Integaali (x*ln(x)) potenssiin n nollasta ykköseen

Yritän laskea, Leibnizin metodiksiko sitä nyt kutsutaan kun lisätään uusi parametri, jonka jollain arvolla integraali saadaan ja derivoidaan (ja siirretään integraalimerkin alle)(?), tuollaista. Siis minä laitan t:n ln(x):ään eli ln(tx). Täällä on laskuni: https://www.desmos.com/calculator/bh4rvon3xa . Olen jo arvannut kaavan integraalin arvolle

n! / (n 1)^(n 1),

mutta tuossa laskemisessa on yksi kohta jota en saa menemään: Kun lasketaan I_n(t):tä, niin sinne tulee ylimääräinen x:ä. Desmoksessa g on I'(t) ja siinä alla on se muoto, johon pääsin. Miten tuosta? Pitäisikö antaa x:n potenssin olla m ja johtaa yleisempi kaava. Kokeilin osittaisintegraatiota, mutta sekään ei mielestäni toiminut.

11

211

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Siis integraalista tulee mukavasti n ulos, joka johtaa rekursiivisesti n!:ään kun saataisiin jäämään alempi I_n. Mutta mistäs 1/(n 1)^(n 1) saadaan? Merkitsen siis integraalia I_n(t). Derivaatalle saadaan

      I_n'(t) = n/t integraali nollasta ykköseen x (x*ln(tx))^(n-1) dx

      mutta tuosta en osaa jatkaa. Mitenkäs I_n(t) saadaan derivaatasta, ei oikein uskalla integroidakaan (vai mistä mihin (ykköseen oletettavasti) pitäisi??)

    • Anonyymi

      En nyt ehkä ihan saa esityksestäsi selvää mitä varsinaisesti tarkoitat. Kuitenkin, kts. Wikipedia: Leibnitz integral rule. Onko tuo Feynmanin temppu etsimäsi?

      • Anonyymi

        Sori. P.o. : Leibniz


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sori. P.o. : Leibniz

        Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:

        Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)


      • Anonyymi kirjoitti:

        Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:

        Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)

        Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:

        I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))

        eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
        Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:

        I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))

        eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
        Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.

        Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.

        Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.

        Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
        Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".


      • Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
        Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".

        Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:

        I_m,n'(t)
        = int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
        = n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)

        Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:

        I_m,n'(t)
        = int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
        = n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)

        Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.

        Kaava on siis

        Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
        Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.

        Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
        - Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
        Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.

        Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.

        Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =

        Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
        -(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
        -(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)

        MOT


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kaava on siis

        Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
        Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.

        Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
        - Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
        Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.

        Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.

        Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =

        Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
        -(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
        -(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)

        MOT

        Johan tuohon kerkesi ainakin yksi kirjoitusvirhe. viimeisen yhtäläisyysmerkin jälkeen tulee olla
        (- 1)^(n 1) * (n 1)!/ (m 1)^(n 2)
        Kenkkuja kirjoitettavia tämmöiset!


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Persujen VigeIius noIasi taas itsensä

      Kun uhriutui vuonna 2024 (siis persujen "vahtivuorolla") Tampereella aloittaneen perheryhmäkodin toiminnasta. ”Leviää k
      Maailman menoa
      129
      3082
    2. Persut ei kestä heidän johtajistaan tehtyä huumoria

      Laajalti tiedostettu tosiasia on, että autoritaariset johtajat ja erinäiset diktaattorit eivät kestä heidän kustannuksel
      Maailman menoa
      69
      2165
    3. Kuka omistaa entisen Veljeskodin?

      Kenellä on varaa pitää hiljattain remontoitua rakennusta tyhjillään? Tehdäänkö siitä Suomen kallein kirpputori vai mikä
      Ähtäri
      10
      2117
    4. Vasemmistoliitto peruisi sosiaaliturvan heikennykset

      He palauttaisivat työttömyysturvan ja asumstuen suojaosat, eli saisi jälleen tienata 300 euroa kuukaudessa ilman tukien
      Maailman menoa
      68
      1846
    5. Jos voisit kysyä

      Kaivatultasi vielä yhden kysymyksen, mikä se olisi? Aloitan: Mitä sinä halusit minusta?
      Ikävä
      155
      1662
    6. Oli kiva nähdä sut

      vaikkakin kaukaa ja nopeasti. Tiedän kyllä tasan tarkkaan missä mennään, joten anteeksi jos pilasin päiväsi, ei ollut mi
      Suhteet
      24
      1506
    7. Pesäpallo rulettaa

      Hehkutin täällä aikaisemmin Mansen naisten joukkueen Suomen mestaruutta. Jostain kumman syystä kirjoitustani ei enää löy
      Tampere
      3
      1083
    8. Lamppu syttyi

      Tiedätkö mitä mies, olen aivan yhtä rakastunut suhun. Kyllä. Koita jaksaa eiköhän me kohta nähdä ❤️
      Ikävä
      75
      1065
    9. Kohtalokas laukaus

      IL 20.9.25 "Ihminen kuoli baarin edustalla Kajaanissa Poliisi ei epäile tapauksessa rikosta." "Kajaanin keskustassa on k
      Kajaani
      9
      1053
    10. Jos voisit palata yhteen risteykseen

      ..mikä se elämässäsi olisi?
      Ikävä
      80
      1021
    Aihe