Monty Hall game, bayes

"Tämä riippuu siitä, että avaako kilpailun veträjä tietoisesti väärän oven vai onko mahdollisuus että vetäjä voisi avata oikean oven, eli toimiiko vetäjä satunnaisesti vai tietoisesti. "

Olen kuullut tämän väitteen ennenkin. Selittäisitkö miten vetäjän tietoisuus ovesta ja sen takana olevasta palkinnosta vaikuttavat asiaan? En ole saanut tuosta väitteestä vielä kertaakaan järkeenkäyvää selitystä.

kkklll kirjoitti:

"Tämä riippuu siitä, että avaako kilpailun veträjä tietoisesti väärän oven vai onko mahdollisuus että vetäjä voisi avata oikean oven, eli toimiiko vetäjä satunnaisesti vai tietoisesti. "

Olen kuullut tämän väitteen ennenkin. Selittäisitkö miten vetäjän tietoisuus ovesta ja sen takana olevasta palkinnosta vaikuttavat asiaan? En ole saanut tuosta väitteestä vielä kertaakaan järkeenkäyvää selitystä.

Lue lisää

Tässäpä vertailu. Käyn läpi vain kolmasosan vaihtoehdoista, eli ne, missä valitset aluksi luukun A. Ne muut vaihtoehdot (valitset aluksi luukun B tai C) ovat identtisiä näiden kanssa, joten samat tulokset pätevät.


Vaihtoehto 1, kilpailun vetäjä tietää, missä palkinto on:

Valitset luukun A.

Jos palkinto on luukun A alla (1/3 todennäköisyys) vetäjä avaa luukun B tai C (ei väliä kumman). Häviät, jos vaihdat (A -> B tai C).

Jos palkinto on luukun B alla (1/3 todennäköisyys), vetäjä avaa luukun C. Voitat, jos vaihdat (A -> B).

Jos palkinto on luukun C alla (1/3 todennäköisyys), vetäjä avaa luukun B. Voitat, jos vaihdat (A -> C).

Yhteensä sinulla on siis 2/3 todennäköisyys voittaa vaihtamalla, ja 1/3 todennäköisyys hävitä vaihtamalla.


Vaihtoehto 2, kilpailun vetäjä ei tiedä missä palkinto on:

Valitset luukun A.

Vetäjä avaa luukun B (1/2 todennäköisyys) tai C (1/2 todennäköisyys), tietämättä missä palkinto oikeasti on.

Jos palkinto on luukun A alla (1/3 todennäköisyys) vetäjä avaa luukun B tai C (ei väliä kumman). Häviät, jos vaihdat (A -> B tai C).

Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys) kävi hassusti. Et voi voittaa, vaihdoit tai et.

Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun C (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> B).

Jos palkinto on luukun C alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> C).

Jos palkinto on luukun C alla ja vetäjä avaa luukun C (1/6 todennäköisyys) kävi hassusti. Et voi voittaa, vaihdoit tai et.

Yhteensä on siis 1/3 todennäköisyys sille, että vetäjä vahingossa avasi palkintoluukun, etkä voi voittaa, riippumatta siitä mitä teit, 1/3 todennäköisyys sille, että voitat vaihtamalla ja 1/3 todennäköisyys sille, että häviät vaihtamalla. Mikäli vetäjä ei avannut vahingossa palkintoluukkua, vaihtamalla voitat 1/2 todennäköisyydellä.


Oikeasti homma toimii periaatteen 1 mukaan. Koskaanhan ei käy niin, että vetäjä vahingossa avaisi palkintoluukun, vaan hän tietää missä palkinto on.

Tavoitteeton kirjoitti:

Tässäpä vertailu. Käyn läpi vain kolmasosan vaihtoehdoista, eli ne, missä valitset aluksi luukun A. Ne muut vaihtoehdot (valitset aluksi luukun B tai C) ovat identtisiä näiden kanssa, joten samat tulokset pätevät.


Vaihtoehto 1, kilpailun vetäjä tietää, missä palkinto on:

Valitset luukun A.

Jos palkinto on luukun A alla (1/3 todennäköisyys) vetäjä avaa luukun B tai C (ei väliä kumman). Häviät, jos vaihdat (A -> B tai C).

Jos palkinto on luukun B alla (1/3 todennäköisyys), vetäjä avaa luukun C. Voitat, jos vaihdat (A -> B).

Jos palkinto on luukun C alla (1/3 todennäköisyys), vetäjä avaa luukun B. Voitat, jos vaihdat (A -> C).

Yhteensä sinulla on siis 2/3 todennäköisyys voittaa vaihtamalla, ja 1/3 todennäköisyys hävitä vaihtamalla.


Vaihtoehto 2, kilpailun vetäjä ei tiedä missä palkinto on:

Valitset luukun A.

Vetäjä avaa luukun B (1/2 todennäköisyys) tai C (1/2 todennäköisyys), tietämättä missä palkinto oikeasti on.

Jos palkinto on luukun A alla (1/3 todennäköisyys) vetäjä avaa luukun B tai C (ei väliä kumman). Häviät, jos vaihdat (A -> B tai C).

Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys) kävi hassusti. Et voi voittaa, vaihdoit tai et.

Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun C (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> B).

Jos palkinto on luukun C alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> C).

Jos palkinto on luukun C alla ja vetäjä avaa luukun C (1/6 todennäköisyys) kävi hassusti. Et voi voittaa, vaihdoit tai et.

Yhteensä on siis 1/3 todennäköisyys sille, että vetäjä vahingossa avasi palkintoluukun, etkä voi voittaa, riippumatta siitä mitä teit, 1/3 todennäköisyys sille, että voitat vaihtamalla ja 1/3 todennäköisyys sille, että häviät vaihtamalla. Mikäli vetäjä ei avannut vahingossa palkintoluukkua, vaihtamalla voitat 1/2 todennäköisyydellä.


Oikeasti homma toimii periaatteen 1 mukaan. Koskaanhan ei käy niin, että vetäjä vahingossa avaisi palkintoluukun, vaan hän tietää missä palkinto on.

Lue lisää

Alkuperäisessä ropleemassa sanotaan:
"tilanteen järjestäjä avaa oven c, josta paljastuu ei-palkinto. "

Eli tilannetta, että järjestäjä avaa oven, jonka takana on palkinto, ei tapahdu. Tätä vasten on mielestäni virheellistä väittää, että oven avaajan tietäminen palkinnon sijainnista jotenkin vaikuttaisi asiaan. Ennen pitäisi sanoa, että *jos* huomioidaan tapaukset joissa avatun oven takana *on palkinto*, niin silloin vaihtaminen ei kannata, mutta tämähän on triviaalia ja mielestäni täysin irrallinen lähtökohdasta "josta paljastuu ei-palkinto".

Tämä minua vaivasi ja vaivaa edelleen.

lllkkkk kirjoitti:

Alkuperäisessä ropleemassa sanotaan:
"tilanteen järjestäjä avaa oven c, josta paljastuu ei-palkinto. "

Eli tilannetta, että järjestäjä avaa oven, jonka takana on palkinto, ei tapahdu. Tätä vasten on mielestäni virheellistä väittää, että oven avaajan tietäminen palkinnon sijainnista jotenkin vaikuttaisi asiaan. Ennen pitäisi sanoa, että *jos* huomioidaan tapaukset joissa avatun oven takana *on palkinto*, niin silloin vaihtaminen ei kannata, mutta tämähän on triviaalia ja mielestäni täysin irrallinen lähtökohdasta "josta paljastuu ei-palkinto".

Tämä minua vaivasi ja vaivaa edelleen.

Lue lisää

>>Eli tilannetta, että järjestäjä avaa oven, jonka takana on palkinto, ei tapahdu. Tätä vasten on mielestäni virheellistä väittää, että oven avaajan tietäminen palkinnon sijainnista jotenkin vaikuttaisi asiaan.

Tavoitteeton kirjoitti:

>>Eli tilannetta, että järjestäjä avaa oven, jonka takana on palkinto, ei tapahdu. Tätä vasten on mielestäni virheellistä väittää, että oven avaajan tietäminen palkinnon sijainnista jotenkin vaikuttaisi asiaan.

Lue lisää

Tutkitaan tapausta, että järjestäjä ei tiedä missä palkinto on ja avaa oven. Lainaan aiempaa viestiäsi.

"Valitset luukun A.

Vetäjä avaa luukun B (1/2 todennäköisyys) tai C (1/2 todennäköisyys), tietämättä missä palkinto oikeasti on.

Jos palkinto on luukun A alla (1/3 todennäköisyys) vetäjä avaa luukun B tai C (ei väliä kumman). Häviät, jos vaihdat (A -> B tai C).
"

Tässä meillä on 1/3 tapauksista ja vaihtaminen ei kannata.

"Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys) kävi hassusti. Et voi voittaa, vaihdoit tai et."

Koska sellaista ovea ei avata, jonka takana palkinto on, niin tätä ei tapahdu. Ei lasketa mukaan.

"Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun C (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> B)."

Palkinto on luukun B alla, vetäjä avaa C:n. Tn tälle on 1/3, koska tapausta palkinto B:ssä *ja* avataan B ei tapahdu. Tässä vaihtaminen kannattaa eli 1/3 tapauksissa kannattaa vaihtaa.

"Jos palkinto on luukun C alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> C)."

Tämän tn on mielestäni 1/3, eikä 1/6 samoin perustein kuin yllä. Tässäkin vaihtaminen kannattaa, eli 2/3 tapauksista vaihtaminen kannattaa.

Tapausta "palkinto luukussa C ja järjestäjä avaa C:n" ei ennakko-oletusten mukaan tapahdu.

Nyt kaikkineen kannattaa vaihtaa tn:llä 2/3 eli sama kuin aiemmin.

Kun tehtävässä sanotaan, että järjestäjä avaa palkinnottoman oven, niin hän avaa sen ja sillä mitä järjestäjän päässä tiedetään tai ei, ei ole vaikutusta todennäköisyyksiin. Seison edelleen kannassani, että näin esitettynä järjestäjän tietämisellä ei ole merkitystä kysymyksenasettelun takia.

lllkkkk kirjoitti:

Tutkitaan tapausta, että järjestäjä ei tiedä missä palkinto on ja avaa oven. Lainaan aiempaa viestiäsi.

"Valitset luukun A.

Vetäjä avaa luukun B (1/2 todennäköisyys) tai C (1/2 todennäköisyys), tietämättä missä palkinto oikeasti on.

Jos palkinto on luukun A alla (1/3 todennäköisyys) vetäjä avaa luukun B tai C (ei väliä kumman). Häviät, jos vaihdat (A -> B tai C).
"

Tässä meillä on 1/3 tapauksista ja vaihtaminen ei kannata.

"Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys) kävi hassusti. Et voi voittaa, vaihdoit tai et."

Koska sellaista ovea ei avata, jonka takana palkinto on, niin tätä ei tapahdu. Ei lasketa mukaan.

"Jos palkinto on luukun B alla ja vetäjä avaa luukun C (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> B)."

Palkinto on luukun B alla, vetäjä avaa C:n. Tn tälle on 1/3, koska tapausta palkinto B:ssä *ja* avataan B ei tapahdu. Tässä vaihtaminen kannattaa eli 1/3 tapauksissa kannattaa vaihtaa.

"Jos palkinto on luukun C alla ja vetäjä avaa luukun B (1/6 todennäköisyys), voitat jos vaihdat (A -> C)."

Tämän tn on mielestäni 1/3, eikä 1/6 samoin perustein kuin yllä. Tässäkin vaihtaminen kannattaa, eli 2/3 tapauksista vaihtaminen kannattaa.

Tapausta "palkinto luukussa C ja järjestäjä avaa C:n" ei ennakko-oletusten mukaan tapahdu.

Nyt kaikkineen kannattaa vaihtaa tn:llä 2/3 eli sama kuin aiemmin.

Kun tehtävässä sanotaan, että järjestäjä avaa palkinnottoman oven, niin hän avaa sen ja sillä mitä järjestäjän päässä tiedetään tai ei, ei ole vaikutusta todennäköisyyksiin. Seison edelleen kannassani, että näin esitettynä järjestäjän tietämisellä ei ole merkitystä kysymyksenasettelun takia.

Lue lisää

Jollet usko, että todennäköisyydet todella menevät näin, hommaa on helppo simuloida vaikkapa tietokoneohjelmalla tai noppaa heittämällä.

Valitset vaikka aina luukun 1. Sitten heität nopalla missä palkinto on (1-2 = luukku 1, 3-4 = luukku 2, 5-6 = luukku 3) ja minkä luukun järjestäjä avaa (1-3 = luukku 2, 4-6 = luukku 3). Tapauksessa, jossa järjestäjä tietää missä palkinto on, et tietenkään heitä noppaa järjestäjän toiminnan osalta jos palkinto on luukun 2 tai 3 alla (vaan järjestäjä avaa sen toisen). Tapauksissa, jossa järjestäjä ei tiennyt palkinnon sijaintia, kelpuutat jatkoon tietenkin vain ne tapaukset, missä järjestäjä ei vahingossa avannut palkintoluukkua.

Tuon kun toistat muutaman kymmentä kertaa kummallekin vaihtoehdolle, huomaat kyllä miten todennäköisyys kummassakin tapauksessa menee.

Keskimääräiset tulokset 60 yritykselle ovat:

Järjestäjä tietää missä palkinto on:

20 kertaa: ei kannata vaihtaa
40 kertaa: kannattaa vaihtaa

Järjestäjä ei tiedä missä palkinto on:

20 kertaa: ei kannata vaihtaa
20 kertaa: kannattaa vaihtaa
20 kertaa: järjestäjä avasi vahingossa palkintoluukun

Huomaatko, että tässä jälkimmäisessä tapauksessa ei vaihtaminen lisää voittotodennäköisyyttä, vaikka järjestäjä ei olisikaan mokannut ja avannut palkintoluukkua?

Tavoitteeton kirjoitti:

Jollet usko, että todennäköisyydet todella menevät näin, hommaa on helppo simuloida vaikkapa tietokoneohjelmalla tai noppaa heittämällä.

Valitset vaikka aina luukun 1. Sitten heität nopalla missä palkinto on (1-2 = luukku 1, 3-4 = luukku 2, 5-6 = luukku 3) ja minkä luukun järjestäjä avaa (1-3 = luukku 2, 4-6 = luukku 3). Tapauksessa, jossa järjestäjä tietää missä palkinto on, et tietenkään heitä noppaa järjestäjän toiminnan osalta jos palkinto on luukun 2 tai 3 alla (vaan järjestäjä avaa sen toisen). Tapauksissa, jossa järjestäjä ei tiennyt palkinnon sijaintia, kelpuutat jatkoon tietenkin vain ne tapaukset, missä järjestäjä ei vahingossa avannut palkintoluukkua.

Tuon kun toistat muutaman kymmentä kertaa kummallekin vaihtoehdolle, huomaat kyllä miten todennäköisyys kummassakin tapauksessa menee.

Keskimääräiset tulokset 60 yritykselle ovat:

Järjestäjä tietää missä palkinto on:

20 kertaa: ei kannata vaihtaa
40 kertaa: kannattaa vaihtaa

Järjestäjä ei tiedä missä palkinto on:

20 kertaa: ei kannata vaihtaa
20 kertaa: kannattaa vaihtaa
20 kertaa: järjestäjä avasi vahingossa palkintoluukun

Huomaatko, että tässä jälkimmäisessä tapauksessa ei vaihtaminen lisää voittotodennäköisyyttä, vaikka järjestäjä ei olisikaan mokannut ja avannut palkintoluukkua?

Lue lisää

En ymmärrä miksi, mutta se näyttäisi todellakin olevan kuten väität. Tuntuu vähintäänkin uskomattomalta. Tein kaksi tietokoneohjelmaa joista toinen simuloi tapausta jossa järjestäjä tietää ja toinen tapausta jossa järjestäjä ei tiedä. Laitan C-koodit erillisiin vastauksiin tähän viestiin jos jotain kiinostaa (vinkatkaa jos kiinnostaa).

Nyt meni yöunet. Olen nimittäin ollut aina vakuuttunut järjestäjän "tietämisen" olevan epätäsmällistä kielenkäyttöä tässä enkä ole tutkinut asiaa tarkemmin.

llkkk kirjoitti:

En ymmärrä miksi, mutta se näyttäisi todellakin olevan kuten väität. Tuntuu vähintäänkin uskomattomalta. Tein kaksi tietokoneohjelmaa joista toinen simuloi tapausta jossa järjestäjä tietää ja toinen tapausta jossa järjestäjä ei tiedä. Laitan C-koodit erillisiin vastauksiin tähän viestiin jos jotain kiinostaa (vinkatkaa jos kiinnostaa).

Nyt meni yöunet. Olen nimittäin ollut aina vakuuttunut järjestäjän "tietämisen" olevan epätäsmällistä kielenkäyttöä tässä enkä ole tutkinut asiaa tarkemmin.

Lue lisää

>>Nyt meni yöunet. Olen nimittäin ollut aina vakuuttunut järjestäjän "tietämisen" olevan epätäsmällistä kielenkäyttöä tässä enkä ole tutkinut asiaa tarkemmin.

Tavoitteeton kirjoitti:

>>Nyt meni yöunet. Olen nimittäin ollut aina vakuuttunut järjestäjän "tietämisen" olevan epätäsmällistä kielenkäyttöä tässä enkä ole tutkinut asiaa tarkemmin.

"Se, että järjestäjä tietää missä palkinto on, ei sinänsä vaikuta mitään mahdollisuuksiisi. Sen sijaan se, että hän käyttää tätä tietoaan osoittaakseen sinulle yhden mahdottoman vaihtoehdon, vaikuttaa. "

Minusta tuntuisi kyllä loogisemmalta, että sillä miten tieto ei-voittavasta ovesta saadaan ei ole mitään merkitystä. Kummassakin tapauksessa hän osoittaa oven jossa palkintoa ei ole (jos oveksi sattuu palkinnollinen, niin valintatilanteeseen ei tulla). Päättelyhän alkaa pisteestä, jossa yksi palkinnoton ovi on avattu.

Tässä on jotain nyrjähtänyttä ajattelua, joka ei kyllä aivan heti ainakaan meikäläiselle uppoa.

Näköjään tämä "Monty Hall"-probleema ilmaantuu tänne aika ajoin. Joka kerralla keskustelu on kääntynyt siihen, tietääkö juontaja etukäteen mitä minkäkin oven takana on. Onhan selvää, että jos juontaja ei tiedä, minkä oven takana palkinto on, hän saattaisi paljastaa sen. Tehtävän asettelun mukaan näin ei kuitenkaan käy. Tehtävän ratkaisijan taas on turha miettiä sitä, miksi näin ei käy. Sillä ei ole tehtävän ratkaisun kannalta merkitystä, eikä sitä edes kysytä.

Joka tapauksessa useimpien mielestä oven vaihtaminen kannattaa, kunhan oletetaan, että juontaja on etukäteen tiennyt, mitä kunkin oven takana on. Siispä laitan tehtävän uusiksi:


Tilanne:
Kilpailun juontaja näyttää kilpailijalle kolmea ovea kertoen samalla hänelle, että yhden oven takana on urheiluauto, ja kahden muun oven takana on kummassakin vuohi. Kilpailija ja juontaja eivät kumpikaan tiedä missä järjestyksessä palkinnot ovien takana ovat. Kilpailija saa nyt valita yhden ovista, mutta sitä ei vielä avata. Sen sijaan juontaja avaa _sattumanvaraisesti_ jomman kumman jäljelle jääneistä ovista. Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi. Kilpailija voi nyt avata kumman tahansa vielä kiinni olevista ovista, jolloin hän voittaa avaamansa oven takana olevan palkinnon.

Kysymys:
Kannattaako kilpailijan tässä tilanteessa avata se ovi, jonka hän oli alun perin valinnut vai kannattaako hänen vaihtaa ovea, mikäli hän haluaa voittaa urheiluauton?

M.L. kirjoitti:

Näköjään tämä "Monty Hall"-probleema ilmaantuu tänne aika ajoin. Joka kerralla keskustelu on kääntynyt siihen, tietääkö juontaja etukäteen mitä minkäkin oven takana on. Onhan selvää, että jos juontaja ei tiedä, minkä oven takana palkinto on, hän saattaisi paljastaa sen. Tehtävän asettelun mukaan näin ei kuitenkaan käy. Tehtävän ratkaisijan taas on turha miettiä sitä, miksi näin ei käy. Sillä ei ole tehtävän ratkaisun kannalta merkitystä, eikä sitä edes kysytä.

Joka tapauksessa useimpien mielestä oven vaihtaminen kannattaa, kunhan oletetaan, että juontaja on etukäteen tiennyt, mitä kunkin oven takana on. Siispä laitan tehtävän uusiksi:


Tilanne:
Kilpailun juontaja näyttää kilpailijalle kolmea ovea kertoen samalla hänelle, että yhden oven takana on urheiluauto, ja kahden muun oven takana on kummassakin vuohi. Kilpailija ja juontaja eivät kumpikaan tiedä missä järjestyksessä palkinnot ovien takana ovat. Kilpailija saa nyt valita yhden ovista, mutta sitä ei vielä avata. Sen sijaan juontaja avaa _sattumanvaraisesti_ jomman kumman jäljelle jääneistä ovista. Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi. Kilpailija voi nyt avata kumman tahansa vielä kiinni olevista ovista, jolloin hän voittaa avaamansa oven takana olevan palkinnon.

Kysymys:
Kannattaako kilpailijan tässä tilanteessa avata se ovi, jonka hän oli alun perin valinnut vai kannattaako hänen vaihtaa ovea, mikäli hän haluaa voittaa urheiluauton?

Lue lisää

Todennäköisyys on 50-50, eli vaihtamalla voittaa yhtä usein kuin jättämällä vaihtamatta.

Syy on selitetty noissa aiemmissa viesteissäni.

M.L. kirjoitti:

Näköjään tämä "Monty Hall"-probleema ilmaantuu tänne aika ajoin. Joka kerralla keskustelu on kääntynyt siihen, tietääkö juontaja etukäteen mitä minkäkin oven takana on. Onhan selvää, että jos juontaja ei tiedä, minkä oven takana palkinto on, hän saattaisi paljastaa sen. Tehtävän asettelun mukaan näin ei kuitenkaan käy. Tehtävän ratkaisijan taas on turha miettiä sitä, miksi näin ei käy. Sillä ei ole tehtävän ratkaisun kannalta merkitystä, eikä sitä edes kysytä.

Joka tapauksessa useimpien mielestä oven vaihtaminen kannattaa, kunhan oletetaan, että juontaja on etukäteen tiennyt, mitä kunkin oven takana on. Siispä laitan tehtävän uusiksi:


Tilanne:
Kilpailun juontaja näyttää kilpailijalle kolmea ovea kertoen samalla hänelle, että yhden oven takana on urheiluauto, ja kahden muun oven takana on kummassakin vuohi. Kilpailija ja juontaja eivät kumpikaan tiedä missä järjestyksessä palkinnot ovien takana ovat. Kilpailija saa nyt valita yhden ovista, mutta sitä ei vielä avata. Sen sijaan juontaja avaa _sattumanvaraisesti_ jomman kumman jäljelle jääneistä ovista. Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi. Kilpailija voi nyt avata kumman tahansa vielä kiinni olevista ovista, jolloin hän voittaa avaamansa oven takana olevan palkinnon.

Kysymys:
Kannattaako kilpailijan tässä tilanteessa avata se ovi, jonka hän oli alun perin valinnut vai kannattaako hänen vaihtaa ovea, mikäli hän haluaa voittaa urheiluauton?

Lue lisää

Juontajan tietoisuudella ei ole tehtävän kannalta merkitystä, vaan olennaista on se, että juontajan oven takaa paljastuu vuohi. Lasketaan siis ehdollista todenäköisyyttä, jossa ehtona on se, että juontaja on avannut vuohen sisältävän oven. Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen.

jukepuke kirjoitti:

Juontajan tietoisuudella ei ole tehtävän kannalta merkitystä, vaan olennaista on se, että juontajan oven takaa paljastuu vuohi. Lasketaan siis ehdollista todenäköisyyttä, jossa ehtona on se, että juontaja on avannut vuohen sisältävän oven. Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen.

Lue lisää

Sen verran vielä tuosta juontajan tietoisuudesta/satunnaisesta toiminnasta, että tieto siitä ei vaikuta nimenomaan sen takia, kun oletuksessa ei juontajan sallita edes avaavan sellaista ovea, missä palkinto sijaitsee. Oletuksenahan oli, että juontaja avaa oven, jonka takana on vuohi.

jukepuke kirjoitti:

Juontajan tietoisuudella ei ole tehtävän kannalta merkitystä, vaan olennaista on se, että juontajan oven takaa paljastuu vuohi. Lasketaan siis ehdollista todenäköisyyttä, jossa ehtona on se, että juontaja on avannut vuohen sisältävän oven. Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen.

Lue lisää

Juontajan tietoisuudella siis. Jos tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa aina palkinnottoman oven, niin vaihto kannattaa tn:llä 2/3. Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset, niin vaihto kannattaa vain puolessa tapauksista.

"Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen."

Kyllä se vaikuttaa, niin älyttömältä kuin se kuulostaakin.

poppppp kirjoitti:

Juontajan tietoisuudella siis. Jos tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa aina palkinnottoman oven, niin vaihto kannattaa tn:llä 2/3. Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset, niin vaihto kannattaa vain puolessa tapauksista.

"Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen."

Kyllä se vaikuttaa, niin älyttömältä kuin se kuulostaakin.

Lue lisää

Mitä eroa noilla kahdella tavalla on? Onko sulla esittää jotain dokumenttia tuosta?

Tavoitteeton kirjoitti:

Todennäköisyys on 50-50, eli vaihtamalla voittaa yhtä usein kuin jättämällä vaihtamatta.

Syy on selitetty noissa aiemmissa viesteissäni.

Vastaamasi "50-50" olisi aivan oikea vastaus, jos edellä mainitsemani tehtävän asettelusta puuttuisi lause: "Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi." Tehtävässä on siis ihan tarkoituksella rajattu pois se vaihtoehto, että juontaja paljastaisi urheiluauton.

Aikaisemmat perustelusi eivät päde tähän, koska lasket vieteissäsi todennäköisyyksiä myös sille, että juontaja paljastaisi päävoiton. Näinhän ei _tehtävän_asettelun_ mukaan kuitenkaan käy. Siksi tätä vaihtoehtoa ei tehtävää ratkaistaessa tarvitse huomioida.

Ymmärrän kyllä sen (luultavasti ymmärrän) mitä yrität sanoa. Jos tällainen kilpailu oikeasti järjestettäisiin, niin kilpailun mielekkyyden vuoksi juontajan pitäisi tietää, minkä oven takana pääpalkinto on, jottei hän paljastaisi sitä vahingossa. Tässä tehtävässä niin ei käy. Ratkaisijan ei tarvitse miettiä sitä, miksi se "niin ei käy" tapahtuu.


Laitanpa vielä tähän samaan ketjuun hieman toisenlaisen tehtävän, jonka ratkaisussa myös mennään usein metsään:

Heität yhtä aikaa kahta lanttia. Toinen lanteista on kruuna. Millä todennäköisyydellä myös toinen on kruuna?


- Mika

poppppp kirjoitti:

Juontajan tietoisuudella siis. Jos tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa aina palkinnottoman oven, niin vaihto kannattaa tn:llä 2/3. Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset, niin vaihto kannattaa vain puolessa tapauksista.

"Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen."

Kyllä se vaikuttaa, niin älyttömältä kuin se kuulostaakin.

Lue lisää

Yksinkertaisimmillaan jonkun tapahtuman todennäköisyys on suotuisten tapauksien suhde kaikkiin mahdollisiin tapauksiin.

Tässä tehtävässä suotuisia tapauksia ovat kaikki ne, joiden toteutuessa kilpailija voittaa palkinnon - joko vaihtamalla tai jättämällä vaihtamatta ovea. (Tehtävän ratkaisija joutuu siis laskemaan toennäköisyyden molemmille tavoille ja vertaamalla niitä keskenään.)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin rajattu pois kaikki ne tapaukset, joissa juontaja paljastaa päävoiton. Näitä tapauksia ei siis voi olla ole suotuisten tapausten eikä myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

Viestissäsi oleva ilmaus "Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset" tarkoittaisi sitä, että nämä tapaukset ovat mukana kaikkien mahdollisten tapauksien joukossa, mutta eivät suotuisten tapauksien joukossa. Ne eivät tietenkään ole mukana suotuisten tapausten joukossa, mutta tehtävän asettelun mukaan ne eivät voi olla myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

- Mika

M.L. kirjoitti:

Yksinkertaisimmillaan jonkun tapahtuman todennäköisyys on suotuisten tapauksien suhde kaikkiin mahdollisiin tapauksiin.

Tässä tehtävässä suotuisia tapauksia ovat kaikki ne, joiden toteutuessa kilpailija voittaa palkinnon - joko vaihtamalla tai jättämällä vaihtamatta ovea. (Tehtävän ratkaisija joutuu siis laskemaan toennäköisyyden molemmille tavoille ja vertaamalla niitä keskenään.)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin rajattu pois kaikki ne tapaukset, joissa juontaja paljastaa päävoiton. Näitä tapauksia ei siis voi olla ole suotuisten tapausten eikä myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

Viestissäsi oleva ilmaus "Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset" tarkoittaisi sitä, että nämä tapaukset ovat mukana kaikkien mahdollisten tapauksien joukossa, mutta eivät suotuisten tapauksien joukossa. Ne eivät tietenkään ole mukana suotuisten tapausten joukossa, mutta tehtävän asettelun mukaan ne eivät voi olla myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

- Mika

Lue lisää

Juuri tätä hain takaa itsekin.

M.L. kirjoitti:

Vastaamasi "50-50" olisi aivan oikea vastaus, jos edellä mainitsemani tehtävän asettelusta puuttuisi lause: "Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi." Tehtävässä on siis ihan tarkoituksella rajattu pois se vaihtoehto, että juontaja paljastaisi urheiluauton.

Aikaisemmat perustelusi eivät päde tähän, koska lasket vieteissäsi todennäköisyyksiä myös sille, että juontaja paljastaisi päävoiton. Näinhän ei _tehtävän_asettelun_ mukaan kuitenkaan käy. Siksi tätä vaihtoehtoa ei tehtävää ratkaistaessa tarvitse huomioida.

Ymmärrän kyllä sen (luultavasti ymmärrän) mitä yrität sanoa. Jos tällainen kilpailu oikeasti järjestettäisiin, niin kilpailun mielekkyyden vuoksi juontajan pitäisi tietää, minkä oven takana pääpalkinto on, jottei hän paljastaisi sitä vahingossa. Tässä tehtävässä niin ei käy. Ratkaisijan ei tarvitse miettiä sitä, miksi se "niin ei käy" tapahtuu.


Laitanpa vielä tähän samaan ketjuun hieman toisenlaisen tehtävän, jonka ratkaisussa myös mennään usein metsään:

Heität yhtä aikaa kahta lanttia. Toinen lanteista on kruuna. Millä todennäköisyydellä myös toinen on kruuna?


- Mika

Lue lisää

>>Vastaamasi "50-50" olisi aivan oikea vastaus, jos edellä mainitsemani tehtävän asettelusta puuttuisi lause: "Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi." Tehtävässä on siis ihan tarkoituksella rajattu pois se vaihtoehto, että juontaja paljastaisi urheiluauton.

jukepuke kirjoitti:

Mitä eroa noilla kahdella tavalla on? Onko sulla esittää jotain dokumenttia tuosta?

Erona on se, että jos juontaja tietää missä palkinto on, hän avaamalla luukun jonka takana se varmasti ei ole, parantaa mahdollisuuksiasi voittaa. Jos hän ei tiedä, ei hän voi niitä parantaa.

Johan nämä todennäköisyydet on moneen kertaan täällä esitetty, mutta kertausen vuoksi vielä kerran:


Juontaja tietää, missä palkinto on:

1/3: arvasti alunperin oikein
2/3: voitat vaihtamalla


Juontaja ei tiedä, missä palkinto on:

1/3: juontaja avaa vahingossa palkintoluukun
1/3: arvasit alunperin oikein
1/3: voitat vaihtamalla

Ja kun tästä jälkimmäisestä rajataan pois mahdollisuus, että juontaja avaisi palkintoluukun, jäljelle jäävät todennäköisyydet ovat:

1/2: arvasit alunperin oikein
1/2: voitat vaihtamalla

Tavoitteeton kirjoitti:

>>Vastaamasi "50-50" olisi aivan oikea vastaus, jos edellä mainitsemani tehtävän asettelusta puuttuisi lause: "Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi." Tehtävässä on siis ihan tarkoituksella rajattu pois se vaihtoehto, että juontaja paljastaisi urheiluauton.

Lue lisää

Lainaus viestistäsi:
"Mahdollisuudet eri vaihtehdoille ovat:

1/3: juontaja avaa luukun, jonka takana on urheiluauto
1/3: arvasit alunperin oikein
1/3: voitat vaihtamalla"

Alkuperäisessä tehtävässä on kysymys siitä, kannattaako kilpailijan vaihtaa ovea siinä vaiheessa, kun juontaja on jo avannut oven, jonka takana ei ole urheiluautoa. Miten on mahdollista, että juontajan avaaman oven takana yhtäkkiä olisikin sellainen??

- Mika

M.L. kirjoitti:

Yksinkertaisimmillaan jonkun tapahtuman todennäköisyys on suotuisten tapauksien suhde kaikkiin mahdollisiin tapauksiin.

Tässä tehtävässä suotuisia tapauksia ovat kaikki ne, joiden toteutuessa kilpailija voittaa palkinnon - joko vaihtamalla tai jättämällä vaihtamatta ovea. (Tehtävän ratkaisija joutuu siis laskemaan toennäköisyyden molemmille tavoille ja vertaamalla niitä keskenään.)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin rajattu pois kaikki ne tapaukset, joissa juontaja paljastaa päävoiton. Näitä tapauksia ei siis voi olla ole suotuisten tapausten eikä myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

Viestissäsi oleva ilmaus "Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset" tarkoittaisi sitä, että nämä tapaukset ovat mukana kaikkien mahdollisten tapauksien joukossa, mutta eivät suotuisten tapauksien joukossa. Ne eivät tietenkään ole mukana suotuisten tapausten joukossa, mutta tehtävän asettelun mukaan ne eivät voi olla myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

- Mika

Lue lisää

Tarkoitan seuraavaa:
1) Juontaja tietää missä palkinto on, avaa palkinnottoman oven ja sinun pitää päättää vaihdatko vai et. Tässä vaihtaminen kannattaa tn:llä 2/3 kuten jo on todettu.

2) Juontaja ei tiedä missä palkinto ja avaa oven sattumanvaraisesti. Jos avatun oven takana on palkinto, niin näitä tapauksia ei lasketa mukaan kaikkiin tapauksiin. Jos oven takana ei ole palkintoa, niin on päätettävä vaihdetaanko. Tässä vaihtaminen kannattaa puolessa tapauksista joissa valinta ylipäätään päästään tekemään. Alkeistapauksiksi ei lasketa niitä, joissa juontaja avaa palkinnollisen oven.

M.L. kirjoitti:

Lainaus viestistäsi:
"Mahdollisuudet eri vaihtehdoille ovat:

1/3: juontaja avaa luukun, jonka takana on urheiluauto
1/3: arvasit alunperin oikein
1/3: voitat vaihtamalla"

Alkuperäisessä tehtävässä on kysymys siitä, kannattaako kilpailijan vaihtaa ovea siinä vaiheessa, kun juontaja on jo avannut oven, jonka takana ei ole urheiluautoa. Miten on mahdollista, että juontajan avaaman oven takana yhtäkkiä olisikin sellainen??

- Mika

Lue lisää

Luitko edes koko vastaustani?

Nuo ovat todennäköisyydet tilanteelle, missä juontaja ei tiedä minkä luukun takana palkinto on.

Jos juontaja ei avaa palkintoluukkua, tarkoittaa se, että se vaihtoehto ei toteutunut, ja jäljellä on ne kaksi muuta, joiden todennäköisyydet ovat yhtä isot.

jukepuke kirjoitti:

Juontajan tietoisuudella ei ole tehtävän kannalta merkitystä, vaan olennaista on se, että juontajan oven takaa paljastuu vuohi. Lasketaan siis ehdollista todenäköisyyttä, jossa ehtona on se, että juontaja on avannut vuohen sisältävän oven. Se, että onko ovi avattu sattumanvaraisesti vai tietoisesti, ei vaikuta todennäköisyyteen.

Lue lisää

jos
A:"oven takana on auto" ja
B:"juontaja paljastaa vuohen"

P(A|B) = P(A)*P(B) / P(B) = P(A)

missä P(A)*P(B) on A:n ja B:n leikkausjoukon todennäköisyys, sillä A ja B ovat toisensa poissulkevia.

Näyttäisi ettei juontajan tietämyksellä ole merkitystä.

M.L. kirjoitti:

Yksinkertaisimmillaan jonkun tapahtuman todennäköisyys on suotuisten tapauksien suhde kaikkiin mahdollisiin tapauksiin.

Tässä tehtävässä suotuisia tapauksia ovat kaikki ne, joiden toteutuessa kilpailija voittaa palkinnon - joko vaihtamalla tai jättämällä vaihtamatta ovea. (Tehtävän ratkaisija joutuu siis laskemaan toennäköisyyden molemmille tavoille ja vertaamalla niitä keskenään.)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin rajattu pois kaikki ne tapaukset, joissa juontaja paljastaa päävoiton. Näitä tapauksia ei siis voi olla ole suotuisten tapausten eikä myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

Viestissäsi oleva ilmaus "Jos taas tutkitaan tapauksia, joissa juontaja avaa oven sattumanvaraisesti ja jätetään laskuista pois palkinnollisen oven avaukset" tarkoittaisi sitä, että nämä tapaukset ovat mukana kaikkien mahdollisten tapauksien joukossa, mutta eivät suotuisten tapauksien joukossa. Ne eivät tietenkään ole mukana suotuisten tapausten joukossa, mutta tehtävän asettelun mukaan ne eivät voi olla myöskään kaikkien mahdollisten tapausten joukossa.

- Mika

Lue lisää

Testaa asiaa itse seuraavilla (siellä on nappi "start to download" tjsp. suht ylhäällä):
http://www.badongo.com/file/892159
http://www.badongo.com/file/892164

Jos siellä on looginen bugi, niin saapi ilmoittaa.

Tavoitteeton kirjoitti:

Erona on se, että jos juontaja tietää missä palkinto on, hän avaamalla luukun jonka takana se varmasti ei ole, parantaa mahdollisuuksiasi voittaa. Jos hän ei tiedä, ei hän voi niitä parantaa.

Johan nämä todennäköisyydet on moneen kertaan täällä esitetty, mutta kertausen vuoksi vielä kerran:


Juontaja tietää, missä palkinto on:

1/3: arvasti alunperin oikein
2/3: voitat vaihtamalla


Juontaja ei tiedä, missä palkinto on:

1/3: juontaja avaa vahingossa palkintoluukun
1/3: arvasit alunperin oikein
1/3: voitat vaihtamalla

Ja kun tästä jälkimmäisestä rajataan pois mahdollisuus, että juontaja avaisi palkintoluukun, jäljelle jäävät todennäköisyydet ovat:

1/2: arvasit alunperin oikein
1/2: voitat vaihtamalla

Lue lisää

Tietysti jos mietitään tehtävää käytännön tasolla, niin silloin juontajan pitää tietää (toistokokeessa), että missä luukussa palkinto on, osatakaseen avata aina sen vuohi luukun. Siis nimenomaan käytännön tasolla! Matemaattisessa mielessä tiedolla/tietämättömyydellä ei ole merkitystä, sillä ehtona on se, että juontaja on avannut vuohen sisältämän luukun.

Mielestäni tuo koe, jossa otetaan alkeistapauksista pois ne, missä juontaja avaa vahingossa palkintoluukun, ei palvele tätä tehtävää. Eihän missään kohtaa ole ollut puhe siitä, että juontaja voisi näin vahingossa tehdä.

jen-s kirjoitti:

jos
A:"oven takana on auto" ja
B:"juontaja paljastaa vuohen"

P(A|B) = P(A)*P(B) / P(B) = P(A)

missä P(A)*P(B) on A:n ja B:n leikkausjoukon todennäköisyys, sillä A ja B ovat toisensa poissulkevia.

Näyttäisi ettei juontajan tietämyksellä ole merkitystä.

Lue lisää

...joo. Ehdollinen todennäköisyys oli mielessä =/.

jukepuke kirjoitti:

Tietysti jos mietitään tehtävää käytännön tasolla, niin silloin juontajan pitää tietää (toistokokeessa), että missä luukussa palkinto on, osatakaseen avata aina sen vuohi luukun. Siis nimenomaan käytännön tasolla! Matemaattisessa mielessä tiedolla/tietämättömyydellä ei ole merkitystä, sillä ehtona on se, että juontaja on avannut vuohen sisältämän luukun.

Mielestäni tuo koe, jossa otetaan alkeistapauksista pois ne, missä juontaja avaa vahingossa palkintoluukun, ei palvele tätä tehtävää. Eihän missään kohtaa ole ollut puhe siitä, että juontaja voisi näin vahingossa tehdä.

Lue lisää

"Tietysti jos mietitään tehtävää käytännön tasolla, niin silloin juontajan pitää tietää (toistokokeessa), että missä luukussa palkinto on, osatakaseen avata aina sen vuohi luukun."

Näin on, mutta jos ajatellaan kilpailijan päätöksentekotilannetta siinä tapauksessa, jossa juontaja on esimerkiksi kolikkoa heittämällä onnistunut valitsemaan palkinnottoman luukun, vaihtamisesta ei ole hyötyä.

Otetaanpa vielä kolmas muunnos tehtävästä. Juontaja tietää, että kilpailija on Montynsa lukenut ja päättää jallittaa kilpailijaa. Jos kilpailija valitsee ensiksi väärin, juontaja avaa luukun, jonka takana tietää palkinnon olevan ja toteaa kilpailijan valinneen väärin. Jos kilpailija sen sijaan valitsee aluksi oikein, juontaja avaa toisen tyhjistä luukuista ja kysyy kilpailijan halukkuutta luukunvaihtoon. Kilpailija suostuu ja palkinto jää saamatta.

Tavoitteeton kirjoitti:

Luitko edes koko vastaustani?

Nuo ovat todennäköisyydet tilanteelle, missä juontaja ei tiedä minkä luukun takana palkinto on.

Jos juontaja ei avaa palkintoluukkua, tarkoittaa se, että se vaihtoehto ei toteutunut, ja jäljellä on ne kaksi muuta, joiden todennäköisyydet ovat yhtä isot.

Lue lisää

Luin kyllä viestisi useaan kertaan, ja nyt vielä uudelleen. Silti ne eivät minua vakuuta.

Tässä vielä lainaus aiemmasta viestistäsi, tosin alemmasta haarasta, mutta kuitenkin:

"Juontaja ei tiedä, missä palkinto on:

1/3: juontaja avaa vahingossa palkintoluukun
1/3: arvasit alunperin oikein
1/3: voitat vaihtamalla

Ja kun tästä jälkimmäisestä rajataan pois mahdollisuus, että juontaja avaisi palkintoluukun, jäljelle jäävät todennäköisyydet ovat:

1/2: arvasit alunperin oikein
1/2: voitat vaihtamalla"


Melestäni se pitäisi mennä näin:

1/3: kilpailija arvasi alunperin oikein (jolloin vahtamalla häviää)
2/3: kilpailija arvasi alunperin väärin

Näistä jälkimmäinen voidaan jakaa seuraavasti:
1/2: juontaja avaa oven, jonka takana ei ole palkintoa (vaihtamalla voittaa)
1/2: juontaja avaa oven, jonka takana on palkinto (voittoa ei tule missään tapauksessa)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin kerrottu, että näistä kahdesta tapahtuu ensimmäinen.

Todennäköisyys, että kilpailija arvasi alunperin oikein on aina 1/3. Se ei muutu mystisesti 1/2:ksi, kuten väität, tekipä juontaja myöhemmässä vaiheessa mitä hyvänsä.

- Mika

M.L. kirjoitti:

Luin kyllä viestisi useaan kertaan, ja nyt vielä uudelleen. Silti ne eivät minua vakuuta.

Tässä vielä lainaus aiemmasta viestistäsi, tosin alemmasta haarasta, mutta kuitenkin:

"Juontaja ei tiedä, missä palkinto on:

1/3: juontaja avaa vahingossa palkintoluukun
1/3: arvasit alunperin oikein
1/3: voitat vaihtamalla

Ja kun tästä jälkimmäisestä rajataan pois mahdollisuus, että juontaja avaisi palkintoluukun, jäljelle jäävät todennäköisyydet ovat:

1/2: arvasit alunperin oikein
1/2: voitat vaihtamalla"


Melestäni se pitäisi mennä näin:

1/3: kilpailija arvasi alunperin oikein (jolloin vahtamalla häviää)
2/3: kilpailija arvasi alunperin väärin

Näistä jälkimmäinen voidaan jakaa seuraavasti:
1/2: juontaja avaa oven, jonka takana ei ole palkintoa (vaihtamalla voittaa)
1/2: juontaja avaa oven, jonka takana on palkinto (voittoa ei tule missään tapauksessa)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin kerrottu, että näistä kahdesta tapahtuu ensimmäinen.

Todennäköisyys, että kilpailija arvasi alunperin oikein on aina 1/3. Se ei muutu mystisesti 1/2:ksi, kuten väität, tekipä juontaja myöhemmässä vaiheessa mitä hyvänsä.

- Mika

Lue lisää

>>Melestäni se pitäisi mennä näin:

1/3: kilpailija arvasi alunperin oikein (jolloin vahtamalla häviää)
2/3: kilpailija arvasi alunperin väärin

Näistä jälkimmäinen voidaan jakaa seuraavasti:
1/2: juontaja avaa oven, jonka takana ei ole palkintoa (vaihtamalla voittaa)
1/2: juontaja avaa oven, jonka takana on palkinto (voittoa ei tule missään tapauksessa)

Tehtävän asettelussa on kuitenkin kerrottu, että näistä kahdesta tapahtuu ensimmäinen.

Todennäköisyys, että kilpailija arvasi alunperin oikein on aina 1/3. Se ei muutu mystisesti 1/2:ksi, kuten väität, tekipä juontaja myöhemmässä vaiheessa mitä hyvänsä.

M.L. kirjoitti:

Vastaamasi "50-50" olisi aivan oikea vastaus, jos edellä mainitsemani tehtävän asettelusta puuttuisi lause: "Juontajan avaaman oven takaa paljastuu vuohi." Tehtävässä on siis ihan tarkoituksella rajattu pois se vaihtoehto, että juontaja paljastaisi urheiluauton.

Aikaisemmat perustelusi eivät päde tähän, koska lasket vieteissäsi todennäköisyyksiä myös sille, että juontaja paljastaisi päävoiton. Näinhän ei _tehtävän_asettelun_ mukaan kuitenkaan käy. Siksi tätä vaihtoehtoa ei tehtävää ratkaistaessa tarvitse huomioida.

Ymmärrän kyllä sen (luultavasti ymmärrän) mitä yrität sanoa. Jos tällainen kilpailu oikeasti järjestettäisiin, niin kilpailun mielekkyyden vuoksi juontajan pitäisi tietää, minkä oven takana pääpalkinto on, jottei hän paljastaisi sitä vahingossa. Tässä tehtävässä niin ei käy. Ratkaisijan ei tarvitse miettiä sitä, miksi se "niin ei käy" tapahtuu.


Laitanpa vielä tähän samaan ketjuun hieman toisenlaisen tehtävän, jonka ratkaisussa myös mennään usein metsään:

Heität yhtä aikaa kahta lanttia. Toinen lanteista on kruuna. Millä todennäköisyydellä myös toinen on kruuna?


- Mika

Lue lisää

vastaan kahen lantin kysymykseen, että 1/4, koska

kruunan voi ottaa neljällä eri tavalla

joista vain yhden kaverina on kruuna.

joku vastannee 1/3 ja joku 1/2.

vaikoeikö kirjoitti:

vastaan kahen lantin kysymykseen, että 1/4, koska

kruunan voi ottaa neljällä eri tavalla

joista vain yhden kaverina on kruuna.

joku vastannee 1/3 ja joku 1/2.

Lue lisää

Tietty 1/2, koska tokihan neljästä mahdollisesta yhtä todennäköisestä kruunavalinnasta kahdessa on kruuna kaverina.
Eli kr-kr, kr-kl, kl-kr.
Otetaan joku noista kruunista 4kpl. kahes klaava toinen ja kahes kruuna toinen. Voe mahoton.
eli 2/4 on 1/2.