Reaalilukujen konstruointi rationaaliluvuista?

Voit ajatella että "luku" = "kaikki jonot, jotka konvergoivat siihen". Mutta koska rationaalilukujonolla ei välttämättä ole rationaalista raja-arvoa vaikka sillä "pitäisi olla" raja-arvo, niin sen takia puhutaan Cauchy-jonoista. Reaalilukujen konstruktiossa juuri lisätään kaikki nämä puuttuvat raja-arvot.

Kts. Wikipedia (eng.) :Costruction of the real numbers.
Eiköhän asia sieltä sinulle selvinne.

Kiitos kummallekin vastaajalle. Asia alkaa pikku hiljaa selvenemään.

Voisinko esittää jatkokysymyksen: jos tutkitaan hyperreaalilukujen konstruointia reaaliluvuista, törmätään ensin käsitteisiin filtteri, ultrafiltteri ja vapaa ultrafiltteri. Filtteri toteuttaa 3 kappaletta ehtoja ja ultrafiltteri 4 kappaletta. Mutta mistä nämä ehdot on keksitty? Toisin sanoen, onko nämä ehdot johdettu järjestelmällisesti ja ymmärrettävästi jostakin yksinkertaisemmista ehdoista?

Seuraavassa artikkelissa on mainittu asiasta jotain (katso kohdasta "An intuitive approach to the ultrapower construction", ominaisuudet 1-3 ja 1-4 artikkelin loppuosassa). En vain oikein käsitä, miten nämä 4 ominaisuutta on johdettu:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

1. From two complementary sets one belongs to U
2. Any set having a subset that belongs to U, also belongs to U.
3. An intersection of any two sets belonging to U belongs to U.
4. Finally, we do not want the empty set to belong to U because then everything would belong to U, as every set has the empty set as a subset.

Any family of sets that satisfies (2–4) is called a filter (an example: the complements to the finite sets, it is called the Fréchet filter and it is used in the usual limit theory). If (1) also holds, U is called an ultrafilter