Olen opiskellut viime aikoina tensorilaskentaa ja nyt tutkimisen aiheena ovat tensorit klassillisessa mekaniikassa. Kiihtyvyys on siellä määritelty absoluuttisena derivaattana pitkin käyrää, mutta mikä on absoluuttisen derivaatan käänteisoperaatio? Absoluuttinen integraali, jos sellaista on edes olemassa? Googlaamalla ei löydy vastausta.
Absoluuttinen integraali?
Anonyymi-ap
8423
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Yritätkö päteä täällä? Säälittävää.
Hämmentävää. Mitä tarkoitat absoluuttisella derivaatalla? Anna esimerkki 3D-käyrästä ja sen absoluuttisesta derivaatasta. Tarkoitatko derivvaatta jossakin käyrän pisteessä vai käyrän derivaattafunktiota?
Kyse on tensorin derivoimisesta. Yleisperiaate tällöin on, että jos derivoidaan tensoria kahteen kertaan (kuten kiihtyvyyttä mekaniikassa), täytyy lopputuloksen olla myöskin tensori. Tämä karsii pois heti "tavanomaisen" derivaatan ja "tavanomaisen" osittaisderivaatan. Sen sijaan kovariantti derivaatta, johon absoluuttinen derivaatta perustuu, tuottaa lopputuloksena tensorin, joten tavanomaisen derivaatan luonnollinen yleistys on absoluuttinen derivaatta.
Valitettavasti tällä sivustolla ei oikein voi antaa laskentakaavoja, koska matemaattisen aineiston tekstinkäsittelymahdollisuudet ovat täällä erittäin rajalliset.
Vihdoin onnistuin tänä iltana löytämään jotain netistä hakusanalla "absolute derivatives":
https://cecs.wright.edu/~sthomas/chap15reading.pdf
Tässä helpohkossa aineistossa on 8 kappaletta sivuja ja se lienee osa jostakin mekaniikan oppikirjasta. Suomalaisissa oppilaitoksissa käytetään konetekniikan (eli mekaanisen tekniikan) oppikirjana ilmeisesti Tapio Salmen oivallisia teoksia, ja siellä puhutaan absoluuttisesta havaitsijasta, mutta kyse lienee samasta asiasta kuin absoluuttinen derivaatta. Toinen mainio teos, johon alkuperäinen kysymykseni liittyi, on David C. Kay Tensor Calculus. Siellä ongelmasta käytetään nimeä "absolute differentiation along a curve". (mainio teos, yli 200 sivua ja hinta vain alle 20 euroa silloin kun sen kymmenkunta vuotta sitten hankin).
Mutta kuten sanottu, löysin jo netistä jotain tietoja, joita pitää kuitenkin vielä hieman punnita.
Vielä lisäys: kaiken lähtökohtana on vaatimus, että fysikaaliset kaavat, joissa käsitellään vektoreita, täytyy olla käytetystä koordinaatistosta riippumattomia. On siis löydettävä yleiset, koordinaatistosta riippumattomat, kaavat esimerkiksi nopeudelle, kiihtyvyydelle, voimalle jne.
Koska mainitsemani teoksen Tensor Calculus sisällössä ei esiinny lähes LAINKAAN integraaleja, vaan pelkkiä osittaisderivaattoja ja "tavallisia" derivaattoja (vert. termofysiikan oppikirjat), halusin alun perin tietää, voidaanko löytää esim. nopeus tai paikka integroimalla, kun tunnetaan kiihtyvyys. Nyt lähes joka tilanteessa on lähdetty liikkeelle paikkakoordinaateista ja komponenteista, joita on osittaisderivoitu tai derivoitu "tavanomaisesti". Ilmeisesti vastakkaiseen suuntaan kulkeminen eli integrointi hoituu "tavanomaisesti" ilman sen kummempia laskukaavoja.
Derivaatta on aina eksakti funktio jo määritelmänsä mukaisesti, integraalissa vakiot määrittävät funktion ympäristön.
Tensori on nimitys tietyille ominaisuuksille, jolla ei ole mitään vaikutusta itse matematiikkaan.
Kyllä tämäkin alusta, kuten kaikki tekstieditorityyppiset mahdollistaa myös matemaattiset esitykset.
Mihin tässä tensoreita tarvitaan?
Jos meilläon käyrä a(t) niin sen nopeusvektori on a' (t) ja kiihtyvyys onn a''(t).
Nopeus on kyllä aina tuttua muotoa eli v(i) = dx(i)/dt, missä x(i) tarkoittaa vektorin i:nnettä komponenttia.
Mutta kun x(i):tä derivoidaan toisen kerran (eli kun lasketaan kiihtyvyys) saadaan yhtälö:
a(i)=d^2x(i)/(dt)^2 + lisätermi
Tässä lisätermi sisältää summalausekkeen, jossa esiintyy toisen lajin Christoffelin symboli (saadaan yhtälö, joka on samaa muotoa kuin geodeettisen käyrän yhtälö). Kun tutkittava koordinaatisto on karteesinen eli kohtisuora ja suoraviivainen, menee tämä lisätermi nollaksi ja saadaan tutut kaavat, mutta kun käytetään esimerkiksi sylinterikoordinaatistoa, pitää lisätermi laskea ja sijoittaa kiihtyvyyden kaavaan.
Se lisätermi ei ole osa derivaattaa, vaan suuntakorjaus kaarevaan koordinaatistoon.
Sama on helpompi ymmärtää, kun valitsee muuttujaksi kulman, lineaarisen nopeuden muutoksen sijaan.