Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).
Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?
Eristetyt alkuluvut
2
250
Vastaukset
- Anonyymi
Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.
Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.
Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.
Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
Merkitään
M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
(Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n
p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
ja
p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.
Huomioita:
Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.
Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mitä aiot tehdä uudenvuoden aattona
Mitä olet suunnitellut tekeväsi uudenvuoden aattona ja aiotko ensi vuonna tehdä jotain muutoksia tai uudenvuoden lupauks2094730Marin sitä, Marin tätä, yhyy yhyy, persut jaksaa vollottaa
On nuo persut kyllä surkeaa porukkaa. Edelleen itkevät jonkun Marinin perään, vaikka itse ovat tuhonneet Suomen kansan t1093466Väestönsiirtoa itään?
Ano "the Russo" Turtiainen sai poliittisen turvapaikan Venäjältä. Pian lähtee varmaan Nazima Nuzima ja Kiljusen väki per891960Ikävä sinua..
Kauan on aikaa kulunut ja asioita tapahtunut. Mutta sinä M-ies olet edelleen vain mielessäni. En tiedä loinko sinusta va141480Riikka Purra: "Kokoomus haluaa leikata pienituloisten etuuksista - Se ei meille käy"
Näin vakuutti persujen Purra edellisten eduskunta vaalien alla,. https://www.ku.fi/artikkeli/4910942-kun-uudessa-videos111428Muistattekos kuinka persujen Salainen Akentti kävi Putinin leirillä
Hakemassa jamesbondimaista vakoiluoppia paikan päällä Venäjällä? Siitä ei edes Suomea suojeleva viranomainen saanut puhu181356Vuoden luetuimmat: Mikä on Pelle Miljoonan taiteilijaeläkkeen suuruus?
Pelle Miljoonan eläkkeen suuruus kiinnosti lukijoita tänä vuonna. Artikkeli on Suomi24 Viihteen luetuimpia juttuja v. 20271283Riikka Purra sanoo, että sietokykyni vittumaisiin ihmisiin alkaa olla lopussa.
https://www.iltalehti.fi/politiikka/a/be8f784d-fa24-44d6-b59a-b9b83b629b28 Riikka Purra sanoo medialle suorat sanat vitt2611255- 531234
Lindtmanin pääministeriys lähenee päivä päivältä
Suomen kansan kissanpäivät alkavat siitä hetkestä, kun presidentti Stubb on tehnyt nimityksen. Ainoastaan ylin tulodesi141170