Tarvitsisin apua kahteen geometrian tehtävään:
1. Taso kulkee origon sekä pisteiden (0, 2, 1) ja (3, -2, -2) kautta. Laske pisteen (1, -3, 4) etäisyys tasosta.
2. Mikä pallopinnan (x - 7)^2 (y 2)^2 (z 1)^2 = 16 piste on lähimpänä tasoa 2x - 3y - z 7 = 0
Ykköstehtävässä pitäisi varmaan ensin muodostaa tason yhtälö normaalimuodossa, kaavalla
(x - x(0)) (y - y(0)) (z - z(0))
saan tason yhtälöksi
3x - 2y -2z -3 = 0
Etäisyyden kaavalla saan tulokseksi
d = (3 * 1 -2*(-3) -2*4 -3) / sqrt(3^2 2^2 2^2) = -3,395
Tässä ratkaisussa ei ole muuta vikaa kuin että se on väärin. Kakkostehtävässä pitäisi laskea pallon keskipisteen kautta piirretyn tason normaalin ja pallopinnan leikkauspiste. Pallon keskipisteeksi tulee kaiketi 7, -2, -1. Sitten pitäisi selvittää tason normaalivektori ja normaalisuora. Sitä en ole onnistunut tekemään. Saisinko apua? Kiitoksia
Apua analyyttiseen geometriaan
5
142
Vastaukset
- Anonyymi
Taso kulkee origon kautta ja sennyhtälö on siis muotoa ax by cz = 0
a*0 b*2 c*1 = 0
a*3 -b*2 - c*2 = 0
2b = - c ja 3a c - 2c = 0 eli c = 3a. b = - 3/2 a.Taso on siis
ax- 3/2 a y 3a z = 0 eli
(1) x - 3/2 y 3z = 0
Tark. Taso kulkee origon kautta, 0-3/2 * 2 3*1 =0 ja 3-3/2*(- 2) 3*(- 2 )= 0.
Sitten tuo piste (1, - 3, 4).
1*1 -3/2*(-3) 3*4 = 35/2
Taso
(2) x - 3/2 y 3z = 35/2
on tason (1) suuntainen (niillä on sama normaali (1,-3/2,3))
ja kulkee tuon pisteen (1,-3,4) kautta.Tuon pisteen etäisyys tasosta (1) on sama kuin tasojen (1) ja (2) etäisyys eli ( 35/2) / sqrt(1^2 (3/2)^2 3^2)= 5 - Anonyymi
2- Taso on
(1) 2x-3y-z = - 7.
Sen normaali on (2,- 3, - 1). Pallon keskipiste on (7,- 2, - 1).
Tämän kautta kulkeva tason (1) suuntainen taso saadaan näin:
2*7 - 3* (- 2) - 1* (- 1) = 21 joten tuo taso on
(2) 2x -3y - z = 21
Tasojen (1) ja (2) etäisyys on (21 - (- 7))/ sqrt(4 9 1) = 28/sqrt(14) = 2 sqrt(14).
Tämä on siis myös pallon keskipisteen etäisyys tasosta (1).
Pallon säde on 4.
Jokohan selviää?- Anonyymi
Tuo binomikaavojen käyttö on vähän kryptistä minulle, mutta sainpahan tehtyä. Kiitoksia
T. Aloittaja - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuo binomikaavojen käyttö on vähän kryptistä minulle, mutta sainpahan tehtyä. Kiitoksia
T. AloittajaEn kyllä tiedä mistä ihmeen "binomikaavoista" sinä puhut.
Jos tason yhtälö on
(1) ax by cz = d,
niin otetaan 2 tason pistettä joiden paikkavektorit ovat R1 ja R2. Vektori R2 - R1 on tason suuntainen ja sisätulo
( (a,b,c) , R2 - R1) = ((a,b,c),R1) - ((a,b,c), R2) = d - d = 0 (R1 ja R2 olivat tason pisteiden paikkavektoreita ja toteuttavat tason nyhtälön ).
Vektori (a,b,c) on siis tason normaali.
Erityisesti, jois taso kulkee origon kautta n, niin d = 0 ja tason pisteen paikkavektori R1 on samalla myös tason vektori. Jos esim. R1 = (x,y,z) niin
( (a,b,c) , (x,y,z) ) = ax by cz = 0 joten (a,b,c) on tuon tason normaali.
Tason (1) etäisyys origosta = sen minkä hyvänsä pisteen paikkavektorin tason ykkösnormaalille otetun projektion pituus.
Olkoon piste R = (r1,r2,r3). Merkitään sqrt(a^2 b^2 c^2) = P
1-normaali on N = 1/P * (a,b,c) ja tuo R:n projektion pituus sille on
l (R,N) l =lar1 b r2 c r3 l /(P = l d l/P (R oli tason npisteen paikkavektori ja toteuttaa tason siis tason yhtälön (1).
Jos meillä on tason (1) lisäksi toinen taso
(2) ax by cz = f
niin tämän etäisyys origosta on l f l /P.
Tasojen (1) ja (2) etäisyys on siis ld - fl / P - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
En kyllä tiedä mistä ihmeen "binomikaavoista" sinä puhut.
Jos tason yhtälö on
(1) ax by cz = d,
niin otetaan 2 tason pistettä joiden paikkavektorit ovat R1 ja R2. Vektori R2 - R1 on tason suuntainen ja sisätulo
( (a,b,c) , R2 - R1) = ((a,b,c),R1) - ((a,b,c), R2) = d - d = 0 (R1 ja R2 olivat tason pisteiden paikkavektoreita ja toteuttavat tason nyhtälön ).
Vektori (a,b,c) on siis tason normaali.
Erityisesti, jois taso kulkee origon kautta n, niin d = 0 ja tason pisteen paikkavektori R1 on samalla myös tason vektori. Jos esim. R1 = (x,y,z) niin
( (a,b,c) , (x,y,z) ) = ax by cz = 0 joten (a,b,c) on tuon tason normaali.
Tason (1) etäisyys origosta = sen minkä hyvänsä pisteen paikkavektorin tason ykkösnormaalille otetun projektion pituus.
Olkoon piste R = (r1,r2,r3). Merkitään sqrt(a^2 b^2 c^2) = P
1-normaali on N = 1/P * (a,b,c) ja tuo R:n projektion pituus sille on
l (R,N) l =lar1 b r2 c r3 l /(P = l d l/P (R oli tason npisteen paikkavektori ja toteuttaa tason siis tason yhtälön (1).
Jos meillä on tason (1) lisäksi toinen taso
(2) ax by cz = f
niin tämän etäisyys origosta on l f l /P.
Tasojen (1) ja (2) etäisyys on siis ld - fl / PLisään nyt vielä varmuuden vuoksi että tasot (1) ja (2) siis ovat yhdensuuntaiset, niillä on sama ykkösnormaali N = 1/P * (a,b,c).
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Sannan kirja USA:n bestseller!
"Congratulations to Sanna Marin's HOPE IN ACTION, officially a USA TODAY bestseller!" Kertoo Scribner. Mitäs persut tä7110821Yritystuet 10 mrd. vuodessa, eli yrittäjäriski valtiolla kuten kommunismissa
Pelkästään Viking Linen viinanhakuristeilyitä sponsoroidaan 20 miljoonalla eurolla vuosittain. Dieselin verotukikin on13510232- 247978
Sture Fjäder haluaa tuensaajien nimet julki
Kokoomuspoliitikko haluaa yli 800 euroa kuukaudessa tukia saavien nimet julki. Ehkä olisi syytä julkaista myös kuvat? h1776424Metsäalan rikolliset
Jokohan alkaa vähitellen kaatua kulissit näillä ihmiskauppaa harjoittavilla firmoilla.415319- 714951
Ruotsalaistoimittaja: "Sanna Marinin saunominen saa minut häpeämään"
Sanna Marinin kirja saa täyslaidallisen ruotsalaislehti Expressenissä perjantaina julkaistussa kolumnissa.....voi itku..1354249Suomen kaksikielisyys - täyttä huuhaata
Eivätkö muuten yksilöt pysty arvioimaan mitä kieliä he tarvitsevat? Ulkomaalaiselle osaajalle riittää Suomessa kielitai184143Työeläkeloisinta 27,5 mrd. per vuosi
Tuo kaikki on pois palkansaajien ostovoimasta. Ja sitten puupäät ihmettelee miksei Suomen talous kasva. No eihän se kas203850Maahanmuuttajat torjuvat marjanpoiminnan - "emme ole rottia"
Ruotsalaisen journalistin selvitys paljasti, miksi maahanmuuttajat kieltäytyvät työstä. Taustalla vaikuttavat kulttuuris1313534