Kolme + 1 Diofantoksen yhtälöä

Anonyymi

Tehtävä 1
Etsi kaikki yhtälön
6x^2 13xy 17x 5y^2 12y = 17
kokonaislukuratkaisut (x,y).

Tehtävä 2
Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut x,y,z, jotka toteuttavat yhtälön
xy yz zx - xyz = 2

Tehtävä 3
Etsi kaikki yhtälön
2x^2 2xy - 3y^2 - 6x 4y = 0
kokonaislukuratkaisut (x, y).

Tehtävä 4
Etsi kaikki yhtälön
-2x^4 - 8x^3 - 10x^2y 2x^2z - 18x^2 - 20xy 4xz - 20x - 11y^2 8yz - 22y z^2 8z = 15
kokonaislukuratkaisut (x,y,z).

Kahdessa jälkimmäisessä voidaan etsiä testin vuoksi ratkaisuja jotka on rajoitettu; kolmosessa R-säteisen ympyrän sisälle ja nelosessa kuutioon [-M, M]^3.
Niillehän on tietenkin taas tehty testerisivu: https://codepen.io/minkkilaukku/full/eYdMVed

9

182

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Tehtävä 2.
      xy yz zx-xyz = 2
      Yhtälöstä seuraa, että xy yz zx > xyz joten 1/x 1/y 1/z > 1.
      Olkoon x <= y <= z. Saadaan 3/x > 1 joten x = 1 tai 2.
      Jos x=1 saadaan yhtälö y z > 2 joten y=z=1 ja ratkaisu on (1,1,1).
      Jos x=2 alkuperäinen yhtälö on ekvivalentti yhtälön 2y 2z - yz = 2 kanssa.
      Siis (y-2) (z-2) = 2 ja saadaan ratkaisu (2,3,4) . Myös kaikki näiden permutaatiot ovat ratkaisuja.

      • Anonyymi

        Tuohan onkin kätevä tapa, että tapaus x=2 faktoroituu, niin ei tarvitse sitä enää epäyhtälöiden kanssa pidemmälle viedä.


      • Anonyymi

        xy yz zx=xyz 2
        Ei ole xy yz zx>zxy 2


      • Anonyymi

        Edeölytys että x=y=z ei ole todistettu sille, että
        3/x=1 tai kuten sinun huonossa 3/x>1


      • Anonyymi

        Sinun x<=y<=z

        Ei ole todistettu, että
        Jokainen niiden käänteisarvon summa muodoistasi yhteensä 3/x
        Ei tarkoita, että niiden pitäisi olla samat sinun teoriassa


    • Anonyymi
      • Anonyymi

        Joo, toisen asteen, kahden muuttujan yhtlöillehän on tuo yleinen ratkaisumetodi. Tapauksia siinä vaan on pirusti.

        Tässä ykkönen Desmoksessa tehtynä, kun sen saa siellä mukavasti piirreltyä: https://www.desmos.com/calculator/ugregs1rdh

        Neloseen "vinkki" (tai en tiedä saako noista ratkaisupisteistä mitään vinkkiä, siellä on 3d-kuvakin kun oikein etsii, mutta kannattaa itse piirtää, niin siitä saattaa jotain vinkkiä ratkaisupisteiden muodostamista kuvioista saada):
        https://www.desmos.com/calculator/f5x913bwuq


      • Anonyymi

        Voi tietysti kysyä onko tuo laskimen käyttö "ratkaisua". Yhtä hyvin voisit viedä tehtävän jollekin osaavalle kaverillesi joka sitten kertoisi sinulle lopputuloksen. Olisitko siis ratkaissut tehtävän?


    • Anonyymi

      Ai niin, kolmosen Desmos-ratkaisu: https://www.desmos.com/calculator/cpc5hazjhw
      Jätetään nyt nelonen vielä hautumaan, mutta samaa ideaa sitä on siinäkin. Onkohan tuohon yhtälön muokkaukseen mitään yleistä metodia, niinkuin tuossa haluttiin
      (polynomi)^2 - d*(polynomi)^2 = c
      Eli pitäisi keksiä vakio, joka vähennettäessä polynomi on neliön ja vakio kertaa neliön erotus.
      Alpetronin sivun kaavallahan tuon saa mille vaan kertoimille, mutta muistaakseni Wikipediassa sanottiin, että oikean puolen vakiolle 4 ratkaisut löytyvät sqrt(d):n konvergenttien muasta. Niinkuin tietysti käy myös siinä tavallisessa Pellin yhtälössä. Jos nyt oikein muistan tuolta Alpetronin sivulta, niin se ehto on 4F^2 < B^2 - 4AC, kun -F on oikean puolen vakio ja vasen puoli on Ax^2 Bxy Cy^2. Muuten pitää tehdä muuttujan vaihtoja ja testata siinä vaihdossa monia eri arvoja. Tuo epäyhtälö ei kyllä esim. C=-7 (A=1, B=0) ja -F = 4 toteudu, mutta liekkö siinä sitten sattuu vaan käymään, näin ainakin wikipediassa sanotaan:
      https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation#Generalized_Pell's_equation

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      71
      6207
    2. Mitä siellä ABC on tapahtunut

      Tavallista isompi operaatio näkyy olevan kyseessä.
      Alajärvi
      133
      5564
    3. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      470
      3446
    4. Ovatko naiset lopettaneet sen vähäisenkin vaivannäön Tinderissa?

      Meinaan vaan profiileja selatessa nykyään valtaosalla ei ole minkäänlaista kirjoitettua tekstiä siellä. Juuri ja juuri s
      Nettideittailu
      109
      1827
    5. Suomi vietiin Natoon väärin perustein. Viides artikla on hölynpölyä. Yksin jäämme.

      Kuka vielä uskoo, että viides artikla takaa Suomelle avun, jos Suomeen hyökätään. Liikuttavasti täällä on uskottu ja ved
      Maailman menoa
      381
      1286
    6. Kuvaile elämäsi naista

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      38
      1266
    7. Et ilmeisesti aio enää ikinä olla tekemisissä

      Että näinkö se menee
      Ikävä
      67
      1081
    8. Sydämeni on sinun luona

      Koko ajan. Oli ympärilläni ketä oli niin sinä olet vain ajatuksissa ja tunteissa. En halua muiden kosketusta kuin sinun
      Ikävä
      47
      984
    9. Trump ja Venäjä

      Huomasitteko muuten... Käytännössä ainoat valtiot, joille Trump EI eilen asettanut typeriä tariffejaan, olivat Venäjä ja
      Maailman menoa
      110
      922
    10. Jatkuva stressitila

      On sinun vuoksesi kun en tiedä missä mennään mutta tunteeni tiedän ainoastaan
      Ikävä
      52
      889
    Aihe