Puolisuunnikkaan kantasivujen pituudet ovat a ja b. Puolisuunnikkaan kärkipisteistä piirretään puolisuunnikkaan lävistäjät, joiden leikkauspisteestä piirretään puolisuunnikkaan sivuille ulottuva kantasivujen suuntainen jana, jonka pituutta merkitään c:llä.
Osoita, että jos a:n pituus on jonkin matkan alkupuoliskolla käytetyn keskinopeuden suuruinen ja b:n pituus em. matkan loppupuoliskon keskinopeuden suuruinen, niin c:n pituus on koko matkan keskinopeuden suuruinen.
ymmärrän, että c:n pituus muodostuu a*(a/a b) mutta miten sen voi todistaa?
Osoita, että jos a:n pituus on jonkin matkan alkupuoliskolla käytetyn keskinopeuden suuruinen ja b:n pituus em. matkan loppupuoliskon keskinopeuden suuruinen, niin c:n pituus on koko matkan keskinopeuden suuruinen.
ymmärrän, että c:n pituus muodostuu a*(a/a b) mutta miten sen voi todistaa?
Vastaukset 15
Vanhimmat
Olisiko tästä hyötyä: https://www.desmos.com/calculator/9o80f1yufj
Minä siinä vähän annoin jo vihjeeksi, että yhdenmuotoisia kolmioita käyttäen saa yhtälöt, joista lasku onnistuu. Merkitse puolisuunnikkaan korkeutta h ja korkeutta, jolla lävistäjien leikkauspiste C on vaikka h1:llä. Siinähän käy niin, että ne etäisyydet C:stä sivuille (mitä merkkasin pisteisiin C1 ja C2) ovat yhtäsuuret, tämän näkee verrannosta eräille samanmuotoisille kolmiolle.
Vastaus on
c = 2ab/(a b).
c = 2/(1/a 1/b) (lukujen a ja b harmoninen keskiarvo).
Keskinopeus koko matkalla v, 1. puoliskolla v1 ja toisella v2.
v = 2/(1/v1 1/v2)
Vieläkään en saanut täysin kiinni, idean kyllä ymmärsin
Osoita, että jos a:n pituus on jonkin matkan alkupuoliskolla käytetyn keskinopeuden suuruinen ja b:n pituus em. matkan loppupuoliskon keskinopeuden suuruinen, niin c:n pituus on koko matkan keskinopeuden suuruinen.
Se, että tuo ylläoleva toteutuu, niin vaaditaan, että sen "jonkun matkan " alkupuolisko on yhtä pitkä kuin sen loppupuolisko, ja että c=2ab/(a b). Kuvatunlaisella puolisuunnikkaalla näin on(Desmos-linkki) , kun se "joku matka" on c.
Ehkä sen voi ihan vaan niin osoittaa, että kokeilee pitääkö se paikkansa.
Tässä minä sitä kokeilin:
https://aijaa.com/nt94qN
Tuossa olisi niin paljon korjailtavaa, että teen kokonaan uuden:
Ensinnäkin tuota puolisuunnikasta ei enää sen jälkeen kun siitä on laskettu se c:n pituus tarvita mihinkään.
C:n pituus siis jollain tavalla , joko yo. Desmos-linkistä, tai voi se olla jossain kirjallisuudessakin, niin kuin täällä väläytettiin harmonista keskiarvoa
Kysytty osoitus voisi mennä ihan näin suoraviivaisesti:
https://aijaa.com/6qS8Fk
Olen yrittänyt keksiä kuviota, josta tuloksen geometrisesti näkisi, mutta en keksi kuin sellaisen, jossa a ja b ovat pituuksia (eivätkä nopeuksia, niinkuin haluttiin): piirretään aika,matka -koordinaatistoon kaksi suoraa, joiden kulmakertoimet ovat (1D-) juoksijoiden nopeudet. Rajoitetaan välille [0, T], aluksi juoksijoiden välimatka on s1 ja lopuksi s2, niin näinhän muodostuu puolisuunnikas, jonka samansuuntaiset sivut ovat pituuksiltaan s1 ja s2, "korkeus" (eli aika-suunnassa) T ja v-suorien osat ovat ne kaksi muuta sivua. Nythän diagonaalit ovat sellaiset juoksijat, jotka lähtevät juurikin sellaisilla nopeuksilla kummankin juoksijan kanssa samasta pisteestä, että päätyvät lopussa vastakkaisen luokse. Mutta kuten sanottu, minä en ainakaan tästä nää mitään sen suorempaa tapaa yhdistää tätä siihen, että juostaan puolimatkaa eri nopeuksilla, vielä kun ne sivut s1 ja s2 on pituuksiakin eivätkä nopeuksia.
Etkö tosiaan ymmärrä kommenttiani /23.01.2021 09:22 ?
Olkoon matka s. Ensin taitetaan matka s/2 keskinopeudella v1 ja sitten loput s/2 keskinopeudella v2. Keskinopeus koko matkalla on v. Matkaan kuluu aika
t = s/v = s/(2 v1) s/(2 v2) = 1/2 * s * (1/v1 1/v2) joten
1/2 (1/v1 1/v2) =1/v ja siis v = 2/(1/v1 1/v2) joka on lukujen v1 ja v2 harmoninen keskiarvo.
Jos matka pätkitaan n:nyhtäsuureen osaan joiden pituudet ovat siis ovat s/n ja jos keskinopeudet näillä osilla ovat v(1),v(2)...,v(n) niin keskinopeus koko matkalla on
v = n/(1/v(1) 1/v(2) ... 1/v(n)). Harmoninen keskiarvo.
Tottakai, ongelma on jo ratkaistu. Mutta ratkaisut on tehty "erikseen" ja sitten huomattu että tulee sama. Onko sellaista ratkaisua, josta yhteyden näkee suoraan?
Wikipedian harmonisen keskiarvon artikkelissakaan tällaisesta ei kyllä mainita, vaikka siellä tuo puolisuunnikasjuttu (ja sen erikoistapaus "crossing ladders problem") onkin:
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean#In_geometry
No eikös Anonyymi/22.01.2021 20:01 jo kertonut, että ratkaisu on 2 a b / (a b) joka =
2/(1/a 1/b). Ja tämä on juuri tuota keskinopeusmuotoa kun a ja b ovat ne osavälien keskinopeudet.
Mitähän oikein ajat takaa???
Joo, olen itse se anonyymi 20:01 :D. Ajan takaa sellaista geometristä kuviota, jossa pituudet a ja b kuvastavat nopeuksia (esim vektorit, joilla nuo pituudet) ja jossa syntyy puolisuunnikas, jossa sanottu c kuvastaa haluttua nopeutta (nopeusvektorina).
Ei tässä kyllä mitään vektoreita ole, mutta pinta-aloillahan tämän voi osoittaa: https://aijaa.com/Or77l2
Ahaa, on siinä jotain taikaa... Mutta en ihan nää, miten tuo puolisuunnikaan sivu (joka tarkoittaa, että nopeus kiihtyy tasaisesti a:sta b:hen) liittyy asiaan. Kun laskuhan voitaisiin tehdä vain noilla a- ja b-pylväillä. Tai siis miten se kuviosta nähdään, että c on juuri siinä leikkauksessa.
Mutta huomasin, että leikkaus tapahtuu ajassa t2 (kun oletetaan a<b). Eli tasaisesti a:sta kiihtyvä nopeus saavuttaa halutun nopeuden c samassa ajassa kuin mitä kuluu mennä puolimatkaa nopeudella b.
https://www.desmos.com/calculator/o6quxlku59
Eli sen c-janan x-koordinaatti on t2. Lisäksi nuo oranssit kolmiot on samankokoiset ja mikä siinä näkyy sellainen iso kolmio, ni sama löytyy siirrettynä y=c -suoran yläpuolelle ja oikeaan laitaan.
Jos nyt jotain yrittäisin tuosta ymmärtää, niin miksi se tasaisesti kiihtyvä saavuttaa c:n sinisessä ajassa?
No nyt tajusin! Se huomio on ehkä vaan tehtävä ihan laskemalla, että t2 = (c-a)/(b-a) T, joten leikkaus a t2(b-a)/T = c on OK. Mutta sitten nähdään kuvasta että (merkkaan y1(t) suoraa, joka on se nouseva sivu)
a*t1 b*t2
= int_0^T y1(t)dt - int_0^t1 (y1(t)-a)dt "oranssi kolmio"
= int_0^T y1(t)dt "oranssi kolmio" - int _t1^t2 (y1(t)-c)dt
= cT
Ison kolmion "siirto" on tuossa siis tehty integraalin rajojen muutoksena 0,t1:stä t1,t2:een ja funktiota laskettu alaspäin c-a:n verran. Se, että isot kolmiot on samat nähdään siitä, että kummassakin kanta on t1.
PS. Mitä olin tuolla Desmoksessa merkannut sitä "sisäsuorakulmion" alaa (c-a)(t1-t2), niin se onkin turha, koska pärjätään niillä isoilla kolmioilla.
Tietenkin minulla meni tuossa nyt sekaisin että siirretyssä kolmiossa integraali on siis t2:sta T:hen!