Laske integraali nollasta ykköseen funktiosta
f(x) = (2x^3-2x 1) / (3x^2-3x 1)
f(x) = (2x^3-2x 1) / (3x^2-3x 1)
Integraalitehtävä
Anonyymi
21226
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 21
Vanhimmat
No mitä olet jo itse yrittänyt? Ethän tietenkään ole teettämässä kotitehtäviäsi netissä ilman että itse näkisit vaivaa.
Eikun minä keksin tuon tehtävän itse :D.
Vastaus on 1
Ratkaisu: mene sivulle https://www.wolframalpha.com/ ja kopioi sinne:
integrate (2x^3-2x 1) / (3x^2-3x 1) from x=0 to 1
ja nolla pistettä jos et itse asiaa ymmärrä millään tasolla
Tuollainen rationaalifunktio integroidaan jakamalla se ensin osamurtolukuihin. Menetelmä selitetään oppikirjoissa, Voit myös googlata esille seuraavan: Calculus Fennicus. Eiköhän menetelmä sieltä löydy. On myös "Integral Calculator". Ja varmaan netistäkin löytyy muitakin.
Miksi pitäisi ruveta säheltämään jonkun osamurtoluvun kanssa kun tältä palstalta kumminkin löytyy vastaus kun joku haluaa päteä.
Joo, eikä sen osaajankaaan tarvitse säheltää mitään , derivoi vaan tämän , laskee yhteen ja vertailee: Ax^2 Bx C D*ln( (3x^2-3x 1) alkuperäisen integroitavan kanssa, niin selviää nuo vakiot. Määrätyn integraalin tapauksessa vielä tuo C on 0. Se itse integraaalin numeerinen laskeminen ei enää paljon vaaadi.
Höpö höpö !
Vinkki: muuttujanvaihto x -> 1-x.
Omalaatuista kiusantekoa!
Käytä nyt vaan sitä osamurtolukumenetelmää. Ei tämä vippaskonsteilla ratkea.
Jos muuttujanvaihdolla onnistuu niin eikös sen esittäjä voisi osoittaa sen täällä esittämällä laskun.
No paljastetaan sitten mikä temppu minulla oli tässä mielessä.
Merkitään kysyttyä integraalia A:llä. Huomataan, että
f(1-x) = 2 - f(x),
joten muuttujanvaihdon avulla saadaan, että
A = 2 - A
eli
A = 1.
Jos piirtää f:n kuvaajan niin tuo symmetria on melko helposti huomattavissa
https://www.desmos.com/calculator/qybwhll8u0
Osamurtokehitelmälläkin tietysti voi tehdä mutta tämä tehtävä on esimerkki sellaisesta tempusta, jolla voi laskea vaikeammankin integraalin jos sen pystyy muuttujanvaihdon jälkeen lausumaan itsensä (ja jonkin helpon lausekkeen) avulla. Tuon funktionhan voisi jopa kirjoittaa
f(x) = (1-x)^3 / ((1-x)^3 x^3) x
Tässä x voidaan laskea erikseen ja eka osa huomataan hyvin sopivaksi muuttujanvaihtoon x -> 1-x, sillä nimittäjä ei muutu ja osoittaja summautuu muunnoksensa kanssa juurikin nimittäjäksi. Tuohonhan voisi laittaa minkä tahansa muunkin funktion kuin kuution ja temppu toimii silti.
Tuolla yksi tapa integraalin laskemiseen:
https://www.youtube.com/watch?v=cSaEhP2IhyQ
Laske tämä nimenomainen aloittajan antama määrätty integraali tuolla sijoituksella äläkä lähettele turhanpäiväisiä "ohjeita". Katsotaan, onnistutko.
Kerro yksikin hyvä syy sille että esittäisin tällä palstalla jotain valmiiksi laskettuja kotitehtäviä.
Hyvä syy on se, että todistaisit ehdottamasi laskutavan oikeellisuuden. Miksi jonkun muun pitäisi se vaiva nähdä?
Esitä lasku kokonaisuudessaan tai muuten "ratkaisusi" on yhtä tyhjän kanssa.
Minkä takia jonkun muun tai ylipäänsä kenenkään pitäisi se vaiva nähdä?
Muuten tuo "integrointikikka" on turhaa parran pärinää.
Osamurtolukuihin jako taas on jokaikisessä integrointia opettavassa oppikirjassa esitetty varma tapa hoitaa asia. S i t ä ei tarvitse perustella enää.
Äijähän käytti täsmälleen samaa tekniikkaa kuin minäkin tuolla ylempänä:
"Joo, eikä sen osaajankaaan tarvitse säheltää mitään , derivoi vaan tämän , laskee yhteen ja vertailee: Ax^2 Bx C D*ln( (3x^2-3x 1) alkuperäisen integroitavan kanssa, niin selviää nuo vakiot. Määrätyn integraalin tapauksessa vielä tuo C on 0. Se itse integraaalin numeerinen laskeminen ei enää paljon vaaadi."
Jokuhan siihen asiantuntevasti kirjoittikin, että Höpö, höpö !
Tämä kommentti sijoittautui ihan väärään paikkaan, ja niin varmaan tämäkin..30.10 klo 11.40, siihen piti mennä
Jukka-pekan ja Matin reilogia osa 2(3)
Kertausta:
vs.
Matti löi Jukka-pekkaa niin lujaa, että Jukka-pekka lensi 6 metriä selostamon takaseinään ja lyyhistyi siihen iskuun.
Nyt varsinaoisesti trilogian 2 osaan:
Matti oli tilannut ensiavun hoitamaan Jukka-pekkaa. Ensiapu totesi, että Jukka-pekka oli kuollut. Mutta yllättäen Jukka-pekka nousi ylös ja meni jatkamaan jalkapallon selostusta Mansester vs. KK Mansester johti jo 16-0 ja Jukka pekka sanoi vähän vituttaa tämmönen, että KK on rutkasti häviöllä. Matti sanoi, Että Bossa Nova ajoi juuri varikolle.
Yhtä äkkiä Matti hyppäsi pystyy pöydälle ja pieraisi. Pierun voimasta Matti nousi puolen metrin korkeuteen niin pitkästi, kuin pierua riittää. Noin puolenminutin kohdalla pieru alkoi laantumaan. Jälkeenpäin 3 meteoriittiaa tutki pierun voimaa, ja arvioivat sen yltäneen aina 37 boforiin asti.
Mutta Matti oli jo pöydällä kurkiasennossa valmiina hyökkäämään Jukka-pekkaa kohden. Matti päästi suustaan kummallista kurnutusta ja potkaisi sitten mawalla Jukka-pekkaa päähän. Jukka-pekka lensi potkun voimasta 8 metriä selostamon seinää vasten. Ensihoitajat sanoivat, että jukka-pekka on kuollut.
Näkyvät jo lastentarhaiässäkin olevat kirjoittelevan tänne!