Eristetyt alkuluvut

Kaikkihan tietävät että alkuluvuissa on mielivaltaisen suuria hyppyjä (luvut n! 2, n! 3, ..., n! n ovat kaikki yhdistettyjä lukuja).

Mutta entäpä jos halutaan että alkuluvusta hyppy edelliseen ja seuraavaan ovat molemmat mielivaltaisen suuria? Eli ts. jos on annettu n, niin löytyykö aina alkuluku p, siten että luvut p-n, ..., p-1, p 1, ..., p n ovat yhdistettyjä lukuja?

2

177

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Löytyy, Perustelu tosin vaatii melko pitkälle lukuteorian tuntemusta. Alkulukujen keskimääräinen esiintymistiheys harvenee lukujen kasvaessa, joska tulos seuraa.

      • Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.

        Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.

        Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
        Merkitään
        M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
        (Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
        Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
        Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
        Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n

        p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
        ja
        p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.

        Huomioita:

        Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.

        Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Tänään pyörit ajatuksissa enemmän, kun erehdyin lukemaan palstaa

      En saisi, silti toivon että sinä vielä palaat ja otetaan oikeasti selvää, hioituuko särmät ja sulaudummeko yhteen. Vuod
      Ikävä
      22
      5184
    2. Huomenta ihana

      Kauniskasvoinen ihanuus 😘 saan sut vielä
      Ikävä
      25
      4368
    3. Hei rakas...

      Miten on työpäivä sujunut? Rakastan sinua 💗
      Ikävä
      27
      2481
    4. Edelleen sitä on vaikea uskoa

      Että olisit oikeasti rakastunut muhun
      Ikävä
      34
      2264
    5. Toiveikas vai toivoton

      torstai? Ajatuksia?
      Ikävä
      37
      1998
    6. Vitsi mihin menit. Heti takasin.

      Mä näin sut tuu takasin! Oli kiire, niin en ehtiny sin perään!
      Ikävä
      15
      1918
    7. En ole koskaan kokenut

      Ennen mitään tällaista rakastumista. Tiedän että kaipaan sinua varmaan loppu elämän. Toivottavasti ei tarvitsisi vain ka
      Ikävä
      19
      1597
    8. Mukavaa päivää

      Mun rakkauden kohteelle ❤️ toivottavasti olet onnellinen
      Ikävä
      12
      1531
    9. Voi ei! Jari Sillanpää heitti keikan Helsingissä - Hämmästyttävä hetki lavalla...

      Ex-tangokuningas on parhaillaan konserttikiertueella. Hän esiintyi Savoy teatterissa äitienpäivänä. Sillanpää jakoi kons
      Suomalaiset julkkikset
      21
      1257
    10. Kerranki asiat oikein

      Ilkka ja muut pienpuolueeet...teitte hyvän työn kun valitsitte pätevän henkilön virkaan eikä kepulle passelia!! Jatkakaa
      Haapavesi
      10
      1174
    Aihe