Integaali (x*ln(x)) potenssiin n nollasta ykköseen

Yritän laskea, Leibnizin metodiksiko sitä nyt kutsutaan kun lisätään uusi parametri, jonka jollain arvolla integraali saadaan ja derivoidaan (ja siirretään integraalimerkin alle)(?), tuollaista. Siis minä laitan t:n ln(x):ään eli ln(tx). Täällä on laskuni: https://www.desmos.com/calculator/bh4rvon3xa . Olen jo arvannut kaavan integraalin arvolle

n! / (n 1)^(n 1),

mutta tuossa laskemisessa on yksi kohta jota en saa menemään: Kun lasketaan I_n(t):tä, niin sinne tulee ylimääräinen x:ä. Desmoksessa g on I'(t) ja siinä alla on se muoto, johon pääsin. Miten tuosta? Pitäisikö antaa x:n potenssin olla m ja johtaa yleisempi kaava. Kokeilin osittaisintegraatiota, mutta sekään ei mielestäni toiminut.

11

200

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Siis integraalista tulee mukavasti n ulos, joka johtaa rekursiivisesti n!:ään kun saataisiin jäämään alempi I_n. Mutta mistäs 1/(n 1)^(n 1) saadaan? Merkitsen siis integraalia I_n(t). Derivaatalle saadaan

      I_n'(t) = n/t integraali nollasta ykköseen x (x*ln(tx))^(n-1) dx

      mutta tuosta en osaa jatkaa. Mitenkäs I_n(t) saadaan derivaatasta, ei oikein uskalla integroidakaan (vai mistä mihin (ykköseen oletettavasti) pitäisi??)

    • Anonyymi

      En nyt ehkä ihan saa esityksestäsi selvää mitä varsinaisesti tarkoitat. Kuitenkin, kts. Wikipedia: Leibnitz integral rule. Onko tuo Feynmanin temppu etsimäsi?

      • Anonyymi

        Sori. P.o. : Leibniz


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sori. P.o. : Leibniz

        Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:

        Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)


      • Anonyymi kirjoitti:

        Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:

        Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)

        Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:

        I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))

        eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
        Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:

        I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))

        eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
        Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.

        Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.

        Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.

        Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
        Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".


      • Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
        Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".

        Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:

        I_m,n'(t)
        = int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
        = n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)

        Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.


      • Anonyymi
        minkkilaukku kirjoitti:

        Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:

        I_m,n'(t)
        = int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
        = n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)

        Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.

        Kaava on siis

        Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
        Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.

        Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
        - Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
        Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.

        Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.

        Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =

        Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
        -(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
        -(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)

        MOT


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kaava on siis

        Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
        Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.

        Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
        - Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
        Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.

        Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.

        Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =

        Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
        -(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
        -(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)

        MOT

        Johan tuohon kerkesi ainakin yksi kirjoitusvirhe. viimeisen yhtäläisyysmerkin jälkeen tulee olla
        (- 1)^(n 1) * (n 1)!/ (m 1)^(n 2)
        Kenkkuja kirjoitettavia tämmöiset!


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mitä yhteistä on sulla ja kaivatulla?

      Onko teillä samantyyppinen olemus tai luonne? Vai muistuttaako vartalonne toisiaan? Tai kasvot? Entä pukeutuminen? Onko
      Ikävä
      99
      1496
    2. Ozzy Osbourne on kuollut

      Kevyet mullat ja R.I.P. Ei soi enää Paranoid.
      Maailman menoa
      218
      1108
    3. Kerran oltiin mekin kahdestaan

      Saanko sanoa, että minua kyllä vähän huvitti jälkeenpäin? Olit kuin vapiseva jänis ketun vieressä valmis loikkimaan paik
      Ikävä
      13
      1106
    4. Oikeasti, voitais mennä kahville

      ja jutella niin kuin normi-ihmiset. Kyllä toivon sitä. En pelkää kohdata enkä istua sun kanssa samassa pöydässä. Miten o
      Ikävä
      81
      919
    5. Persut yritti estää somalinaista väittelemästä lääketieteen tohtoriksi

      Yrittivät saada hänet lähihoitajakouluun, vaikka pärjäsi hyvin koulussa. Nyt hän on yliopistossa väitellyt lääketieteen
      Maailman menoa
      234
      907
    6. Naiset, naiset

      Älkää antako painonne nousta. Naisella ylipaino ei ole hyvä.💝
      Ikävä
      141
      890
    7. Jos nainen harrastaa seksiä

      Useiden kanssa, miten se eroaa miesten mielestä siitä, jos miehellä on ollut useita s kumppaneita? Oletan että kaikki mi
      Ikävä
      179
      873
    8. Pihlaja-puulle

      Illat on mulle pahimpia. En tiiä miks se olis vaan parasta yöstä toiseen nukkua sun kanssa ja herätä sun kasvoihin. Jos
      Ikävä
      14
      750
    9. No mitä nyt

      Ollaanko vaiko eikö olla? Miehelle.
      Ikävä
      71
      747
    10. Yritin keväällä unohtaa sinut nainen

      mutta siinä kävi niin, että ikävä tuli korkoineen takaisin. Niin että mikä taikavoima sinulla on minuun, sitä joutuu mie
      Ikävä
      31
      683
    Aihe