Absoluuttinen integraali?

Anonyymi-ap

Olen opiskellut viime aikoina tensorilaskentaa ja nyt tutkimisen aiheena ovat tensorit klassillisessa mekaniikassa. Kiihtyvyys on siellä määritelty absoluuttisena derivaattana pitkin käyrää, mutta mikä on absoluuttisen derivaatan käänteisoperaatio? Absoluuttinen integraali, jos sellaista on edes olemassa? Googlaamalla ei löydy vastausta.

8

367

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Yritätkö päteä täällä? Säälittävää.

    • Anonyymi

      Hämmentävää. Mitä tarkoitat absoluuttisella derivaatalla? Anna esimerkki 3D-käyrästä ja sen absoluuttisesta derivaatasta. Tarkoitatko derivvaatta jossakin käyrän pisteessä vai käyrän derivaattafunktiota?

      • Anonyymi

        Kyse on tensorin derivoimisesta. Yleisperiaate tällöin on, että jos derivoidaan tensoria kahteen kertaan (kuten kiihtyvyyttä mekaniikassa), täytyy lopputuloksen olla myöskin tensori. Tämä karsii pois heti "tavanomaisen" derivaatan ja "tavanomaisen" osittaisderivaatan. Sen sijaan kovariantti derivaatta, johon absoluuttinen derivaatta perustuu, tuottaa lopputuloksena tensorin, joten tavanomaisen derivaatan luonnollinen yleistys on absoluuttinen derivaatta.

        Valitettavasti tällä sivustolla ei oikein voi antaa laskentakaavoja, koska matemaattisen aineiston tekstinkäsittelymahdollisuudet ovat täällä erittäin rajalliset.

        Vihdoin onnistuin tänä iltana löytämään jotain netistä hakusanalla "absolute derivatives":

        https://cecs.wright.edu/~sthomas/chap15reading.pdf

        Tässä helpohkossa aineistossa on 8 kappaletta sivuja ja se lienee osa jostakin mekaniikan oppikirjasta. Suomalaisissa oppilaitoksissa käytetään konetekniikan (eli mekaanisen tekniikan) oppikirjana ilmeisesti Tapio Salmen oivallisia teoksia, ja siellä puhutaan absoluuttisesta havaitsijasta, mutta kyse lienee samasta asiasta kuin absoluuttinen derivaatta. Toinen mainio teos, johon alkuperäinen kysymykseni liittyi, on David C. Kay Tensor Calculus. Siellä ongelmasta käytetään nimeä "absolute differentiation along a curve". (mainio teos, yli 200 sivua ja hinta vain alle 20 euroa silloin kun sen kymmenkunta vuotta sitten hankin).

        Mutta kuten sanottu, löysin jo netistä jotain tietoja, joita pitää kuitenkin vielä hieman punnita.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyse on tensorin derivoimisesta. Yleisperiaate tällöin on, että jos derivoidaan tensoria kahteen kertaan (kuten kiihtyvyyttä mekaniikassa), täytyy lopputuloksen olla myöskin tensori. Tämä karsii pois heti "tavanomaisen" derivaatan ja "tavanomaisen" osittaisderivaatan. Sen sijaan kovariantti derivaatta, johon absoluuttinen derivaatta perustuu, tuottaa lopputuloksena tensorin, joten tavanomaisen derivaatan luonnollinen yleistys on absoluuttinen derivaatta.

        Valitettavasti tällä sivustolla ei oikein voi antaa laskentakaavoja, koska matemaattisen aineiston tekstinkäsittelymahdollisuudet ovat täällä erittäin rajalliset.

        Vihdoin onnistuin tänä iltana löytämään jotain netistä hakusanalla "absolute derivatives":

        https://cecs.wright.edu/~sthomas/chap15reading.pdf

        Tässä helpohkossa aineistossa on 8 kappaletta sivuja ja se lienee osa jostakin mekaniikan oppikirjasta. Suomalaisissa oppilaitoksissa käytetään konetekniikan (eli mekaanisen tekniikan) oppikirjana ilmeisesti Tapio Salmen oivallisia teoksia, ja siellä puhutaan absoluuttisesta havaitsijasta, mutta kyse lienee samasta asiasta kuin absoluuttinen derivaatta. Toinen mainio teos, johon alkuperäinen kysymykseni liittyi, on David C. Kay Tensor Calculus. Siellä ongelmasta käytetään nimeä "absolute differentiation along a curve". (mainio teos, yli 200 sivua ja hinta vain alle 20 euroa silloin kun sen kymmenkunta vuotta sitten hankin).

        Mutta kuten sanottu, löysin jo netistä jotain tietoja, joita pitää kuitenkin vielä hieman punnita.

        Vielä lisäys: kaiken lähtökohtana on vaatimus, että fysikaaliset kaavat, joissa käsitellään vektoreita, täytyy olla käytetystä koordinaatistosta riippumattomia. On siis löydettävä yleiset, koordinaatistosta riippumattomat, kaavat esimerkiksi nopeudelle, kiihtyvyydelle, voimalle jne.

        Koska mainitsemani teoksen Tensor Calculus sisällössä ei esiinny lähes LAINKAAN integraaleja, vaan pelkkiä osittaisderivaattoja ja "tavallisia" derivaattoja (vert. termofysiikan oppikirjat), halusin alun perin tietää, voidaanko löytää esim. nopeus tai paikka integroimalla, kun tunnetaan kiihtyvyys. Nyt lähes joka tilanteessa on lähdetty liikkeelle paikkakoordinaateista ja komponenteista, joita on osittaisderivoitu tai derivoitu "tavanomaisesti". Ilmeisesti vastakkaiseen suuntaan kulkeminen eli integrointi hoituu "tavanomaisesti" ilman sen kummempia laskukaavoja.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyse on tensorin derivoimisesta. Yleisperiaate tällöin on, että jos derivoidaan tensoria kahteen kertaan (kuten kiihtyvyyttä mekaniikassa), täytyy lopputuloksen olla myöskin tensori. Tämä karsii pois heti "tavanomaisen" derivaatan ja "tavanomaisen" osittaisderivaatan. Sen sijaan kovariantti derivaatta, johon absoluuttinen derivaatta perustuu, tuottaa lopputuloksena tensorin, joten tavanomaisen derivaatan luonnollinen yleistys on absoluuttinen derivaatta.

        Valitettavasti tällä sivustolla ei oikein voi antaa laskentakaavoja, koska matemaattisen aineiston tekstinkäsittelymahdollisuudet ovat täällä erittäin rajalliset.

        Vihdoin onnistuin tänä iltana löytämään jotain netistä hakusanalla "absolute derivatives":

        https://cecs.wright.edu/~sthomas/chap15reading.pdf

        Tässä helpohkossa aineistossa on 8 kappaletta sivuja ja se lienee osa jostakin mekaniikan oppikirjasta. Suomalaisissa oppilaitoksissa käytetään konetekniikan (eli mekaanisen tekniikan) oppikirjana ilmeisesti Tapio Salmen oivallisia teoksia, ja siellä puhutaan absoluuttisesta havaitsijasta, mutta kyse lienee samasta asiasta kuin absoluuttinen derivaatta. Toinen mainio teos, johon alkuperäinen kysymykseni liittyi, on David C. Kay Tensor Calculus. Siellä ongelmasta käytetään nimeä "absolute differentiation along a curve". (mainio teos, yli 200 sivua ja hinta vain alle 20 euroa silloin kun sen kymmenkunta vuotta sitten hankin).

        Mutta kuten sanottu, löysin jo netistä jotain tietoja, joita pitää kuitenkin vielä hieman punnita.

        Derivaatta on aina eksakti funktio jo määritelmänsä mukaisesti, integraalissa vakiot määrittävät funktion ympäristön.
        Tensori on nimitys tietyille ominaisuuksille, jolla ei ole mitään vaikutusta itse matematiikkaan.


        Kyllä tämäkin alusta, kuten kaikki tekstieditorityyppiset mahdollistaa myös matemaattiset esitykset.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Vielä lisäys: kaiken lähtökohtana on vaatimus, että fysikaaliset kaavat, joissa käsitellään vektoreita, täytyy olla käytetystä koordinaatistosta riippumattomia. On siis löydettävä yleiset, koordinaatistosta riippumattomat, kaavat esimerkiksi nopeudelle, kiihtyvyydelle, voimalle jne.

        Koska mainitsemani teoksen Tensor Calculus sisällössä ei esiinny lähes LAINKAAN integraaleja, vaan pelkkiä osittaisderivaattoja ja "tavallisia" derivaattoja (vert. termofysiikan oppikirjat), halusin alun perin tietää, voidaanko löytää esim. nopeus tai paikka integroimalla, kun tunnetaan kiihtyvyys. Nyt lähes joka tilanteessa on lähdetty liikkeelle paikkakoordinaateista ja komponenteista, joita on osittaisderivoitu tai derivoitu "tavanomaisesti". Ilmeisesti vastakkaiseen suuntaan kulkeminen eli integrointi hoituu "tavanomaisesti" ilman sen kummempia laskukaavoja.

        Mihin tässä tensoreita tarvitaan?
        Jos meilläon käyrä a(t) niin sen nopeusvektori on a' (t) ja kiihtyvyys onn a''(t).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mihin tässä tensoreita tarvitaan?
        Jos meilläon käyrä a(t) niin sen nopeusvektori on a' (t) ja kiihtyvyys onn a''(t).

        Nopeus on kyllä aina tuttua muotoa eli v(i) = dx(i)/dt, missä x(i) tarkoittaa vektorin i:nnettä komponenttia.

        Mutta kun x(i):tä derivoidaan toisen kerran (eli kun lasketaan kiihtyvyys) saadaan yhtälö:

        a(i)=d^2x(i)/(dt)^2 + lisätermi

        Tässä lisätermi sisältää summalausekkeen, jossa esiintyy toisen lajin Christoffelin symboli (saadaan yhtälö, joka on samaa muotoa kuin geodeettisen käyrän yhtälö). Kun tutkittava koordinaatisto on karteesinen eli kohtisuora ja suoraviivainen, menee tämä lisätermi nollaksi ja saadaan tutut kaavat, mutta kun käytetään esimerkiksi sylinterikoordinaatistoa, pitää lisätermi laskea ja sijoittaa kiihtyvyyden kaavaan.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Nopeus on kyllä aina tuttua muotoa eli v(i) = dx(i)/dt, missä x(i) tarkoittaa vektorin i:nnettä komponenttia.

        Mutta kun x(i):tä derivoidaan toisen kerran (eli kun lasketaan kiihtyvyys) saadaan yhtälö:

        a(i)=d^2x(i)/(dt)^2 lisätermi

        Tässä lisätermi sisältää summalausekkeen, jossa esiintyy toisen lajin Christoffelin symboli (saadaan yhtälö, joka on samaa muotoa kuin geodeettisen käyrän yhtälö). Kun tutkittava koordinaatisto on karteesinen eli kohtisuora ja suoraviivainen, menee tämä lisätermi nollaksi ja saadaan tutut kaavat, mutta kun käytetään esimerkiksi sylinterikoordinaatistoa, pitää lisätermi laskea ja sijoittaa kiihtyvyyden kaavaan.

        Se lisätermi ei ole osa derivaattaa, vaan suuntakorjaus kaarevaan koordinaatistoon.

        Sama on helpompi ymmärtää, kun valitsee muuttujaksi kulman, lineaarisen nopeuden muutoksen sijaan.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Janne Ahonen E R O A A

      Taas 2 lasta jää vaille ehjää perhettä!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      105
      1699
    2. Terveystalon lääkärit ylilaskuttaneet

      Tämän pörriäiset osaavat, laskuttamisen. Terveystalo myöntää asian. https://www.hs.fi/suomi/art-2000011134269.html "K
      Maailman menoa
      127
      1452
    3. En kai koskaan saa sinua

      Koska et usko että riitäisit minulle. Olet aina pitänyt itseäsi liian risana ja heikkona. Katkot korkeutesi, ja poraat k
      Ikävä
      92
      1312
    4. Nyt on aika laittaa parit selkoon.

      Onko pareja täällä. Laita kirjaimet kuka tykkää kenestäkin ?
      Ikävä
      62
      1163
    5. The Summit Suomi: Maxie avaa hyytävästä tilanteesta kuvauksissa: "Veri roiskui ja tajusi, että..."

      Oletko seurannut The Summit Suomea? Tykkäätkö vai et tai mitä mieltä ylipäätään olet sarjasta? Moni katsoja on kaikonnut
      Tv-sarjat
      10
      1048
    6. Saran ökytyyli käänsi katseita.

      On nyt kyllä Sara kasvoistaan, kuvan perusteella todellakin pyöristynyt ainakin kuvan perusteella.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      111
      1019
    7. Työttömille lusmuille luvassa lisää keppiä

      Hallitus aikoo kiristää velvoitteiden laiminlyönnistä seuraavia työttömyysturvan karensseja ensi vuodesta alkaen. Hall
      Maailman menoa
      214
      820
    8. Tiedän kaiken sinusta ja kaikesta

      Tiedän miten kärsit. Tiedän millanen oikeesti oot. Tiedän miksi valehtelit, tiedän miksi satutit mua. Tiedän mitä tapaht
      Ikävä
      57
      773
    9. Ootko huomannut miten

      pursuat joka puolelta. Sille joka luulee itsestään liikoja 🫵🙋🏻‍♂️
      Ikävä
      122
      753
    10. Miksi ihmeessä?

      Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek
      Ateismi
      20
      718
    Aihe