Tehtävä 1
Etsi kaikki yhtälön
6x^2 13xy 17x 5y^2 12y = 17
kokonaislukuratkaisut (x,y).
Tehtävä 2
Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut x,y,z, jotka toteuttavat yhtälön
xy yz zx - xyz = 2
Tehtävä 3
Etsi kaikki yhtälön
2x^2 2xy - 3y^2 - 6x 4y = 0
kokonaislukuratkaisut (x, y).
Tehtävä 4
Etsi kaikki yhtälön
-2x^4 - 8x^3 - 10x^2y 2x^2z - 18x^2 - 20xy 4xz - 20x - 11y^2 8yz - 22y z^2 8z = 15
kokonaislukuratkaisut (x,y,z).
Kahdessa jälkimmäisessä voidaan etsiä testin vuoksi ratkaisuja jotka on rajoitettu; kolmosessa R-säteisen ympyrän sisälle ja nelosessa kuutioon [-M, M]^3.
Niillehän on tietenkin taas tehty testerisivu: https://codepen.io/minkkilaukku/full/eYdMVed
Kolme + 1 Diofantoksen yhtälöä
Anonyymi
9
261
Vastaukset
Tehtävä 2.
xy yz zx-xyz = 2
Yhtälöstä seuraa, että xy yz zx > xyz joten 1/x 1/y 1/z > 1.
Olkoon x <= y <= z. Saadaan 3/x > 1 joten x = 1 tai 2.
Jos x=1 saadaan yhtälö y z > 2 joten y=z=1 ja ratkaisu on (1,1,1).
Jos x=2 alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön 2y 2z - yz = 2 kanssa.
Siis (y-2) (z-2) = 2 ja saadaan ratkaisu (2,3,4) . Myös kaikki näiden permutaatiot ovat ratkaisuja.- Anonyymi
Tuohan onkin kätevä tapa, että tapaus x=2 faktoroituu, niin ei tarvitse sitä enää epäyhtälöiden kanssa pidemmälle viedä.
- Anonyymi
xy yz zx=xyz 2
Ei ole xy yz zx>zxy 2 - Anonyymi
Edeölytys että x=y=z ei ole todistettu sille, että
3/x=1 tai kuten sinun huonossa 3/x>1 - Anonyymi
Sinun x<=y<=z
Ei ole todistettu, että
Jokainen niiden käänteisarvon summa muodoistasi yhteensä 3/x
Ei tarkoita, että niiden pitäisi olla samat sinun teoriassa
- Anonyymi
Ykkönen ja kolmonen ratkeaa sivulta https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM löytyvältä laskimelta. Nelonen vaikuttaa vaikealta.
- Anonyymi
Joo, toisen asteen, kahden muuttujan yhtlöillehän on tuo yleinen ratkaisumetodi. Tapauksia siinä vaan on pirusti.
Tässä ykkönen Desmoksessa tehtynä, kun sen saa siellä mukavasti piirreltyä: https://www.desmos.com/calculator/ugregs1rdh
Neloseen "vinkki" (tai en tiedä saako noista ratkaisupisteistä mitään vinkkiä, siellä on 3d-kuvakin kun oikein etsii, mutta kannattaa itse piirtää, niin siitä saattaa jotain vinkkiä ratkaisupisteiden muodostamista kuvioista saada):
https://www.desmos.com/calculator/f5x913bwuq - Anonyymi
Voi tietysti kysyä onko tuo laskimen käyttö "ratkaisua". Yhtä hyvin voisit viedä tehtävän jollekin osaavalle kaverillesi joka sitten kertoisi sinulle lopputuloksen. Olisitko siis ratkaissut tehtävän?
- Anonyymi
Ai niin, kolmosen Desmos-ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/cpc5hazjhw
Jätetään nyt nelonen vielä hautumaan, mutta samaa ideaa sitä on siinäkin. Onkohan tuohon yhtälön muokkaukseen mitään yleistä metodia, niinkuin tuossa haluttiin
(polynomi)^2 - d*(polynomi)^2 = c
Eli pitäisi keksiä vakio, joka vähennettäessä polynomi on neliön ja vakio kertaa neliön erotus.
Alpetronin sivun kaavallahan tuon saa mille vaan kertoimille, mutta muistaakseni Wikipediassa sanottiin, että oikean puolen vakiolle 4 ratkaisut löytyvät sqrt(d):n konvergenttien muasta. Niinkuin tietysti käy myös siinä tavallisessa Pellin yhtälössä. Jos nyt oikein muistan tuolta Alpetronin sivulta, niin se ehto on 4F^2 < B^2 - 4AC, kun -F on oikean puolen vakio ja vasen puoli on Ax^2 Bxy Cy^2. Muuten pitää tehdä muuttujan vaihtoja ja testata siinä vaihdossa monia eri arvoja. Tuo epäyhtälö ei kyllä esim. C=-7 (A=1, B=0) ja -F = 4 toteudu, mutta liekkö siinä sitten sattuu vaan käymään, näin ainakin wikipediassa sanotaan:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation#Generalized_Pell's_equation
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Persuja tuntuu kiinnostavan vain muiden rahat
En muista kenenkään muun olleen huolissaan yhtä paljon muiden rahoista kuin persujen. Mistähän se kertoo?692519Järkevä ehdotus: reilun 8 miljardin euron veronkorotukset
Nykyinen hallitus on päästänyt valtion tulopuolen rappeutumaan, vaikka varallisuutta on Suomessa enemmän kuin koskaan. U842394Miksei asevelvollisuuden kuluja lasketa Nato-menoihin?
Koskela (vas) kysyy aiheellisesti, että kun kerran palkka-armejaan perustuvat maat laskevat kysesestä toiminnasta aiheut172140Purralla luistaa hihna isolla pyörällä
Näki taas eilisillan tv-tentissä kuinka paniikissa oli kannatusromahduksen takia. Ei saanut kuin tiuskittua yksittäisiä441791Antti Lindtman heikko johtaja - ei valtiomiesainesta lainkaan
kyllä se eilen taas nähtiin. Ei pystynyt Antti vastaamaan edes toimittajan yhteen yksinkertaiseen kysymykseen - juu tai871755Miksi vasemmisto ei vastusta ulkomaisen halpatyövoiman maahantuontia
joka heikentää suomalaisten duunarien työmarkkina-asemaa ja rasittaa Suomen julkista taloutta? Vasemmistolla ideologin1171707Miksi kaikki avioeronneet miehet eivät kunnioita naisia?
Niin. Miksi avioeronneet miehet kohtelevat huonosti naisia, jotka lähestyvät heitä? Tämä on kokemuksen rintaääntä. Tämä2581605Mitä koululla tapahtui?
Onks kellää mitää vinkkilöit miks helikopteria tarvittii vuoksenniskan koulul https://www.is.fi/kotimaa/art-200001193287251067Persuilla kannatusromahdus - enää 13,5%.
Ylen tuorein puolueiden kannatusmittaus kertoo, että persujen kannatus on enää 13,5 prosenttiyksikköä. Kepu on mennyt he3231003Haluat nainen torjua minut
Yhä uudelleen ja uudelleen. Huomaan sen. Ymmärrän miksi, mutta silti se sattuu. Eihän minulla ole muuta kuin haaveet si9887