Hei, osaisiko täällä joku auttaa seuraavien tehtävien kanssa?
1. Lenkkeilijä kulkee maastossa. Tie kulkee pitkin suoraa y=x. Muualla on metsää, missä kulkunopeus on 60 prosenttia nopeudesta tiellä. Mikä on lenkkeilijän nopein reitti pisteestä (10,2) origoon?
2. Olkoon k>1 sekä f(x)=k⋅k^x ja g(x)=k⋅(1/k)^x. Funktioiden kuvaajien leikkauspisteeseen piirretyistä tangenteista muodostuu x-akselin kanssa kolmio. Laske tämän kolmion pinta-alan ääriarvot.
1. Lenkkeilijä kulkee maastossa. Tie kulkee pitkin suoraa y=x. Muualla on metsää, missä kulkunopeus on 60 prosenttia nopeudesta tiellä. Mikä on lenkkeilijän nopein reitti pisteestä (10,2) origoon?
2. Olkoon k>1 sekä f(x)=k⋅k^x ja g(x)=k⋅(1/k)^x. Funktioiden kuvaajien leikkauspisteeseen piirretyistä tangenteista muodostuu x-akselin kanssa kolmio. Laske tämän kolmion pinta-alan ääriarvot.
Vastaukset 20
Vanhimmat
Minkälaista apua tuohon tarvitaan?
Ekaan ratkaisun vaiheet ovat seuraavat.
Reitti kulkee ensin metsässä suoraviivaisesti, leikkaa polkua pisteessä (x,y) = (x,x) ja kulkee sen jälkeen polkua pitkin. Metsässä kuljettu matka saadaan pytagoraan neliöjuurilausekkeena pisteiden (x,x) ja (10,2) välillä. Polkua pitkin kuljettu matka on xsqrt2.
Voidaan käyttää suhteellisia nopeuksia, jotka ovat polulla 1 ja metsässä 0,6. Kun kumpikin matka jaetaan näillä suhteellisilla nopeuksilla, saadaan matka-ajat, jotka lasketaan yhteen. Kokonaismatka-ajan lauseke derivoidaan ja merkataan nollaksi, niin saadaan ratkaistua x. Piste (x,x) on nopeimman reitin taitekohta.
Sain ratkaisuksi x=3; vaikuttaa järkevältä. Antaa ratkaisuksi myös x=9 mutta se on väärä, tulee siitä kun ax b tyyppinen lauseke korotetaan toiseen potenssiin, niin silloin kelpaa myös sama negatiivisena. Pitää tarkistaa alkuperäisestä yhtälöästä, jota ei ole neliöity.
Kakkostehtävän vaiheet ovat seuraavat.
Ensin hahmotetaan käyrät. Jos k=1, molemmat ovat vakiofunktioita y=1. Silloin tangenttien muodostama pinta-ala on ääretön, eli maksimia ei ole. Oletetaan siis, että k =/ 1 ja >0.
Molemmat funktiot leikkaaavat y-akselin pisteessä k, se on siis kolmion kärki. Toinen funktioista on nouseva ja toimen laskeva.
Lasketaan derivaatat x suhteen pisteessä 0. Ne ovat suorien kulmakertoimet. Muodostetaan suorien yhtälöt pisteessä (0,k). Merkataan y=0 niin saadaan leikkauspisteet x-akselin kanssa. Lasketaan niiden välimatka, joka on kolmion kanta; sen korkeus on k. Muodostetaan kolmion alan yhtälö.
Derivoidaan alan yhtälö k suhteen ja merkataan nollaksi. Saadaan k, joka antaa kolmiolle minimiarvon. Lasketaan tuo minimi.
Kulmakertoimiksi kohdassa x=0 saadaan -klnk ja leikkauspisteet x-akselin kanssa ovat -1/lnk. Kolmion pinta-ala on k/lnk ja maksimi e kun k=e.
Hetkonen, eihän k voi olla erisuuri kuin 1 ja >0, koska tehtävän ensimmäinen rivi on k>1. Eli ei k voi olla välillä 1>k>0. K on vain ja ainoastaan k>1
Lenkkeilijä on pisteessä (10,2) ja hänen nopeutensa tiellä on v (vakionopeus, oikeastaan vauhti). Hän juokse suoralle pisteeseen (x,x) ja sitten suoraa pitkin origoon. Matkat ovat s1 = sqrt((x - 10)^2 (x-2)^2) = sqrt(2 x^2 - 24 x 104) ja s2 = sqrt(2) x.
Aikaa kuluu 5/3 s1/v s2/v. Ajan minimoimiseksi riittää minimoida funktio
f(x) = 5/3 s1 s2.
f'(x) = 5/3* 1/2 * (2x^2 - 24 x 104)^( - 1/2) * (4x - 24) sqrt(2) = 0
10/3 (x - 6) = sqrt(2)* sqrt(2x^2 - 24 x 104)
100/9 (x^2 - 12 x 36) = 4 x^2 - 48 x 208
64 x^2 - 64*12 x 64*27 = 0
x^2 - 12 x 27 = 0
x = 1/2 * (12 /- sqrt(144 - 108)) = 6 /- 3 eli x =9 tai x = 3
On vielä tutkittava millaisia pisteitä nuo ovat. En nyt ehdi.
Sokeakin näkee otsalla, ettei x=9 voi olla ratkaisu.
Mutta se ei ole matemaattinen perustelu asialle.
Kyllähän tuolla edellä kerrottiin, ettei 9 toteuta yhtälöä joka edelsi neliöintiä.
Jatkankin nyt tällä 2-tehtävällä.
f(x) = k^(1 x) ja g(x) = k^(1-x). Nämä leikkaavat pisteessä (0,k)
Jos et osaa derivoida funktiota k^h(x) niin kirjoita k^h(x) = e^(h(x) log(k)). Tiennet, että d/dx(e^f(x) ) = e^f(x) * f'(x) joten d/dx(k^h(x)) = d/dx(e^(h(x) log(k)) = e^(h(x) log(k))* h'(x) log(k) = k^h(x) log(k). Siis
f'(x) = k^(1 x) log(k) ja g'(x) = - k^(1-x) log(k)
f'(0) = k log(k) ja g'(0) = - k log(k).
Käyrien tangenttisuorat pisteessä (0,k) ovat
y - k = k log(k) x joka leikkaa x-akselin kun y=0 eli pisteessä x= - 1/log(k)
ja
y-k = - k log(k) x joka leikkaa x-akselin pisteessä x = 1/log(k) .
Syntyvän kolmion kannan pituus on 1/log(k) - (- 1/log(k)) = 2/log(k) ja korkeus on k.
Kolmion pinta-ala A(k) = 1/2*k*2/log(k) = k/log(k).
A'(k) = (log(k) - 1)/log(k)^2 = 0 kun k = e
Kun k < e niin A'(k) < 0 ja kun k > e niin A'(k) > 0 joten A(k) saa minimin pisteessä k = e.
Välillä 1 < k < e on A(k) siis vähenevä funktio ja kasvaa rajatta kun k pienenee kohti arvoa k = 1, missä se se ei ole määritelty. Ääriarvoa ei siis ole. Välillä e < k < inf on A(k) kasvava funktio ja kasvaa rajatta kun k -> inf. Tälläkään alueella ei ole ääriarvoa. Ainut ääriarvo on siis tuo monimi pisteessä k = e.
Kiitos, sain ratkaistua tehtävän. Tuo log on muuten eri asia kun ln. Muuten oli laskut oikein! Myös ensimmäisen tehtävän ratkaisu onnistui. Kiitos auttaneille.
Ehkä alkeisopetuksessa käytetään mieluusti "luonnollista logaritmia" tarkoittamaan merkintää "ln". Mutta matemaatikot käsittelevät yleensä logaritmifunktiota joka on eksponenttifunktion e^x käänteisfunktio ja siitä käytetään merekintää "log".
Tein ykkösestä Desmoksen, jossa parametrejä voi muutella: https://www.desmos.com/calculator/mgvuutyxcg
Jännä, miten suora reitti tulee nopeimmaksi, kun nopeus metsässä on jossain 0,83 paikkeilla. Voisi tuolle rajapyykille kai tarkan arvonkin ratkaista. Siinähän pitää varmaan matka-ajan (funktio f mulla Desmoksessa) derivaatta oltava nollassa nolla. Riippuu myös lähtöpisteestä A = (a1, a2).
Hypoteesi: kulma, jossa metsäosuus ja polku kohtaavat, riippuu vain beetasta (nopeus metsässä) ja näin ollen, jos A:n kulma origoon nähden on alle tämän, niin suora reitti on nopein.
Tämähän on Snellin laki tai siihen vahvasti liittyvä. Niinhän se kulkee valo kuin ihminenkin mielellään nopeinta reittiä. En jaksanut laskuja tarkastella, mutta sattumalta huomasin testailemalla, että negatiivinen kulman kosini on tuo nopeus metsässä:
https://www.desmos.com/calculator/ugo5o8ohti
Minä vaan piruuttani koitin sellaista ratkaisua , että polkua pitkin matka kun on s, niin umpimettässä matkaosuus on (5/3)*s, ja suora umpimettä sqrt(104), ja kosinilauseella sitten ratkaisin likiarvon polkumatkalle s.
Aika yllättäen tuli s= 4,242, eli likiarvo luvulle sqrt(18).
Umpimettä osuudelle tuli 5*4,242/3=likiarvo luvulle sqrt(50). Nuo sqrt(18) ja sqrt(50) ovat tarkat oikeat pituudet noille osuuksille.
Mutta miksi se näin on, siihen en selitystä löydä.
Niin, siis tulokulma polun normaaliin nähden on 36,9 astetta ja sen sini on 0,6. Kulku "heijastuu" 90 asteen kulmaan, sini 1.
Tuolla Snellin lailla tehtävä menee paljon yksinkertaisemmin. Jos tulokulma polulle on a sen normaaliin nähden, saadaan:
sin(a)/sin(pii/2) = 3/5
Lähtöpisteestä polulle piirretyn kohtisuoran leikkauspisteen koordinaatit ovat (6,6); kun polulle tulopisteen koordinaatit ovat (x,x),saadaan yhtälö:
tan(a) = (6-x)/4
Kyseessä on 3,4,5-kolmio, joten x=3.
Saadaan myös kulman a ja koordinaatin x välille yhteys:
sin(a) = (6-x)/(sqrt(16 (6-x)^2)
Jos x=0, saadaan tuo lukema 0,83, jolla mennään koko matka metsän kautta.