Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä

Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH

Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.

6

250

    Vastaukset 6

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Laskin, että kun n käy kohti ääretöntä, niin myös n-kulmio ja sen kaveriympyrä käyvät yhdeksi.

      • Tämä liittyy sinkkupalstaan siten, että kun särmät hioutuvat, niin kaveri on helpompi löytää läheltä.


      • Hmmm... minä sain, että niiden säteiden suhde lähenee arvoa 9/8. Kyllähän sinne ylhäälle näyttää sellainen kuun sirppi isoilla n jäävän, joten säteet eivät lähenisi toisiaan(?)

        Tästähän tuli aika mukava tehtävä (kaikki kunnia alkuperäiselle postaajalle, joka toisessa ketjussa tämän tehtävän neliölle asetti).

        Käytin Wolfram Alphaa parissa kohtaa: yhtälöryhmän ratkaisuun ja tuohon raja-arvoon, no paljastetaan nyt että minä sain säteiden (itse ympyrän ja n-kulmion ympärille piirretyn ympyrän) suhteeksi r / r_2 kaavan

        sin(pi/n)*(5-4cos(pi(n-2)/n)) / (4*sin(pi(n-2)/n))

        Ja kaikki tämä olettaen tietysti, että n-kulmion sivu on 1, jolloin r_2 = 1/(2sin(pi/n)).

        Tein myös Geogebrassa version, jossa n:ää voi säätää, mutta en osaa jakaa sitä (Google ei taas laske minua sisälle; mitään numeroita en ala sille antamaan ja muulla tavoin tuonne Geogebraan rekisteröitymään :D). Katsotaan jos jaksan Desmokseen tehdä tuon kuvion, josta ratkaisin erinäisistä yhtälöistä (Pythagoraalla ja kosinilauseella) r:n.
        Laskuissa tapahtui kyllä paljon kaikkia mukavia sieventymisiä, niin olisikohan tuohon ratkaisuun joku helpompikin tapa...


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Hmmm... minä sain, että niiden säteiden suhde lähenee arvoa 9/8. Kyllähän sinne ylhäälle näyttää sellainen kuun sirppi isoilla n jäävän, joten säteet eivät lähenisi toisiaan(?)

        Tästähän tuli aika mukava tehtävä (kaikki kunnia alkuperäiselle postaajalle, joka toisessa ketjussa tämän tehtävän neliölle asetti).

        Käytin Wolfram Alphaa parissa kohtaa: yhtälöryhmän ratkaisuun ja tuohon raja-arvoon, no paljastetaan nyt että minä sain säteiden (itse ympyrän ja n-kulmion ympärille piirretyn ympyrän) suhteeksi r / r_2 kaavan

        sin(pi/n)*(5-4cos(pi(n-2)/n)) / (4*sin(pi(n-2)/n))

        Ja kaikki tämä olettaen tietysti, että n-kulmion sivu on 1, jolloin r_2 = 1/(2sin(pi/n)).

        Tein myös Geogebrassa version, jossa n:ää voi säätää, mutta en osaa jakaa sitä (Google ei taas laske minua sisälle; mitään numeroita en ala sille antamaan ja muulla tavoin tuonne Geogebraan rekisteröitymään :D). Katsotaan jos jaksan Desmokseen tehdä tuon kuvion, josta ratkaisin erinäisistä yhtälöistä (Pythagoraalla ja kosinilauseella) r:n.
        Laskuissa tapahtui kyllä paljon kaikkia mukavia sieventymisiä, niin olisikohan tuohon ratkaisuun joku helpompikin tapa...

        n-kulmion kärjistä aina 2 on ympyrän ulkopuolella, 2 muuta ympyrän kehällä (poikkeuksena tuo kolmio) ja loput n-4 ympyrän sisäpuolella. Ja kun muodoltaan n-kulmio lähestyy ympyrää n:n kasvaessa, niin esim. miljoonakulmiossa 999996 kärjistä on juuri ympyrän sisällä. Jos ympyrän säde on tuolloin 1, niin sivun pituus on n. 2*pii/1 000 000.


      • scrg kirjoitti:

        n-kulmion kärjistä aina 2 on ympyrän ulkopuolella, 2 muuta ympyrän kehällä (poikkeuksena tuo kolmio) ja loput n-4 ympyrän sisäpuolella. Ja kun muodoltaan n-kulmio lähestyy ympyrää n:n kasvaessa, niin esim. miljoonakulmiossa 999996 kärjistä on juuri ympyrän sisällä. Jos ympyrän säde on tuolloin 1, niin sivun pituus on n. 2*pii/1 000 000.

        Mutta pystyykö tuon avulla approksimoimaan, koska ne sivut on sillä tavoin "kasassa", että niistä koostuu itse asiassa enemmän? Tein nyt Desmokseen tuon miten lasken: https://www.desmos.com/calculator/4lxwui2bbe

        Kuviossa n-kulmion sivu on aina 1 ja se makaa siten, että yksi kärki on x-akselilla pisteessä (r2, 0). Sivu, jota haluttu ympyrä keskikohdassa sivuaa on tämä x-akselista nouseva ensimmäinen sivu AB.

        Kyllä se minusta 9/8:aan menee.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Mutta pystyykö tuon avulla approksimoimaan, koska ne sivut on sillä tavoin "kasassa", että niistä koostuu itse asiassa enemmän? Tein nyt Desmokseen tuon miten lasken: https://www.desmos.com/calculator/4lxwui2bbe

        Kuviossa n-kulmion sivu on aina 1 ja se makaa siten, että yksi kärki on x-akselilla pisteessä (r2, 0). Sivu, jota haluttu ympyrä keskikohdassa sivuaa on tämä x-akselista nouseva ensimmäinen sivu AB.

        Kyllä se minusta 9/8:aan menee.

        Ai niin ja hupsista, tämä tosiaan meni vahingossa väärälle palstalle, matikka-palstalle olin laittamassa :D. Noh, cross-postataan nyt sinnekin...


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Tässä ovat Elämäni biisi vieraat lauantai 19.9. - Yksi vieras on kohuttu TTK-juontajaehdokas

      Elämäni biisi vieraslista on harvinaisen mielenkiintoinen lauantaina. Mukana myös kohuttu TTK-juontajaehdokas, josta ei
      Tv-sarjat
      21
      1371
    2. 68
      1340
    3. Mies joka on oikeasti kiinnostunut

      Ja näkee sut pitkäaikaisena kumppanina, siirtää vaikka vuoria selvittääkseen asiat eikä ota pienintäkään riskiä menettää
      Ikävä
      133
      1261
    4. Mikä sun salaisuus on,kun näytät niin nuorelta..

      Vaikka oot jo noin vanha!?
      Ikävä
      108
      1255
    5. Kunnanhallitus

      Miten käy täällä vuosia tuomioita jakaneelle valittajalle, hovioikeus hylännyt kaikki syytteet.
      Puolanka
      67
      1059
    6. Onko nyt kaikki asiat käyty läpi?

      Mun mielestä on👍
      Ikävä
      109
      1009
    7. Rauha, sopiiko

      Ei häiritä enää toisiamme. Annetaan molemmille rauha unohtaa, pyydän tätä todella. Kiitos. Miehelle.
      Ikävä
      94
      967
    8. Miesten (epä)viehättävyydestä kysymys

      Mieltä askarruttava asia, liki dilemma. Palstallahan jotkut miesoletetut usein toteavat, että kaikki naiset tavoittelev
      Sinkut
      182
      933
    9. Minkä kappaleen

      haluaisit soivan, kun astellaan alttarille?
      Ikävä
      89
      886
    10. MiltäKaivattusi

      Näyttää? !
      Ikävä
      45
      881
    11. Ei siitä pääse yli, eikä ympäri!

      Pakko se on myöntää ja tunnustaa. Olisin halunnut p*nna sinua sydämeni kyllyydestä. Itseäni vanhemmalle naiselle
      Ikävä
      66
      801
    12. Myönnetään, tunnen lämpimiä tunteita kohtaasi

      Vaikutat tosin liian hyvältä ollaksesi totta. Komeita miehiä on maailma pullollaan mutta sinussa on jotain.....
      Ikävä
      50
      696
    13. Vieläkö tykkäät

      Minusta niin paljon että olisit valmis?
      Ikävä
      43
      666
    14. Tykkäätkö minusta

      Mies vai et? -nainen
      Ikävä
      58
      663
    15. Mitä meidän välillämme

      On käynyt näiden vuosien aikana?
      Ikävä
      70
      646
    16. Olit hyödytön.

      Mulle hyödytön..
      Ikävä
      98
      638
    17. Humppila korvasi johtajia tekoälyllä

      https://yle.fi/a/74-20215155 Humppilassa on lakkautettu teknisen ja hallintojohtajan virat. Säästöä tuli hetkessä 150
      Maailman menoa
      87
      628
    18. Perhoseni (miehelle)

      Miksi et usko, että mun rakkaus sinuun on aitoa ja vilpitöntä? Tai että se oli jo silloin? Miksi ajattelet, ettet ole r
      Ikävä
      123
      622
    19. Uskaltaisitko

      Tavata kaivattusi tässä tilanteessa?
      Ikävä
      67
      586
    20. Olen tavattavissa

      tänään klo 17-02 siinä ravintolassa. Tulethan sinäkin?
      Ikävä
      53
      577
    Aihe