Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).
Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?
Eristetyt alkuluvut
2
161
Vastaukset
- Anonyymi
Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.
Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.
Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.
Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
Merkitään
M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
(Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n
p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
ja
p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.
Huomioita:
Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.
Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Zelenskyi ei suostunut nöyrtymään Trumpin ja Vancen edessä, siksi meni pieleen
Trumppia täytyy imarrella, silloin homma toimii aina. Tähän Zelenskyi ei suostunut.6734299Harmi että
Pidät niin vastenmielisenä. Olen minäkin välissä ollut ihan kamala sinulle ja ihmetellyt miten voit minusta tykätä. Se o192145- 921243
- 701106
Nainen, olet jotenkin lumoava
Katselen kauneuttasi kuin kuuta, sen loistoa pimeässä. Sen kaunis valo on kaunista sekä herkkää ja lumoavaa. Olet naisel66928Trump näytti slipoveri-ukolle kaapin paikan!
Slipoveri-ukko Ukrainan presidentti Volodimir Selenskyi meni tapaamaan valkoiseen taloon Trumppia ilman kunnon tuliaisia115874Jos saan sinut elämääni
niin minun täytyy nukkua ihan ensimmäiseksi 2vk putkeen. Sopiiko se sinulle? Väsynyt olen ollut ja niin levollinen olo75854- 65836
Kun Zele jenkeissä kävi
Enää ei Zele saanutkaan miljardeja ilmaista rahaa niin helposti. Läksyttivät oikein kunnolla pientä miestä ja joutui poi245789- 37783
