Reaalilukujen konstruointi rationaaliluvuista?

Anonyymi-ap

Reaaliluvut R määritellään seuraavasti, kun C tarkoittaa rationaalilukujen Cauchyn jonojen joukkoa:
R = {[(xn)] | (xn) kuuluu joukkoon C}
Reaaliluku [(xn)] on siis rationaalilukujen Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokka. Mutta eikö ekvivalenssiluokka ole jonkin suuremman joukon osajoukko ja Cauchy-jono äärettömän pitkä lukujono. Miten jokin yksittäinen (reaali)luku, esimerkiksi luku 1, voi siis olla äärettömän pitkä lukujono ja mahdollisesti vielä lukujonojen joukon osajoukko? En ymmärrä. Osajoukko ja lukujono kuulostavat aivan eri asioilta kuin jokin yksittäinen luku. Voisiko joku avata, miten tämä ongelma selvitetään?

6

192

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Voit ajatella että "luku" = "kaikki jonot, jotka konvergoivat siihen". Mutta koska rationaalilukujonolla ei välttämättä ole rationaalista raja-arvoa vaikka sillä "pitäisi olla" raja-arvo, niin sen takia puhutaan Cauchy-jonoista. Reaalilukujen konstruktiossa juuri lisätään kaikki nämä puuttuvat raja-arvot.

    • Anonyymi

      Kts. Wikipedia (eng.) :Costruction of the real numbers.
      Eiköhän asia sieltä sinulle selvinne.

      • Anonyymi

        Tuli näppäilyvirhe. P.O.:...Construction....


    • Anonyymi

      Kiitos kummallekin vastaajalle. Asia alkaa pikku hiljaa selvenemään.

    • Anonyymi

      Voisinko esittää jatkokysymyksen: jos tutkitaan hyperreaalilukujen konstruointia reaaliluvuista, törmätään ensin käsitteisiin filtteri, ultrafiltteri ja vapaa ultrafiltteri. Filtteri toteuttaa 3 kappaletta ehtoja ja ultrafiltteri 4 kappaletta. Mutta mistä nämä ehdot on keksitty? Toisin sanoen, onko nämä ehdot johdettu järjestelmällisesti ja ymmärrettävästi jostakin yksinkertaisemmista ehdoista?

      Seuraavassa artikkelissa on mainittu asiasta jotain (katso kohdasta "An intuitive approach to the ultrapower construction", ominaisuudet 1-3 ja 1-4 artikkelin loppuosassa). En vain oikein käsitä, miten nämä 4 ominaisuutta on johdettu:

      https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

      1. From two complementary sets one belongs to U
      2. Any set having a subset that belongs to U, also belongs to U.
      3. An intersection of any two sets belonging to U belongs to U.
      4. Finally, we do not want the empty set to belong to U because then everything would belong to U, as every set has the empty set as a subset.

      Any family of sets that satisfies (2–4) is called a filter (an example: the complements to the finite sets, it is called the Fréchet filter and it is used in the usual limit theory). If (1) also holds, U is called an ultrafilter

      • Anonyymi

        No,tuossa Wikipedia-artikkelissa ei kyllä konstruoida hyperreaalilukuja noin. Ihan artikkelin lopussa mainitaan erikoistapsaus, jossa esiintyvät "ultrapowers" ja "ultrafilters".

        Oletkohan sinä nousemassa puuhun latvasta etkä tyvestä?


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Sannan kirja USA:n bestseller!

      "Congratulations to Sanna Marin's HOPE IN ACTION, officially a USA TODAY bestseller!" Kertoo Scribner. Mitäs persut tä
      Maailman menoa
      128
      11168
    2. Yritystuet 10 mrd. vuodessa, eli yrittäjäriski valtiolla kuten kommunismissa

      Pelkästään Viking Linen viinanhakuristeilyitä sponsoroidaan 20 miljoonalla eurolla vuosittain. Dieselin verotukikin on
      Yrittäjyys
      156
      10334
    3. Oikeistolainen luki Med mod att leda : en biografi

      ...ei tykänny Sanna Marinista
      Maailman menoa
      26
      8040
    4. Sture Fjäder haluaa tuensaajien nimet julki

      Kokoomuspoliitikko haluaa yli 800 euroa kuukaudessa tukia saavien nimet julki. Ehkä olisi syytä julkaista myös kuvat? h
      Maailman menoa
      197
      6578
    5. Metsäalan rikolliset

      Jokohan alkaa vähitellen kaatua kulissit näillä ihmiskauppaa harjoittavilla firmoilla.
      Sotkamo
      53
      5681
    6. Milloin viimeksi näit kaivattusi?

      Toimisitko nyt toisin kuin siinä tilanteessa teit?
      Ikävä
      74
      5092
    7. Ruotsalaistoimittaja: "Sanna Marinin saunominen saa minut häpeämään"

      Sanna Marinin kirja saa täyslaidallisen ruotsalaislehti Expressenissä perjantaina julkaistussa kolumnissa.....voi itku..
      Maailman menoa
      151
      4434
    8. Suomen kaksikielisyys - täyttä huuhaata

      Eivätkö muuten yksilöt pysty arvioimaan mitä kieliä he tarvitsevat? Ulkomaalaiselle osaajalle riittää Suomessa kielitai
      Maailman menoa
      27
      4259
    9. Työeläkeloisinta 27,5 mrd. per vuosi

      Tuo kaikki on pois palkansaajien ostovoimasta. Ja sitten puupäät ihmettelee miksei Suomen talous kasva. No eihän se kas
      Maailman menoa
      75
      4097
    10. Maahanmuuttajat torjuvat marjanpoiminnan - "emme ole rottia"

      Ruotsalaisen journalistin selvitys paljasti, miksi maahanmuuttajat kieltäytyvät työstä. Taustalla vaikuttavat kulttuuris
      Maailman menoa
      135
      3655
    Aihe