Tavallinen hyvin sekoitettu 4x13 korttipakka. Ässä on 1 ja kuningas 13.
Ekan kortin on oltava tietysti pienempi kuin 10.
Ekan kortin on oltava tietysti pienempi kuin 10.
Millä todennäköisyydellä korttipakan 5 ensimmäistä korttia on nousevassa suuruusjärjestyksessä?
Anonyymi-ap
32656
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 32
Vanhimmat
(13C5)*4^5 / (52P5) = 88/20825 = 0,00422569.
Sama tulos tulee aina myös miljardin kerran simuloinneilla. Ei tosin ihan noin tarkasti.
Korttien pitää olla koko ajan kasvavassa järjestyksessä. Ei siis saa olla yhtään samanarvoista korttia.
En millään uskonut, että onnistuisi suoraan peruskaavoilla noin helposti.
Joo. Kaava tulee siitä, kun hyvä käsi on jotkin viisi eri arvoista korttia järjestyksessä eli valitaan 5 arvoa 13:sta ja näistä jokainen voi olla mitä tahansa maata eli kerrotaan 4^5:lla.
Vastaavasti jos 3x4 pakasta otetaan 3 korttia:
tn = (4!3^3/3!)/(12!3!/(9!3!)) = (4*3^3)/(12!/(9!)) = 9/110
Korttipakan 5 ensimmäistä korttia voidaan järjestää 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 eri tavalla. Näistä vain yksi tapa on nousevassa suuruusjärjestyksessä.
Siis todennäköisyys, että korttipakan 5 ensimmäistä korttia on nousevassa suuruusjärjestyksessä, on 1/120 = 0.0083 eli noin 0.83 %.
Entä jos 5 ekaa korttia on kasi kymppi ja kolme jätkää? Monellako tapaa ne voidaan järjestää nousevasti ja ilmeisesti kysyjän idea oli saada viisi erinumeroista korttia.
Poika puhuu ihan puuta heinää, he he.....
Älä lue T&T roskalehteä. Ja jos luet, opettele ensin lukemaan!
Esim. 3,5,6,9,11 ovat "nousevassa suuruusjärjestyksessä". 2,2,6,8,9 eivät ole sillä 2,2 eivät ole nousevassa suuruusjärjestyksessä.
Joten hankala on tehtävä.
Tämä todennäköisyys lasketaan jakamalla haluttujen vaihtoehtojen määrä kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen määrällä.
Ensimmäisen kortin vaihtoehtoja on 39, koska kymppiä tai suurempaa korttia ei voi olla ensimmäisenä. Toisen kortin vaihtoehtoja on 38, kolmannen kortin 37, neljännen 36 ja viidennen 35.
Mahdollisten vaihtoehtojen määrä on 5251504948, koska kortteja on yhteensä 52 ja niitä poistetaan yksi kerrallaan valituista korteista.
Näin ollen todennäköisyys sille, että 5 ensimmäistä korttia ovat nousevassa suuruusjärjestyksessä, on:
(3938373635) / (5251504948) ≈ 0.0025 tai 0.25%.
Roskaa!
Jos 1. kortti ei voi olla mikään korteista 10,11,12 tai 13, niin poissuljettuna on siis 16 korttia eli vaihtoehtoja 36 eikä 39.
Tämän jälkeiset vaihtoehdot riippuvat siitä, mikä tuo 1. kortti oli. Esim. jos se oli 9 niin vaihtoehtoja on 20 (on 4 ysiä, 4 kymppiä, 4 jätkää, 4 akkaa ja 4 kunkkua).
Mutta jos 1. kortti on vaikkapa 1 niin mahdollisia vaihtoehtoja paljon enemmän.
Siis noista 20 kortista syntyy 4^5 nousevaa sarjaa.Näin kun 1. kortti on 9.
Jos 1. kortti on tuo 1 (toinen äärimmäinen tapaus), niin hyväksyttäviä sarjoja on aika lailla!
Jopa minä pystyn tämän ehkä päättelemään jos korttien pitää myös olla peräkkäisiä:
1. kortti: 4x9 mahdollisuutta 52:ta eli 36/52
2. kortti: 4/51
3. kortti: 4/50
4. kortti: 4/49
5. kortti: 4/48
Todennäköisyys siis:
36/52 x 4/51 x 4/50 x 4/49 x 4/48
=0,0000296
Tarkennuksena, että tietysti siis jos numeroiden pitää myös olla peräkkäisiä. Ja aloituksen viimeisen lauseen perusteella tätä juuri haettiin.
Ei tehtävässä sanottu että peräkkäin, pelkästään, että nousevassa järjestyksessä.
No totta eipä sanottukaan, ajattelin väärin tuon viimeisen lauseen.
Ensimmäinen kortti voi olla mikä tahansa kortti paitsi 10, joten siihen on 48 mahdollisuutta 52 kortin pakassa. Toisen kortin täytyy olla suurempi kuin ensimmäinen kortti, joten siihen on jäljellä 11 sopivaa korttia. Kolmannen kortin on oltava suurempi kuin ensimmäinen ja toinen kortti, joten siihen jää 10 sopivaa korttia. Neljännen kortin on oltava suurempi kuin kolme edellistä korttia, joten siihen on jäljellä 9 sopivaa korttia. Viimeisen kortin on oltava suurin kaikista, eli kuningas, joten siihen on vain yksi mahdollisuus.
Siis yhteensä mahdollisia tapoja on: 48 * 11 * 10 * 9 * 1 = 47 520
Ja korttipakan kaikkia mahdollisia järjestyksiä on: 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 52 * 51 * 50 * 49 * 48
Joten todennäköisyys, että korttipakan 5 ensimmäistä korttia ovat nousevassa suuruusjärjestyksessä, on: 47 520 / (52 * 51 * 50 * 49 * 48) ≈ 0,002641
Eli noin 0,2641 % todennäköisyys.
Ei mitään tolkkua. Millä logiikalla ensimmäinen kortti voi olla mikä vain paitsi 10? Ja miksi viimeisen pitäisi olla kunkku (joita on neljä eikä yksi)?
Höpö,höpö!
Heh! Kaikki vastaukset aivan erilaisia!
Todennäköisyys saada ensimmäinen kortti, joka on pienempi kuin 10, on 9/13.
Toisen kortin on oltava ensimmäistä suurempi, joten todennäköisyys saada toinen kortti on 4/12 = 1/3.
Kolmannen kortin on oltava kahden ensimmäisen kortin välissä, joten todennäköisyys saada kolmas kortti on 4/11.
Neljännen kortin on oltava kolmannen ja kahden ensimmäisen kortin välissä, joten todennäköisyys saada neljäs kortti on 3/10.
Viidennen kortin on oltava neljän muun kortin välissä, joten todennäköisyys saada viides kortti on 2/9.
Näiden todennäköisyyksien tulon saamme lopullisen todennäköisyyden:
(9/13) * (1/3) * (4/11) * (3/10) * (2/9) = 0,003374.
Joten 5 ensimmäisen kortin järjestyksen esiintyminen on todennäköistä 0,3374 %:lla tapauksista.
Brute force ratkaisu simuloimalla Pythonilla:
####################################################
import random
# List = korttipakka
List = []
a = 0
b = 0
b = input("Kierrosten määrä: ")
b = int(b)
# luodaan taulukko pelikorttien numeroarvoista, ei erotella maita
for i in range(0, 52):
List.append(1+i//4)
# sekoitetaan kortit ja katsotaan oliko kelvollinen järjestys
for ii in range(0,b):
random.shuffle(List)
a=a+((List[1]<List[2])*(List[2]<List[3])*(List[3]<List[4])*(List[4]<List[5]))
print("Kortit oikeassa järjestyksessä osuus: ", 100*a/b, "%")
#############################################################
Tuon kun ajaa kymmenen miljoonan kierroksen läpi niin tuloksena on noin kahden numeron tarkkuudella 0.424
Siis 0.424%
Suoli24 näköjään syö rivien alusta välilyönnit mikä on Pythonin kannalta fataalia.
Tuossa pitäisi olla näiden rivien sisennetty parilla välilyönnillä:
List.append(1+i//4)
random.shuffle(List)
a=a+((List[1]<List[2])*(List[2]<List[3])*(List[3]<List[4])*(List[4]<List[5]))
100 miljoonaa kierrosta: 0.423261 % eli tarkkuus huomioiden 0.4233+-0.0003%
"Oikean" tavan ratkaista ongelma on siis tuotettava tuo tulos.
Alla A=10, B=11, C=12 ja D=13
Kelvollisia järjestyksiä ovat nämä, josta taulukosta voi sitten muodostaa summat joilla permutaatioiden määrä löytyy. Jokainen yhdistelmä toteutuu tietenkin siten, että mikä tahansa numero voi olla mitä tahansa maata joka huomioitava lopuksi.
1 2 3 4 5...D (eli 1 2 3 4 5, 1 2 3 4 6, ..., 1 2 3 4 D)
1 2 3 5 6...D
...
1 2 3 B C...D
1 2 3 C D
1 2 4 5 6...D
1 2 4 6 7...D
...
1 2 4 C D
1 2 5 6 7...D
...
1 2 6 7 8...D
...
1 2 B C D
1 3 4 5 6...D
jne.
Mistä sait tuon +-0.0003%?
Eikös simulaation tuloksen keskihajonta ole
sqrt(p(1-p)/n)
= sqrt(0,0042*0,996/10^8)
= 0,000065
= 0,0065%
from math import factorial
# Lukumäärä erilaisia tapoja järjestää 5 korttia
total_ways = factorial(52) / factorial(47)
# Lukumäärä tapoja järjestää 5 korttia nousevassa suuruusjärjestyksessä
good_ways = 4 * factorial(10) * factorial(4) * factorial(4) * factorial(4)
# Todennäköisyys
probability = good_ways / total_ways
print(probability)
Tarkan vastauksen saa Pytonilla ilman mitään simulointejakin sekunnissa ja samalla selviää täällä aikaisemmin esitetty yksinkertainen Aluksi ei tarvitse tietää mitää kaavoja.
Viisi korttia voi olla vain 52*51*50*49*48 eri järjestyksessä. Äärellisen pieni luku!
Merkitään pakan kortteja luvuilla 0...51. Ykköset ovat 0...3, kakkoset ovat 4...7, ... ja kuninkaat 48...51.
s = 1
for a in range(0,36): #mask 60 = 3CH = 111100 bin
_for b in range((a+4)&60,40):
__ for c in range((b+4)&60,44):
___ for d in range((c+4)&60,48):
____for e in range((d+4)&60,52):
_____s += 1
print(s)
Tuossa (hitaahkossa) silmukkaketjussa jokainen kortin numero (1...13) käydään aina neljään kertaan läpi, joten koodi voidaan supistaa 4:llä ja kertoa sitten lopputulos 4**5:llä.
Supistettu yksinkertaistettu nopea koodi:
s = 0
for a in range(0,9):
_for b in range(a+1,10):
__for c in range(b+1,11):
___for d in range(c+1,12):
____for e in range(d+1,13):
_____s += 1
print(s, 4**5*s)
Ai että "ilman mitään simulointeja".
Jos yhteen epätarkkaan simulointiin menee paljon enemmän aikaa kuin kaikkien mahdollisten tapausten laskentaan, niin kannattaa hiukan miettiä mitä tekee.
Jatkuvasti kasvava suuruusjärjetys ei ollutkaan mikään vaikeutus, vaan äärimmäisen suuri helpotus.
Noinhan se tietysti on. Monte Carlo - simuloinnissa on se hyvä puoli ettei tarvitse osata laskea eri vaihtoehtoja oikein. Riittää että sekottaa kortteja uudelleen ja uudelleen ja joka sekoituksen jälkeen kokeilee ovatko kortit halutussa järjestyksessä. Eli pitää osata laatia oikein testi, jolla todetaan onko korttiyhdistelmä OK vai ei.
Kun simuloimalla saa aika pienellä vaivalla karkean arvion oikealle vaihtoehdolle on myös helppo katsoa oliko se oma "tarkka ratkaisu" yhtään edes sinnepäin. Näissäkin ketjuissa on ongelmalle esitetty jos minkälaisia ratkaisuja jotka sitten tuottivat simulointituloksesta oleellisesti poikkeavan lopputuloksen.
Tässä en siis arvostele sinun tarkkaa ratkaisuasi vaan kerron miksi minun mielestäni tälläisissä tehtävissä simuloinnilla kannattaa etsiä heti aluksi karkea arvaus haetulle todennäköisyydelle. Jos simuloinnissa laskennan tulisi olla tehokasta niin käytössä olisi tulkittavan kielen (python) sijaan joku käännettävä kieli kuten c. Itse kun olen laiska eikä tässä ole kiirettä niin koodaan pythonilla.
Ihan heittämällä, oisko 13x13x13x13x13=371293.