Hei, osaisiko täällä joku auttaa seuraavien tehtävien kanssa?
1. Lenkkeilijä kulkee maastossa. Tie kulkee pitkin suoraa y=x. Muualla on metsää, missä kulkunopeus on 60 prosenttia nopeudesta tiellä. Mikä on lenkkeilijän nopein reitti pisteestä (10,2) origoon?
2. Olkoon k>1 sekä f(x)=k⋅k^x ja g(x)=k⋅(1/k)^x. Funktioiden kuvaajien leikkauspisteeseen piirretyistä tangenteista muodostuu x-akselin kanssa kolmio. Laske tämän kolmion pinta-alan ääriarvot.
Juuri ja logaritmifunktioihin apua?
Anonyymi
20
284
Vastaukset
- Anonyymi
Minkälaista apua tuohon tarvitaan?
- Anonyymi
Ekaan ratkaisun vaiheet ovat seuraavat.
Reitti kulkee ensin metsässä suoraviivaisesti, leikkaa polkua pisteessä (x,y) = (x,x) ja kulkee sen jälkeen polkua pitkin. Metsässä kuljettu matka saadaan pytagoraan neliöjuurilausekkeena pisteiden (x,x) ja (10,2) välillä. Polkua pitkin kuljettu matka on xsqrt2.
Voidaan käyttää suhteellisia nopeuksia, jotka ovat polulla 1 ja metsässä 0,6. Kun kumpikin matka jaetaan näillä suhteellisilla nopeuksilla, saadaan matka-ajat, jotka lasketaan yhteen. Kokonaismatka-ajan lauseke derivoidaan ja merkataan nollaksi, niin saadaan ratkaistua x. Piste (x,x) on nopeimman reitin taitekohta.- Anonyymi
Sain ratkaisuksi x=3; vaikuttaa järkevältä. Antaa ratkaisuksi myös x=9 mutta se on väärä, tulee siitä kun ax b tyyppinen lauseke korotetaan toiseen potenssiin, niin silloin kelpaa myös sama negatiivisena. Pitää tarkistaa alkuperäisestä yhtälöästä, jota ei ole neliöity.
- Anonyymi
Kakkostehtävän vaiheet ovat seuraavat.
Ensin hahmotetaan käyrät. Jos k=1, molemmat ovat vakiofunktioita y=1. Silloin tangenttien muodostama pinta-ala on ääretön, eli maksimia ei ole. Oletetaan siis, että k =/ 1 ja >0.
Molemmat funktiot leikkaaavat y-akselin pisteessä k, se on siis kolmion kärki. Toinen funktioista on nouseva ja toimen laskeva.
Lasketaan derivaatat x suhteen pisteessä 0. Ne ovat suorien kulmakertoimet. Muodostetaan suorien yhtälöt pisteessä (0,k). Merkataan y=0 niin saadaan leikkauspisteet x-akselin kanssa. Lasketaan niiden välimatka, joka on kolmion kanta; sen korkeus on k. Muodostetaan kolmion alan yhtälö.
Derivoidaan alan yhtälö k suhteen ja merkataan nollaksi. Saadaan k, joka antaa kolmiolle minimiarvon. Lasketaan tuo minimi.- Anonyymi
Kulmakertoimiksi kohdassa x=0 saadaan -klnk ja leikkauspisteet x-akselin kanssa ovat -1/lnk. Kolmion pinta-ala on k/lnk ja maksimi e kun k=e.
- Anonyymi
Hetkonen, eihän k voi olla erisuuri kuin 1 ja >0, koska tehtävän ensimmäinen rivi on k>1. Eli ei k voi olla välillä 1>k>0. K on vain ja ainoastaan k>1
- Anonyymi
Lenkkeilijä on pisteessä (10,2) ja hänen nopeutensa tiellä on v (vakionopeus, oikeastaan vauhti). Hän juokse suoralle pisteeseen (x,x) ja sitten suoraa pitkin origoon. Matkat ovat s1 = sqrt((x - 10)^2 (x-2)^2) = sqrt(2 x^2 - 24 x 104) ja s2 = sqrt(2) x.
Aikaa kuluu 5/3 s1/v s2/v. Ajan minimoimiseksi riittää minimoida funktio
f(x) = 5/3 s1 s2.
f'(x) = 5/3* 1/2 * (2x^2 - 24 x 104)^( - 1/2) * (4x - 24) sqrt(2) = 0
10/3 (x - 6) = sqrt(2)* sqrt(2x^2 - 24 x 104)
100/9 (x^2 - 12 x 36) = 4 x^2 - 48 x 208
64 x^2 - 64*12 x 64*27 = 0
x^2 - 12 x 27 = 0
x = 1/2 * (12 /- sqrt(144 - 108)) = 6 /- 3 eli x =9 tai x = 3
On vielä tutkittava millaisia pisteitä nuo ovat. En nyt ehdi.- Anonyymi
Sokeakin näkee otsalla, ettei x=9 voi olla ratkaisu.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sokeakin näkee otsalla, ettei x=9 voi olla ratkaisu.
Mutta se ei ole matemaattinen perustelu asialle.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mutta se ei ole matemaattinen perustelu asialle.
Kyllähän tuolla edellä kerrottiin, ettei 9 toteuta yhtälöä joka edelsi neliöintiä.
- Anonyymi
Jatkankin nyt tällä 2-tehtävällä.
f(x) = k^(1 x) ja g(x) = k^(1-x). Nämä leikkaavat pisteessä (0,k)
Jos et osaa derivoida funktiota k^h(x) niin kirjoita k^h(x) = e^(h(x) log(k)). Tiennet, että d/dx(e^f(x) ) = e^f(x) * f'(x) joten d/dx(k^h(x)) = d/dx(e^(h(x) log(k)) = e^(h(x) log(k))* h'(x) log(k) = k^h(x) log(k). Siis
f'(x) = k^(1 x) log(k) ja g'(x) = - k^(1-x) log(k)
f'(0) = k log(k) ja g'(0) = - k log(k).
Käyrien tangenttisuorat pisteessä (0,k) ovat
y - k = k log(k) x joka leikkaa x-akselin kun y=0 eli pisteessä x= - 1/log(k)
ja
y-k = - k log(k) x joka leikkaa x-akselin pisteessä x = 1/log(k) .
Syntyvän kolmion kannan pituus on 1/log(k) - (- 1/log(k)) = 2/log(k) ja korkeus on k.
Kolmion pinta-ala A(k) = 1/2*k*2/log(k) = k/log(k).
A'(k) = (log(k) - 1)/log(k)^2 = 0 kun k = e
Kun k < e niin A'(k) < 0 ja kun k > e niin A'(k) > 0 joten A(k) saa minimin pisteessä k = e.
Välillä 1 < k < e on A(k) siis vähenevä funktio ja kasvaa rajatta kun k pienenee kohti arvoa k = 1, missä se se ei ole määritelty. Ääriarvoa ei siis ole. Välillä e < k < inf on A(k) kasvava funktio ja kasvaa rajatta kun k -> inf. Tälläkään alueella ei ole ääriarvoa. Ainut ääriarvo on siis tuo monimi pisteessä k = e.- Anonyymi
Kiitos, sain ratkaistua tehtävän. Tuo log on muuten eri asia kun ln. Muuten oli laskut oikein! Myös ensimmäisen tehtävän ratkaisu onnistui. Kiitos auttaneille.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kiitos, sain ratkaistua tehtävän. Tuo log on muuten eri asia kun ln. Muuten oli laskut oikein! Myös ensimmäisen tehtävän ratkaisu onnistui. Kiitos auttaneille.
Ehkä alkeisopetuksessa käytetään mieluusti "luonnollista logaritmia" tarkoittamaan merkintää "ln". Mutta matemaatikot käsittelevät yleensä logaritmifunktiota joka on eksponenttifunktion e^x käänteisfunktio ja siitä käytetään merekintää "log".
- Anonyymi
Tein ykkösestä Desmoksen, jossa parametrejä voi muutella: https://www.desmos.com/calculator/mgvuutyxcg
Jännä, miten suora reitti tulee nopeimmaksi, kun nopeus metsässä on jossain 0,83 paikkeilla. Voisi tuolle rajapyykille kai tarkan arvonkin ratkaista. Siinähän pitää varmaan matka-ajan (funktio f mulla Desmoksessa) derivaatta oltava nollassa nolla. Riippuu myös lähtöpisteestä A = (a1, a2).- Anonyymi
Hypoteesi: kulma, jossa metsäosuus ja polku kohtaavat, riippuu vain beetasta (nopeus metsässä) ja näin ollen, jos A:n kulma origoon nähden on alle tämän, niin suora reitti on nopein.
- Anonyymi
Tämähän on Snellin laki tai siihen vahvasti liittyvä. Niinhän se kulkee valo kuin ihminenkin mielellään nopeinta reittiä. En jaksanut laskuja tarkastella, mutta sattumalta huomasin testailemalla, että negatiivinen kulman kosini on tuo nopeus metsässä:
https://www.desmos.com/calculator/ugo5o8ohti - Anonyymi
Minä vaan piruuttani koitin sellaista ratkaisua , että polkua pitkin matka kun on s, niin umpimettässä matkaosuus on (5/3)*s, ja suora umpimettä sqrt(104), ja kosinilauseella sitten ratkaisin likiarvon polkumatkalle s.
Aika yllättäen tuli s= 4,242, eli likiarvo luvulle sqrt(18).
Umpimettä osuudelle tuli 5*4,242/3=likiarvo luvulle sqrt(50). Nuo sqrt(18) ja sqrt(50) ovat tarkat oikeat pituudet noille osuuksille.
Mutta miksi se näin on, siihen en selitystä löydä. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tämähän on Snellin laki tai siihen vahvasti liittyvä. Niinhän se kulkee valo kuin ihminenkin mielellään nopeinta reittiä. En jaksanut laskuja tarkastella, mutta sattumalta huomasin testailemalla, että negatiivinen kulman kosini on tuo nopeus metsässä:
https://www.desmos.com/calculator/ugo5o8ohtiNiin, siis tulokulma polun normaaliin nähden on 36,9 astetta ja sen sini on 0,6. Kulku "heijastuu" 90 asteen kulmaan, sini 1.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Niin, siis tulokulma polun normaaliin nähden on 36,9 astetta ja sen sini on 0,6. Kulku "heijastuu" 90 asteen kulmaan, sini 1.
Tuolla Snellin lailla tehtävä menee paljon yksinkertaisemmin. Jos tulokulma polulle on a sen normaaliin nähden, saadaan:
sin(a)/sin(pii/2) = 3/5
Lähtöpisteestä polulle piirretyn kohtisuoran leikkauspisteen koordinaatit ovat (6,6); kun polulle tulopisteen koordinaatit ovat (x,x),saadaan yhtälö:
tan(a) = (6-x)/4
Kyseessä on 3,4,5-kolmio, joten x=3. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuolla Snellin lailla tehtävä menee paljon yksinkertaisemmin. Jos tulokulma polulle on a sen normaaliin nähden, saadaan:
sin(a)/sin(pii/2) = 3/5
Lähtöpisteestä polulle piirretyn kohtisuoran leikkauspisteen koordinaatit ovat (6,6); kun polulle tulopisteen koordinaatit ovat (x,x),saadaan yhtälö:
tan(a) = (6-x)/4
Kyseessä on 3,4,5-kolmio, joten x=3.Saadaan myös kulman a ja koordinaatin x välille yhteys:
sin(a) = (6-x)/(sqrt(16 (6-x)^2)
Jos x=0, saadaan tuo lukema 0,83, jolla mennään koko matka metsän kautta.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
IL - Patteriauto syttyi parkkihallissa Tampereella - 50 autoa LUNASTUKSEEN!
"Palon aikaan parkkihallissa oli 90 autoa, joista noin 50 tuhoutui palossa korjauskelvottomiksi. Lisäksi palo vaurioitti23745139Polttomoottoriauto tulessa parkkihallissa Tampereella
Pystyy näkemättä jo sanomaan, koska sähköautoissa ei ole palavia nesteitä lainkaan. Ihme ettei polttomoottoriautoja ole12025951SDP palauttaa Suomen kansalle kulta-ajat
Hyvinvointivalto on pääosin SDP:n ja osin myös Maalaisliiton rakentama. Hyvinvointivaltion ylläpito edellyttää oikeude32115629Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %
Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy16110772Älkää vassarit kuvitelko, että Marinin kulta-ajat palaavat
Vaikka demarit voittaisivat seuraavat vaalit, se ei palauta Marinin taskut-täyteen-kelasta-aikaa takaisin, ei voi eikä h1229697Sanna Marin saa ylistystä Hillary Clintonilta
Jos joku ei tiedä kuka tämä rouva Hillary Clinton on, niin kerrottakoon "fun fact", eli hän on se keneltä Donald Trump369121Ja jälleen uusi latauksessa olleen sähköauton palo! Nyt Keravan Prisman parkkihallissa.
IS 3.10.2025 Latauksessa ollut sähköauto syttyi yöllä tuleen Keravan Prisman parkkihallissa, Keski-Uudenmaan pelastusla828451Johtuuko vasemmistolaisten inho kristinuskoa kohtaan heidän islamin uskostaan?
Tätä jäin pohdiskelemaan.2386808Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija
https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua2196463Kristillisistä Siionisteista asiallista tietoa Hesarissa.
KD ja Persut ovat kaiken takana avoimesti!306463