Pari kismittävää diff. yhtälöä

Tehtävään2 saat erään yksittäisratkaisun
derivoimalla yhtälön puolittain
saat
2y'y''-y'-xy'' y'=0
2y'y''=xy'' |jaa y'' puolittain sallittua?
2y'=x
josta y=1/4*x^2
y'=x/2
y''=1/2, joten joo oli sallittua jakaminen
Tarkistus osoittaa ratkaisun päteväksi.
Muut ratkaisut ja yleisempi tapa, liikaa vaivaa.
Vakio ratkaisussa y=1/4x^2 C ei tule kyseeseen, sillä oltava C=0.


1) tehtävässä cos 2y 1 =2cos^2 y kaksinkertaisen kulman kaava, mutta auttaako paljon asiaa???

1) triviaaliratkaisut ovat ainakin
y=Pi/2 n*2Pi n kokonaisluku

2) y=0 (vakiofunktio, tosin on varmaankin yleisen ratkaisun erikoistapaus)

1)

1/(cos 2y 1) pitäisi integoida. Sen kai joku osaa tuosta noin vaan, mutta Maplesta piti minun luntata, että tulee tan(y)/2.

Tangentin tan(x) derivaatta on 1 tan^2(x).

Tan(x) on sin(x)/cos(x). Siten yo. derivaatta voidaan esittää muodossa:

(cos^2(x) sin^2(x))/cos^2(x) = 1/cos^2(x)

Nyt cos(2x) 1 = 2cos^2(x), joten se puolikaskin putkahtaa sieltä tätä kautta. Jotta tuon integraalin olisi osannut laskea, olisi tuo pitänyt nähdä toisinpäin. Täytyy olla trigonometrian kaavat käsillä tai muistissa tosi hyvin, että osaa.

Aloitat siis kaksinkertaisen kosinin kaavasta, joka on yleensä muodossa:

cos(2y) = cos^2(y)-1

2) Merkitään y'=p. Yhtälö on siis yhtäpitävä seuraavan kanssa (huomaa, että tulo pp = p^2).

(2') pp-xp = -y

Derivoidaan puolittain, ja saadaan:

2pp' - p -xp' = -p 2pp' = xp'

2p = x

Siispä y' = x/2 ja siten y = x^2/4 C.

Nyt (x/2)^2-x(x/2) x^2/4 C = x^2/4-x^2/2 x^2/4 C = C , joten C = 0.

Oliko tästä tarpeeksi apua?

Minun teoreettinen tietämykseni diff-yhtälöistä ei ole hyvä, mutta ratkaisumenetelmät ovat jääneet hyvin mieleen. Eli tässä: jos yhtälössä esiintyy derivaatan potensseja, merkitse derivaattaa muuttujalla ja derivoi lisää. Ratkaisu voi löytyä sieventämällä sen jälkeen, mutta en tiedä millä ehdoilla näin tarkalleen on.

-- Matikisti

1.

y' * x^2 - cos(2y) = 1
dx / x^2 = dy / (1 cos(2y) )
dx / x^2 = dy / ( 2(cos(y))^2 )
integroidaan nyt
-1/x = 1/2 * tan(y) c
y = arctan( -2/x ) C , x < 0 tai x > 0

2. (y')^2 - xy' y = 0
Tämä muistuttaa erästä yo-tehtävää..

Ratkaisu saadaan derivoimalla yhtälö kerran.

2y' * y'' -(y' x*y'') y' = 0
y''* ( 2y' - x) = 0

y'' = 0 tai 2y' - x = 0
integroidaan 2:sti
y = Ax B (1) dy = 1/2 * x * dx
integroidaan
y = 1/4 * x^2 C (2)
sijoitetaan (1) ja (2) takaisin alkuperäiseen ja tutkitaan toteutuuko se derivoimalla saaduilla ratkaisuilla.
(1) y = Ax B, y' = A

A^2 -x*A Ax B = 0
B = -A^2

(2) y = 1/4 * x^2 C, y' = 1/2 * x

1/4 * x^2 - 1/2 * x^2 1/4 * x^2 C = 0
C = 0

(1) ja (2) toteutuvat vain jos B = -A^2 ja C = 0

ratkaisut: triviaali y = 0

y = 1/4 * x^2 ja suoraparvi y = Ax - A^2

Jännä juttu on että paraabelille y = 1/4 * x^2
piirretyn tangentin yleinen yhtälö on juuri
y = Ax - A^2, helppo osoittaa.