Jos haluaa tehdä kaljarahaa omalla matemaattisella tuotannolla, niin siihen ei vaadita Millennium-ongelman ratkaisemista, vaan riittävää on laittaa tietokirjallisuuden apurahahakemus sisään ja jäädä odottelemaan, että rahat kilahtaa tilille. Kirjallisen tuotoksen voi sitten julkaista netissä, jos avustuksen myöntäjä sitä erikseen vaatii. Esimerkiksi seuraavan monisteen kirjoittamiseen myönsi Suomen Tietokirjailijat ry peräti 3500 euroa! https://matematiikkalehtisolmu.fi/2020/Kvaterniot-TL-v1.pdf
Apurahapäätös: https://web.archive.org/web/20201027005343/https://www.suomentietokirjailijat.fi/kirjailijalle/apurahat/myonnetyt-apurahat/kevaan-apurahat.html
Apurahapäätös: https://web.archive.org/web/20201027005343/https://www.suomentietokirjailijat.fi/kirjailijalle/apurahat/myonnetyt-apurahat/kevaan-apurahat.html
Vastaukset 18
Vanhimmat
Aloittajalla taitaa olla jonkin sortin asennevamma matematiikkaa kohtaan.
Tuo moniste tarjoaa varsin kattavan perehdyksen kompleksilukuihin ja kvaternioihin, ja on erittäin hyödyllinen sekä aihetta koskevien kurssien materiaaliksi että matematiikan ja erityisesti informaatioteknologian tai robotiikan opiskelijoiden itseopiskelumateriaaliksi.
3500€ korvaus yleishyödyllisestä kirjoituksesta, jonka tekemiseen taustatöineen on kulunut luultavasti noin kuukauden työtunteja vastaava määrä (ehkä vähän alle tai yli, riippuen kirjoittajasta) kirjoittajan vapaa-aikaa, ei kuulosta minusta lainkaan kohtuuttomalta. Siitä vain kaljarahoja ansaitsemaan.
Eipä tuossa kauheasti IT:tä tai robotteja mainittu...
Kaikki tietokoneiden 3D-grafiikat ja robottien pallonivelten ohjaus perustuu kvaternioihin.
Tietokoneet ymmärtää matriisilaskentaa, erityisesti rotaatiomatriiseita tässä tapauksessa. Tuon monisteen ansiona on lukiolaiselle suunnattu tietoisku korkeampiulotteisista (geometrisista) algebroista. Itse olisin tehnyt toisenlaisen esityksen, esim. sekä kompleksiluvut että kvaterniot olisi voinut esittää matriisialgebran avulla.
Mutta on erittäin rohkaisevaa, että tällaisiin projekteihin myönnetään apurahoja. Nyt vain kaikki halukkaat osaajat ideoimaan omia tuotoksia, sillä erityisesti matematiikka on loputon lähde eikä kirjoittamisen aloittaminen ole niin vaikeaa kuin kaunokirjallisuudessa!
Kyllähän siitä pientä lisätuloa saa jos oma osaaminen, kiinnostus ja vapaa-aikaa riittää siihen uhrata. On vain löydettävä sopiva aihe, jolle on kysyntää ja vakuutettava apurahan myöntäjä teoksen tarpeelisuudesta. Vaan ei tuosta sellaista ammattia saa, joka korvaisi koulutusta vastaavan palkkatyön tulon. Tuntipalkka jää melko alhaiseksi apurahojen suhteen.
Kiitos aloittajalle vihjeestä, tuo moniste vaikuttaa ihan mielenkiitoiselta ja sivistävältä. Laitetaan se lukulistalle.
Kirjoituspalkkion suuruus huomioiden tulee kyllä aika heikko tuntipalkka, kun itsekin olen joskus opetusmateriaalia laatinut.
Matematiikkalehti Solmu on julkaissut laadukastakin materiaalia, ja oletettavasti myös niiden laatimiseen on myönnetty apurahoja:
https://matematiikkalehtisolmu.fi/oppimateriaalit.html
Jos se on helppoa, niin luehan tuo moniste niin, että myös ymmärrät sen. Sen tekeminen vaatii monin verroin enemmän vaivaa kuin sen omaksuminen, joka taitaa sinulta jäädä sekin tekemättä.
No eihän tuon monisteen ole edes tarkoitus olla mikään syvällinen, se kun on suunnattu lukiolaisille. Esitys on kyllä turhan algebrallinen ja perinteinen, jos tavoitteena on ollut esittää kvaternien geometrisia ominaisuuksia. Ehkäpä - joskaan en väitä - tuossa on käynyt samalla tavalla kuin monen muun kirjallisen tuotoksen kohdalla: apurahat menee ensin kurkusta alas ja sitten rustataan pää kipeänä jonkinlainen tuotos kasaan.
Muutamia huomioita korkeampiulotteisista algebroista:
- Jos reaalilukujen kertolaskua haluaa jostain syystä tarkastella geometrisesti, niin lineaarisilla luvuilla on kaksi suuntaa ja kertominen luvulla -1 vastaa 180-asteen kiertoa.
- Tasossa kierto on lineaarikuvaus, eli 2x2-matriisi [cos(x), -sin(x); sin(x), cos(x)]. Jos kaksiulotteinen kompleksiluku (a, b) määritellään 2x2-matriisina [a, -b; a, b], niin kompleksitulo vastaa kahden matriisin kertolaskua eikä imaginaariyksikössä ole enää mitään ihmeellistä, esim. tulo (0, 1)*(0, 1) = (-1, 0) vastaa tuloa [0, -1; 0, 1]*[0, -1; 0, 1] = [-1, 0; -1, 0]. Geometrinen kertolasku on siis kierto ja skaalaus.
- Kompleksilukujen kertolasku kommutoi, koska tasossa kierto vastaa kellon viisareiden kääntelyä, jolloin järjestyksellä ei ole väliä.
- Eulerin kaavan voi johtaa, kun huomaa että funktion [cos(x) i*sin(x)]e^(-ix) derivaatta on aina nolla, eli kyseessä on vakiofunktio.
- Jos intoa riittää, niin kvaternit voi määritellä avaruuden kiertomatriisien avulla. Vaihtoehtoisesti (skalaari, vektori)-muotoisten kvaternien algebran voi määritellä kertolaskun avulla, eli (a, A)*(b, B) = (ab - A*B, AxB aB bA), missä (*) ja (x) ovat kolmiulotteisten vektoreiden sisä- ja ristitulo.
- Kvaternien kertolasku ei yleisesti kommutoi ja se taas seuraa siitä, etteivät kolmiulotteiset kierrot kommutoi: jos esim. kirjaa kääntää ensin lattiatason mukaisesti 90-astetta ja sitten seinätason mukaisesti 180-astetta, niin loppuasento on erilainen kuin jos kierrot vaihtaisivat järjestystä.
- Jos lukualueiden laajentamista haluaa tarkastella (epägeometrisesti) algebrallisten yhtälöiden ratkeavuuden kautta, niin on syytä huomioida, ettei algebran peruslause päde kvaterneille: yhtälöllä i*q - q*i 1 = 0 ei selvästikään ole ratkaisua kvaternien joukossa. Tällöin lukualuetta laajennetaan ns. Cayleyn–Dicksonin konstruktion mukaisesti.
Tuo on tyylikäs tapa johdatella kompleksilukuihin, mutta Eulerin kaavaa ei oikein saa helposti ravisteltua hihasta. Kompleksinen derivaatta on syvällisempi asia kuin jokin algebrallinen pyöritys ja toisaalta pitäisi tietää yhtäsuuruus e^(x iy) = e^(x)e^(iy). Kyseinen yhtäsuuruus todistetaan luvun e sarjaesityksen kautta ja todistuksessa tarvitaan sarjan itseisen suppenemisen lausetta.
Jos taas jättää syvällisemän Eulerin kaavan pois ja käyttää yksinkertaista de Moivren kaavaa, niin kompleksialgebraa voidaan kuvailla matriisien avulla ilman sen kummempia reaalianalyysin tuloksia.
Jos olet noin taitava geometristen algebroiden osaaja, niin mikset tee omaa opetusmonistetta?
Nämä kvaterniot ovatkin mielenkiintoisia otuksia, kun yleistävät kompleksilukuina esitettäviä tason kiertoja. 3-ulotteisen avaruuden kiertomatriisit (xyz-akselien suhteen) sekä kierrot mielivaltaisen Eulerin akselin suhteen käyvät varsin näppärästi kvaternioiden avulla. https://www.weizmann.ac.il/sci-tea/benari/sites/sci-tea.benari/files/uploads/softwareAndLearningMaterials/quaternion-tutorial-2-0-1.pdf
Mitkä yritykset työllistävät pitkän ja monipuolisen uran tehneitä matemaatikkoja erilaisilla keikkahommilla? Ainahan laskettavaa ja optimoimista tarvitaan.
Ei juuri mikään yritys palkkaa ketään matemaatikoksi. Matemaatikot työllistyvät sivuaineidensa perusteella esimerkiksi tutkijoiksi, analyytikoiksi, ohjelmoijiksi, neuvonantajiksi, jne.
Jos keikkahommista on kiinnostunut, niin yksi hyvä vaihtoehto on IT-ala. Freelancereillekin on siellä kysyntää, ja matemaatikoilla on aika luonnollinen etulyöntiasema. Jos yritys tarvitsee pelkän koodinkirjoittajan, se palkkaa amiksen tai ulkoistaa Intiaan. Jos yritys tarvitsee jonkun, joka osaa sekä suunnitella että toteuttaa algoritmin itsenäisesti, se palkkaa matemaatikon.
Et selvästikään ole koskaan opiskellut matematiikkaa etkä suomen kieltä.
Maailman rahakkaat yliopistot ainakin tarjovat keikkahommia vastaväittäjille ja erilaisten tutkielmien tarkastajiksi.
Puhe oli yrityksistä. Akateeminen ura on asia erikseen.
Ja kiitos kysymästä, olen opiskellut matematiikkaa, ja työllistynyt sivuaineiden (tilastotiede ja tietotekniikka) kautta IT-alalle sovelluskehittäjäksi.
Selasin tuon monisteen läpi ja täytyy sanoa, että eipä ollut kummoinen tekele. En ala sen kummemmin arvostelemaan, mutta jos tuon läpyskän pääasiallinen idea on esittää lukiolaisille "Hamiltonin kiertokaava" sivulla 56, niin miksi ihmeessä tuota kiertoa ei voida esittää lukiolaisten jo ennestään taitaman vektorilaskennan avulla? Nyt tuossa monisteessa lässytetään ensin puolet sivuista tavallisista kompleksiluvuista ja sitten lopuksi tiputetaan tuo kiertokaava kuin Taivaasta.
Koska pistetulo (*) vastaa projektiota ja ristitulo (x) kohtisuoraa komponenttia, niin tuo Hamiltonin kiertokaava onnistuu ihan simppelillä vektorilaskennalla. Tulos tunnetaan myös nimellä "Rodriguesin kiertokaava": https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues'_rotation_formula
Tuo Rodriguesin kiertokaava voidaan sitten halutessaan muuntaa kvaternimuotoon käyttämällä kvaternitulon määritelmää ( a + (b,c,d) )( A + (B,C,D) ) = ( aA - (b,c,d)*(B,C,D), (b,c,d)x(B,C,D) + a(B,c,D) A(b,c,d) ) sekä kvaternien Eulerin kaavaa.
Aloittajan viittaama kvaternioita käsittelevä julkaisu on varsin onnistunut yhteenveto erityisesti opetustarkoituksiin. Mainittu 3500 € apuraha sen tuottamiseksi ei ole kattava korvaus tuottamiseen käytetystä työstä, mutta hyvä jos sen sen saaminen laukaisi kirjoittamiskynnyksen.