Yritän laskea, Leibnizin metodiksiko sitä nyt kutsutaan kun lisätään uusi parametri, jonka jollain arvolla integraali saadaan ja derivoidaan (ja siirretään integraalimerkin alle)(?), tuollaista. Siis minä laitan t:n ln(x):ään eli ln(tx). Täällä on laskuni: https://www.desmos.com/calculator/bh4rvon3xa . Olen jo arvannut kaavan integraalin arvolle
n! / (n 1)^(n 1),
mutta tuossa laskemisessa on yksi kohta jota en saa menemään: Kun lasketaan I_n(t):tä, niin sinne tulee ylimääräinen x:ä. Desmoksessa g on I'(t) ja siinä alla on se muoto, johon pääsin. Miten tuosta? Pitäisikö antaa x:n potenssin olla m ja johtaa yleisempi kaava. Kokeilin osittaisintegraatiota, mutta sekään ei mielestäni toiminut.
Integaali (x*ln(x)) potenssiin n nollasta ykköseen
11
213
Vastaukset
Siis integraalista tulee mukavasti n ulos, joka johtaa rekursiivisesti n!:ään kun saataisiin jäämään alempi I_n. Mutta mistäs 1/(n 1)^(n 1) saadaan? Merkitsen siis integraalia I_n(t). Derivaatalle saadaan
I_n'(t) = n/t integraali nollasta ykköseen x (x*ln(tx))^(n-1) dx
mutta tuosta en osaa jatkaa. Mitenkäs I_n(t) saadaan derivaatasta, ei oikein uskalla integroidakaan (vai mistä mihin (ykköseen oletettavasti) pitäisi??)- Anonyymi
En nyt ehkä ihan saa esityksestäsi selvää mitä varsinaisesti tarkoitat. Kuitenkin, kts. Wikipedia: Leibnitz integral rule. Onko tuo Feynmanin temppu etsimäsi?
- Anonyymi
Sori. P.o. : Leibniz
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sori. P.o. : Leibniz
Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:
Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1) Anonyymi kirjoitti:
Vielä lisäys: Mihin tässä osittaisintegrointia kummempaa tarvitaan? Jo sillä on helppo osoittaa että vähän yleisemmin:
Int(0 <= x <= 1) (x^m (ln(x))^n) dx = (- 1)^n * n! / (m 1)^(n 1)Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:
I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))
eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:
I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))
eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D.Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sekoiletko? Katsohan tarkemmin esittämääni tulosta.Siinä esiintyy (m 1)^(n 1) ja lisäksi (- 1)^n.
Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Joo, miinus merkki unohtu mainita kaavoissa, mutta -1/(n 1) t^(-n 1):ksi :ssahan se on, joten -1 tulee joka kerta tekijäksi, joten yhteensä juuri (-1)^n. Huomasin kyllä kun olin jo viestin laittanut :D.
Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee". Anonyymi kirjoitti:
Ei ole tarkoitukseni jankuttaa pikku asiasta mutta kiinnitin tuon - merkin lisäksi huomiotani siihen että viestissäsi / eilen 15:20 olivat m ja n vaihtaneet paikkaa ja lauseke oli virheellinen. Sitten kun n = m tuo ei enää näy.
Sinulla luki " ...kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee".Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:
I_m,n'(t)
= int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
= n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)
Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Totta, ei se taida mennäkään läpi. Miten tästä jatkettaisiin:
I_m,n'(t)
= int_0^1 nx^m * ln(tx)^(n-1) * x /(tx) * x dx
= n/t int_0^1 x^(m 1) ln(tx)^(n-1)
Nyt t:n mukana olo tuo kuitenkin vaikeuksia. Mikä pitää ottaa induktio-oletukseksi (tai siis eihän sitä saa tuosta vaan ottaa vaan sen pitää olla totta). Ehkä ilman derivointia olisi helpompi. Osittaisintegroinnissa u = x^m ja v' = ln(x)^n (?) Mutta näin tämän tehtävän interointi merkin alla derivoinnin sovellutuksena, niin pitäisihän se jotenkin sitenkin mennä.Kaava on siis
Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.
Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
- Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.
Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.
Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =
Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
-(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
-(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)
MOT - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kaava on siis
Int(0,1) (x^m * (log(x))^n) dx = (- 1)^n * n!/(m 1)^(n 1)
Kirjoitin nyt matematiikassa yleiseen tapaan log tuon ln-merkinnän sijasta. Harvemmin muita logaritmeja teoreettisissa käsittelyissä käytetään.
Int(0,1) (x^m (log(x))dx = Int(0,1) (log(x) d(x^(m 1) / (m 1)) = Sij(0,1) (log(x) x^(m 1)/(m 1)
- Int(0,1) (1/(m 1) * x^m)dx = - 1/(m 1)^2
Kaava pitää siis paikkansa kun n = 1.
Oletetaan nyt että kaava pätee arvoilla n ja m.
Int(0,1) (x^m (log(x))^(n 1)) dx = Int(0,1) ((log(x))^(n 1) d(x^(m 1)/(m 1) =
Sij(0,1) ((log(x))^(n 1) * x^(m 1)/(m 1) - Int(0,1) (x^(m 1)/(m 1) * (n 1) (log(x))^n* 1/x) dx=
-(n 1)/(m 1)* Int(0,1) (x^m (log(x))^n)dx =
-(n 1)/(m 1) * (- 1)^n * n!/((m 1)^(n 1) = (- 1) (n 1) * (n 1)!/(m 1)^(n 2)
MOTJohan tuohon kerkesi ainakin yksi kirjoitusvirhe. viimeisen yhtäläisyysmerkin jälkeen tulee olla
(- 1)^(n 1) * (n 1)!/ (m 1)^(n 2)
Kenkkuja kirjoitettavia tämmöiset!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 475908
Australia, Britannia ja Kanada tunnustivat Palestiinan
Aikooko Petteri Lapanen pysytellä persujen ja uskovaisten panttivankina ja jättää Suomen historian väärälle puolelle?845596Maataloustuet pois
Jokainen maksakoon harrastuksensa itse. Eihän golfin peluutakaan maksa yhteiskunta.2505543Kohtalokas laukaus
IL 20.9.25 "Ihminen kuoli baarin edustalla Kajaanissa Poliisi ei epäile tapauksessa rikosta." "Kajaanin keskustassa on k324706Joko alkaa menemään tajuntaan tämä yliluonnollinen yhteys?
Varmaan pikkuhiljaa. Muista olla kiltisti ❤️494699Työeläkkeen saamiseksi olisi tehtävä töitä
Meillä on Suomessa iso joukko ihmisiä, joilla olisi vielä työkykyä jäljellä, mutta joilta puuttuu arjesta mielekäs tekem1803939- 1413490
Muistattekos kun Sannan aikana suomalaisten varallisuuteen lisättiin viidennes
Köyhät voittivat eniten mutta rikkaimmat kuitenkin köyhtyi!283136Joulukinkku NYT
Sian kankuista tulee vielä pula. Nyt on oikea aika hankkia joulukinkku.243108Sählyhallitus 2023-2025, mailat heiluvat, mutta pallo karkaa kulmaan
Salibandy on organisoitua. Sähly on taas sitä, kun joku tuo mailat ja palloja on ehkä yksi. Sitä tämä hallituskin on: pe42971