Auttakaa, miten osoitetaan, että (f'(x))/(f(x))=(1/(x-a)) (1/(x-b)) (1/(x-c)), kun funktio f(x) on 1/(f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)?
Osoittaminen
Anonyymi
989
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Sormella. Osoita sormella.
logaritmisella derivoinnilla
Onko yksi sulku liikaa; pitäisikö olla: 1/f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
Tuon kun derivoit, saat:
-f'(x)/f(x)^2 = d/dx((x-a)(x-b)(x-c))
Tuon sitten derivoit; vaan onkohan merkki väärin?
f(x) on 1/(f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)? (wrong)
On ollut täällä aikaisemminkin ja köytyy muualtakin, ja aina tämä
f(x) on ollut f(x) =(x-a)(x-b)(x-c)
Mutta sen derivaataksi ei tule alkuviestissä annettu funktio.
Viitseliäisyyyttähän se vain vaatii: https://aijaa.com/TbFWFa
Lyhyemmin tämä menisi logaritmisella derivoinnilla, tai sitten integroimalla tuo ekana oleva yhtälö puolittain, mutta antaa niitten olla...
Tuostahan saa yleisen kaavan, jonka kolmas tapaus tuo on. Funktio f on tulo termeistä 1/(x-a_j). Alkutapaus, jossa on 1 termi (tai lähdetään vaikka nollasta, jolloin f=1) on triviaali. Induktioaskel menee helposti kun kirjoittaa f:n tulona viimeisestä termistä 1/(x-an) ja lopuista, joihin induktio-oletus pätee koska siinä on n-1 termin tulo.
Mutta joo miinusmerkki tulee tulokseen eteen.
Tällä appletilla voit tutkailla asiaa: https://www.desmos.com/calculator/8z1pfiugba
f(x) = 1/(x-a) * 1/(x-b) * 1/(x-c)
f'(x) = - 1/ (x-a) * f(x) - 1/(x-b) * f(x) - 1/(x-c) * f(x)
f'(x)/f(x) = - (1/(x-a) 1/(x-b) 1/(x-c) )