Yleistetty sivun keskipisteen sivuava ympyrä

Säännöllisen n-kulmion sivun keskipisteen ja tämän sivun muodostavien kärkien vierekkäisten (sivusta ulospäin kumpaankin suuntaan seuraavien) kärkien kautta piirretään ympyrä.
Tämä kuva luultavasti auttaa hahmottamaan tilannetta: https://aijaa.com/fGuWtH

Tehtävä ei ole tarkasti rajattu, laskekaa tuosta mitä vain. Ehkä nyt se miten ympyrän säde r suhtautuu n-kulmion sivuun tulee ensimmäisenä mieleen.

6

153

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Laskin, että kun n käy kohti ääretöntä, niin myös n-kulmio ja sen kaveriympyrä käyvät yhdeksi.

      • Tämä liittyy sinkkupalstaan siten, että kun särmät hioutuvat, niin kaveri on helpompi löytää läheltä.


      • Hmmm... minä sain, että niiden säteiden suhde lähenee arvoa 9/8. Kyllähän sinne ylhäälle näyttää sellainen kuun sirppi isoilla n jäävän, joten säteet eivät lähenisi toisiaan(?)

        Tästähän tuli aika mukava tehtävä (kaikki kunnia alkuperäiselle postaajalle, joka toisessa ketjussa tämän tehtävän neliölle asetti).

        Käytin Wolfram Alphaa parissa kohtaa: yhtälöryhmän ratkaisuun ja tuohon raja-arvoon, no paljastetaan nyt että minä sain säteiden (itse ympyrän ja n-kulmion ympärille piirretyn ympyrän) suhteeksi r / r_2 kaavan

        sin(pi/n)*(5-4cos(pi(n-2)/n)) / (4*sin(pi(n-2)/n))

        Ja kaikki tämä olettaen tietysti, että n-kulmion sivu on 1, jolloin r_2 = 1/(2sin(pi/n)).

        Tein myös Geogebrassa version, jossa n:ää voi säätää, mutta en osaa jakaa sitä (Google ei taas laske minua sisälle; mitään numeroita en ala sille antamaan ja muulla tavoin tuonne Geogebraan rekisteröitymään :D). Katsotaan jos jaksan Desmokseen tehdä tuon kuvion, josta ratkaisin erinäisistä yhtälöistä (Pythagoraalla ja kosinilauseella) r:n.
        Laskuissa tapahtui kyllä paljon kaikkia mukavia sieventymisiä, niin olisikohan tuohon ratkaisuun joku helpompikin tapa...


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Hmmm... minä sain, että niiden säteiden suhde lähenee arvoa 9/8. Kyllähän sinne ylhäälle näyttää sellainen kuun sirppi isoilla n jäävän, joten säteet eivät lähenisi toisiaan(?)

        Tästähän tuli aika mukava tehtävä (kaikki kunnia alkuperäiselle postaajalle, joka toisessa ketjussa tämän tehtävän neliölle asetti).

        Käytin Wolfram Alphaa parissa kohtaa: yhtälöryhmän ratkaisuun ja tuohon raja-arvoon, no paljastetaan nyt että minä sain säteiden (itse ympyrän ja n-kulmion ympärille piirretyn ympyrän) suhteeksi r / r_2 kaavan

        sin(pi/n)*(5-4cos(pi(n-2)/n)) / (4*sin(pi(n-2)/n))

        Ja kaikki tämä olettaen tietysti, että n-kulmion sivu on 1, jolloin r_2 = 1/(2sin(pi/n)).

        Tein myös Geogebrassa version, jossa n:ää voi säätää, mutta en osaa jakaa sitä (Google ei taas laske minua sisälle; mitään numeroita en ala sille antamaan ja muulla tavoin tuonne Geogebraan rekisteröitymään :D). Katsotaan jos jaksan Desmokseen tehdä tuon kuvion, josta ratkaisin erinäisistä yhtälöistä (Pythagoraalla ja kosinilauseella) r:n.
        Laskuissa tapahtui kyllä paljon kaikkia mukavia sieventymisiä, niin olisikohan tuohon ratkaisuun joku helpompikin tapa...

        n-kulmion kärjistä aina 2 on ympyrän ulkopuolella, 2 muuta ympyrän kehällä (poikkeuksena tuo kolmio) ja loput n-4 ympyrän sisäpuolella. Ja kun muodoltaan n-kulmio lähestyy ympyrää n:n kasvaessa, niin esim. miljoonakulmiossa 999996 kärjistä on juuri ympyrän sisällä. Jos ympyrän säde on tuolloin 1, niin sivun pituus on n. 2*pii/1 000 000.


      • scrg kirjoitti:

        n-kulmion kärjistä aina 2 on ympyrän ulkopuolella, 2 muuta ympyrän kehällä (poikkeuksena tuo kolmio) ja loput n-4 ympyrän sisäpuolella. Ja kun muodoltaan n-kulmio lähestyy ympyrää n:n kasvaessa, niin esim. miljoonakulmiossa 999996 kärjistä on juuri ympyrän sisällä. Jos ympyrän säde on tuolloin 1, niin sivun pituus on n. 2*pii/1 000 000.

        Mutta pystyykö tuon avulla approksimoimaan, koska ne sivut on sillä tavoin "kasassa", että niistä koostuu itse asiassa enemmän? Tein nyt Desmokseen tuon miten lasken: https://www.desmos.com/calculator/4lxwui2bbe

        Kuviossa n-kulmion sivu on aina 1 ja se makaa siten, että yksi kärki on x-akselilla pisteessä (r2, 0). Sivu, jota haluttu ympyrä keskikohdassa sivuaa on tämä x-akselista nouseva ensimmäinen sivu AB.

        Kyllä se minusta 9/8:aan menee.


      • minkkilaukku kirjoitti:

        Mutta pystyykö tuon avulla approksimoimaan, koska ne sivut on sillä tavoin "kasassa", että niistä koostuu itse asiassa enemmän? Tein nyt Desmokseen tuon miten lasken: https://www.desmos.com/calculator/4lxwui2bbe

        Kuviossa n-kulmion sivu on aina 1 ja se makaa siten, että yksi kärki on x-akselilla pisteessä (r2, 0). Sivu, jota haluttu ympyrä keskikohdassa sivuaa on tämä x-akselista nouseva ensimmäinen sivu AB.

        Kyllä se minusta 9/8:aan menee.

        Ai niin ja hupsista, tämä tosiaan meni vahingossa väärälle palstalle, matikka-palstalle olin laittamassa :D. Noh, cross-postataan nyt sinnekin...


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mitä yhteistä on sulla ja kaivatulla?

      Onko teillä samantyyppinen olemus tai luonne? Vai muistuttaako vartalonne toisiaan? Tai kasvot? Entä pukeutuminen? Onko
      Ikävä
      115
      1800
    2. Kerran oltiin mekin kahdestaan

      Saanko sanoa, että minua kyllä vähän huvitti jälkeenpäin? Olit kuin vapiseva jänis ketun vieressä valmis loikkimaan paik
      Ikävä
      24
      1533
    3. Jos nainen harrastaa seksiä

      Useiden kanssa, miten se eroaa miesten mielestä siitä, jos miehellä on ollut useita s kumppaneita? Oletan että kaikki mi
      Ikävä
      227
      1476
    4. Ozzy Osbourne on kuollut

      Kevyet mullat ja R.I.P. Ei soi enää Paranoid.
      Maailman menoa
      216
      1460
    5. Naiset, naiset

      Älkää antako painonne nousta. Naisella ylipaino ei ole hyvä.💝
      Ikävä
      181
      1247
    6. Oikeasti, voitais mennä kahville

      ja jutella niin kuin normi-ihmiset. Kyllä toivon sitä. En pelkää kohdata enkä istua sun kanssa samassa pöydässä. Miten o
      Ikävä
      84
      1138
    7. Pihlaja-puulle

      Illat on mulle pahimpia. En tiiä miks se olis vaan parasta yöstä toiseen nukkua sun kanssa ja herätä sun kasvoihin. Jos
      Ikävä
      15
      1129
    8. Yritin keväällä unohtaa sinut nainen

      mutta siinä kävi niin, että ikävä tuli korkoineen takaisin. Niin että mikä taikavoima sinulla on minuun, sitä joutuu mie
      Ikävä
      35
      960
    9. No mitä nyt

      Ollaanko vaiko eikö olla? Miehelle.
      Ikävä
      74
      909
    10. Leton rannan kakat - hys hys hiljaa!

      Hienolle rannalle on jostain ilmeisen selvästi tullut ulostusjätteitä. Mistään tutkimuksista ei ole vielä tietoa ja kuka
      Kalajoki
      68
      869
    Aihe