5-4cos(pi(n-2)/n)) / (4*sin(pi(n-2)/n))
Ja kaikki tämä olettaen tietysti, että n-kulmion sivu on 1, jolloin r_2 = 1/(2sin(pi/n)).
Tein myös Geogebrassa version, jossa n:ää voi säätää, mutta en osaa jakaa sitä (Google ei taas laske minua sisälle; mitään numeroita en ala sille antamaan ja muulla tavoin tuonne Geogebraan rekisteröitymään :D). Katsotaan jos jaksan Desmokseen tehdä tuon kuvion, josta ratkaisin erinäisistä yhtälöistä (Pythagoraalla ja kosinilauseella) r:n.
Laskuissa tapahtui kyllä paljon kaikkia mukavia sieventymisiä, niin olisikohan tuohon ratkaisuun joku helpompikin tapa...minkkilaukku kirjoitti:
Hmmm... minä sain, että niiden säteiden suhde lähenee arvoa 9/8. Kyllähän sinne ylhäälle näyttää sellainen kuun sirppi isoilla n jäävän, joten säteet eivät lähenisi toisiaan(?)
Tästähän tuli aika mukava tehtävä (kaikki kunnia alkuperäiselle postaajalle, joka toisessa ketjussa tämän tehtävän neliölle asetti).
Käytin Wolfram Alphaa parissa kohtaa: yhtälöryhmän ratkaisuun ja tuohon raja-arvoon, no paljastetaan nyt että minä sain säteiden (itse ympyrän ja n-kulmion ympärille piirretyn ympyrän) suhteeksi r / r_2 kaavan
sin(pi/n)*(5-4cos(pi(n-2)/n)) / (4*sin(pi(n-2)/n))
Ja kaikki tämä olettaen tietysti, että n-kulmion sivu on 1, jolloin r_2 = 1/(2sin(pi/n)).
Tein myös Geogebrassa version, jossa n:ää voi säätää, mutta en osaa jakaa sitä (Google ei taas laske minua sisälle; mitään numeroita en ala sille antamaan ja muulla tavoin tuonne Geogebraan rekisteröitymään :D). Katsotaan jos jaksan Desmokseen tehdä tuon kuvion, josta ratkaisin erinäisistä yhtälöistä (Pythagoraalla ja kosinilauseella) r:n.
Laskuissa tapahtui kyllä paljon kaikkia mukavia sieventymisiä, niin olisikohan tuohon ratkaisuun joku helpompikin tapa...n-kulmion kärjistä aina 2 on ympyrän ulkopuolella, 2 muuta ympyrän kehällä (poikkeuksena tuo kolmio) ja loput n-4 ympyrän sisäpuolella. Ja kun muodoltaan n-kulmio lähestyy ympyrää n:n kasvaessa, niin esim. miljoonakulmiossa 999996 kärjistä on juuri ympyrän sisällä. Jos ympyrän säde on tuolloin 1, niin sivun pituus on n. 2*pii/1 000 000.
scrg kirjoitti:
n-kulmion kärjistä aina 2 on ympyrän ulkopuolella, 2 muuta ympyrän kehällä (poikkeuksena tuo kolmio) ja loput n-4 ympyrän sisäpuolella. Ja kun muodoltaan n-kulmio lähestyy ympyrää n:n kasvaessa, niin esim. miljoonakulmiossa 999996 kärjistä on juuri ympyrän sisällä. Jos ympyrän säde on tuolloin 1, niin sivun pituus on n. 2*pii/1 000 000.
Mutta pystyykö tuon avulla approksimoimaan, koska ne sivut on sillä tavoin "kasassa", että niistä koostuu itse asiassa enemmän? Tein nyt Desmokseen tuon miten lasken: https://www.desmos.com/calculator/4lxwui2bbe
Kuviossa n-kulmion sivu on aina 1 ja se makaa siten, että yksi kärki on x-akselilla pisteessä (r2, 0). Sivu, jota haluttu ympyrä keskikohdassa sivuaa on tämä x-akselista nouseva ensimmäinen sivu AB.
Kyllä se minusta 9/8:aan menee.minkkilaukku kirjoitti:
Mutta pystyykö tuon avulla approksimoimaan, koska ne sivut on sillä tavoin "kasassa", että niistä koostuu itse asiassa enemmän? Tein nyt Desmokseen tuon miten lasken: https://www.desmos.com/calculator/4lxwui2bbe
Kuviossa n-kulmion sivu on aina 1 ja se makaa siten, että yksi kärki on x-akselilla pisteessä (r2, 0). Sivu, jota haluttu ympyrä keskikohdassa sivuaa on tämä x-akselista nouseva ensimmäinen sivu AB.
Kyllä se minusta 9/8:aan menee.Ai niin ja hupsista, tämä tosiaan meni vahingossa väärälle palstalle, matikka-palstalle olin laittamassa :D. Noh, cross-postataan nyt sinnekin...
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
IL - PerSut tykittää - Vaaralliset tappajat vankilaan jopa loppuelämäksi!!
Entistä rajumpi elinkautinen tulee – Vaaralliset tappajat vankilaan jopa loppuelämäksi Henkirikosten uusijat voidaan ja17322259Some kuhisee Sanna Marinista: "Wau"
Sanna Marinia hehkutetaan. Muun muassa Jodelissa kommentoidaan The Sunday Timesin julkaisemaa kuvaa Marinista. Hän ant749466Sannalla tänään vuorossa The Daily Show
Eli nyt mennään jo satiirin puolelle. Tuohan on vähän kuten Lindströmin ohjelma Suomessa.297450Äärioikeistopurran nukke Petteri Lapanen paniikissa
Kun Suomen historian paras pääministeri antoi vankan lausunnon, kuinka "keskustelu politiikassa on käpertynyt lähinnä va796301SIELTÄ SE TULI: Kepu-Kurvinen: "Emme enää lähde punavihreään hallitukseen"
Nyt muuten nauretaan loppuviikko, että tähänkö kaatui Lindtmanin pääministerihaaveet. "Antti Kurvisen mukaan puolue ei1815924Täysi ryöpytys Sanna Marinille ulkomailla.
https://www.iltalehti.fi/ulkomaat/a/f699d84f-fa53-4dba-8718-2c395017fc55 Sanna Marinin kirja saa todella tylyn vastaanot344946HS - Sanna Marinin kirja on priimaluokan vedätys!
Kirja-arvio|Toivo on tekoja tulisi ensisijaisesti nähdä maineen rahallisen hyödyntämisen voimaannuttavana merkkipaaluna.1084600Minja Koskelan "istumista" kertovassa uutisessa ei sanottu persuista mitään
eli jälleen kerran äärivasemmistolainen valehtelee, hän kun väittää että juuri persut ovat lähetelleet Koskelalle vähemm984350Pekka Visuri: "Suomen on aika irrottautua Ukrainan sodasta"
Slava Ukraina-mölinät eivät enää auta. Ukraina on sotansa hävinnyt. Nyt tarvitaan poliittista selvänäköisyyttä, reaalipo842022Marin vetäs lopullisesti maton alta hallitusyhteistyöltä Kepun kanssa
Kurvinen on jo ennättänyt kommentoimaan, ettei Kepu ole koskaan enää kiinnostunut vasemmiston kanssa hallituspaikasta, k771310