Opiskelen yliopistossa ja minua on viime aikoina alkanut kiinnostaa matematiikka sen verran, että saatan suorittaa approbaturin aiheesta.
Olen tiettyjä analyysin kursseja lueskellut netistä, mutta koska ne ovat kovin suppeasti kirjoitettuja niin muutamat asiat ovat minua jääneet vaivaamaan. Eli mikä erottaa supremumin ja infimumin jonkin joukon suurimmasta ja pienimmästä alkiosta? Luulen jotenkin asian käsittäneeni, mutta olisin kiitollinen jos joku sen vielä rautalangasta vääntäisi.
Toinen asia on se, että kuinkahan pitkälle ja mitä asioita tarvitsisi lukea ymmärtääkseen tämän Fermat'n suuren lauseen todistuksen, koska se on aika karmean näköistä hepreaa näin lukiomatikan pohjalta vilkaistuna?
Kiitoksia
fermat + muuta
Mursu_m
6
872
Vastaukset
- suppilopää
"Eli mikä erottaa supremumin ja infimumin jonkin joukon suurimmasta ja pienimmästä alkiosta?"
supremum = pienin yläraja (jollainen reaaliluku määritelmän mukaan on olemassa jokaiselle epätyhjälle ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolle)
Jos joukolla on suurin alkio, niin se (luonnollisesti) kuuluu itse joukkoon (ja on tällöin myös joukon supremum). Epätyhjän ja rajoitetun joukon supremumin ei kuitenkaan tarvitse kuulua joukkoon. Lisäksi
epätyhjässä ylhäältä rajoitetussa reaalilukujoukossa ei välttämättä ole suurinta alkiota, mutta sillä on aina pienin yläraja (eli joukon supremum) reaalilukujen joukossa.
Esim joukko
A={0,1/2,3/4,5/6,...,(n-1)/n,...}.
Tämä on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu (esim 1 on joukon yläraja, koska kaikki x \in A x - jukepuke
Jokaisella joukolla on supremum ja infimum, mutta ei välttämättä suurinta ja pienintä alkiota. Yksinkertaisesti supremum on joukon ylärajoista pienin ja vastaavasti infimum on joukon alarajoista suurin.
Simppeleitä esimerkkejä:
Välillä [0,1] on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, jotka ovat myös joukon supremum ja infimum. Taasen avoimella välillä ]0,1[ ei ole suurinta, eikä pienintä alkiota, mutta supremum ja infimum löytyy, eli samat kuin edellisellä joukolla.
Puhutaan joukon maksimista ja minimistä, jotka ovat infimumin ja supremumin erikoistapauksia, sillä ne kuuluvat itse tarkasteltavaan joukkoon, mitä infimumilta ja supremumilta ei vaadita.
Enpä ole tarkemmin Fermat'n lauseen todistukseen tutustunut, mutta jostain jäi joskus päähän, että "tohtoristason" juttuja ne on, ts. aika paljon pitää matematiikkaa osata, jos aikoo täysin todistuksen ymmärtää. En usko, että maisteristason opinnoilla vielä kovin pitkälle pääsee... - xyz
Fermat'n suuren lauseen todistamisen ymmärtämiseen tarvitsee hyvin paljon matemaattista osaamista. Olen kuullut huhun, että Wilesin todistuksen pystyi varmistamaan oikeaksi vain muutama matemaatikko maailmassa. Todistuksen ymmärtämiseen sinun täytyy hallita lähes kaikki vuoteen 1997 tehty matematiikka algebrallisen geometrian osalta, erityisesti elliptisiä käyriä ja moduulimuotoja. Lisäksi todistus pitää sisällään ilmeisesti monia viittauksia 1990-luvulla kirjoitettuihin julkaisuihin, ja ainakin minulla modernin matematiikan omaksuminen vaatii paljon kärsivällisyyttä ja aikaa.
Veikkaisin, että tuhlaat vain aikaasi jos yrität omaksua kunnolla Wilesin todistuksen. Tietysti jos olet sitkeä ja pystyt omaksumaan modernia matematiikkaa nopeassa tahdissa, voit saada todistuksesta selkoa äärellisessä ajassa. Melko varmasti pystyisit kuitenkin samassa ajassa lukemaan paljon muuta matematiikkaa ja oppimaan asiat kunnolla.
Joka tapauksessa voit lukea todistuksen osoitteesta http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf- mursu_m
Aluksi kiitoksia kaikille vastanneille. Asia ymmärretty supremumin ja infimumin osalta.
Toisekseen en minä ole yrittämässä "omaksua" tätä herra Wilesin todistusta vaan lähinnä olen mielenkiinnolla lueskellut, että mitä mies on siinä puuhannut. Eli olen siis silmäillyt läpitse sen todistuksen. Lukemisesta ei varmaan silloin voi puhua, jos ei ymmärrä yhtikäs mitään lukemastaan :)
Tiedän sen mitä Wikipediasta ja muualta olen asiasta lukenut, että kaveri oli ilmeisesti todistanut tämän Taniyaman-Shimuran otaksuman puolivakaille elliptisille käyrille tai jotain sinne päin ja siinä samalla tämän Fermat'n suuren lauseen.
Sen olen myös ymmärtänyt, että juuri nämä moduulimuodot ja elliptiset käyrät ovat oleellinen osa tätä todistusta, mutta vaikka olen yrittänyt asiasta näin netin kautta lukea, niin törmään näissä aina sellaisiin asioihin, jotka pitäisi ymmärtää ennen kuin voisi ymmärtää jotain toista asiaa, joten nämä lopulliset mielenkiinnon kohteet jäävät vähän vielä pimentoon. Pitäisi varmaan istua vaan kiltisti sinne koulun penkille, ja katsoa miten pitkään pinna riittää. Tuolla meidän pakollisella matikan peruskurssilla ei vielä pitkälle pötkitä, vaikkakin asiasisällöltään onkin muille paitsi kansantaloustieteilijöille aivan liian laaja.
Enkä jaksa ymmärtää mitä tekemistä näillä elliptisillä käppyröillä on sen Fermat'n lauseen todistuksen kanssa :) - xyz
mursu_m kirjoitti:
Aluksi kiitoksia kaikille vastanneille. Asia ymmärretty supremumin ja infimumin osalta.
Toisekseen en minä ole yrittämässä "omaksua" tätä herra Wilesin todistusta vaan lähinnä olen mielenkiinnolla lueskellut, että mitä mies on siinä puuhannut. Eli olen siis silmäillyt läpitse sen todistuksen. Lukemisesta ei varmaan silloin voi puhua, jos ei ymmärrä yhtikäs mitään lukemastaan :)
Tiedän sen mitä Wikipediasta ja muualta olen asiasta lukenut, että kaveri oli ilmeisesti todistanut tämän Taniyaman-Shimuran otaksuman puolivakaille elliptisille käyrille tai jotain sinne päin ja siinä samalla tämän Fermat'n suuren lauseen.
Sen olen myös ymmärtänyt, että juuri nämä moduulimuodot ja elliptiset käyrät ovat oleellinen osa tätä todistusta, mutta vaikka olen yrittänyt asiasta näin netin kautta lukea, niin törmään näissä aina sellaisiin asioihin, jotka pitäisi ymmärtää ennen kuin voisi ymmärtää jotain toista asiaa, joten nämä lopulliset mielenkiinnon kohteet jäävät vähän vielä pimentoon. Pitäisi varmaan istua vaan kiltisti sinne koulun penkille, ja katsoa miten pitkään pinna riittää. Tuolla meidän pakollisella matikan peruskurssilla ei vielä pitkälle pötkitä, vaikkakin asiasisällöltään onkin muille paitsi kansantaloustieteilijöille aivan liian laaja.
Enkä jaksa ymmärtää mitä tekemistä näillä elliptisillä käppyröillä on sen Fermat'n lauseen todistuksen kanssa :)"vaikka olen yrittänyt asiasta näin netin kautta lukea, niin törmään näissä aina sellaisiin asioihin, jotka pitäisi ymmärtää ennen kuin voisi ymmärtää jotain toista asiaa"
Täysin normaalia, niin käy minullekin päivittäin. Siihen ei auta kuin asioiden miettiminen ja julkaisujen/oppikirjojen lukeminen.
"Enkä jaksa ymmärtää mitä tekemistä näillä elliptisillä käppyröillä on sen Fermat'n lauseen todistuksen kanssa :) "
Elliptiset käyrät ovat käteviä Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemisessa. Monia Diofantoksen yhtälöitä voidaan muuttaa elliptisiksi käyriksi, joiden rationaalipisteitä on helpompi tarkastella kuin alkuperäistä yhtälöä.
Tämä oli myös Gerfard Freyn lähtökohta. Hän osoitti, että jos Fermat'n suuri lause x^n y^n=z^n on tosi, on elliptisellä käyrällä t^2=w^3 (x^n-y^n)w^2-x^n y^n kummallisi ominaisuuksia. Jopa niin kummallisia, että sitä ei kenties ole olemassa.
Nyt Ken Ribet tutki yhteyttä Taniyaman-Shimuran otaksuman ja Fermat'n suuren lauseen välillä. Hänellä oli ratkaisu lähes tehtynä, mutta jotain puuttui. Hän kertoi asiasta Barry Mazurille, joka kuitenkin keksi tuon puuttuvan palan ns. gamma-nolla rakenteen avulla.
OK. Nyt siis tiedettiin, että jos Taniyaman-Shimuran lause ei päde elliptisille elliptisille käyrille, se ei päde Freyn käyrälle. Toisaalta jos Freyn käyrä ei ole modulaarinen, ei sitä vastaavalla Diofantoksen yhtälöllä ole kokonaislukuratkaisuja. Mutta tämä on juuri Fermat'n suuri lause.
Nyt Andrew Wilesin hoksasi, että hän voisi todistaa Fermat'n lauseen Taniyaman-Shimuran otaksuman avulla. Hänen piti todistaa siis jokainen elliptinen käyrä modulaariseksi. Hän pohti sitä seitsemän vuotta kunnes löysi todistuksen. Hän osoitti muun muassa, että hänen riittä todistaa Taniyaman-Shimuran otaksuma puolivakaille elliptisille käyrille. Mutta näitähän on äärettömän monta erilaista. Mikä avuksi?
Hän alkoi tutkimaan otaksumaa ns. Iwasawan teorian avulla. En tunne teoriaa vielä kovinkaan hyvin, joten en osaa kertoa siitä. Kuitenkaan tämä lähestymistapa ei tuottanut toivottua tulosta. Niinpä hän alkoi luokitella elliptisiä käyriä erilausin tavoin. Näitä tietyn tyyppisiä käyriä hän onnistuikin osoittamaan modulaarisiksi. Kuitenkin eräitä käyriä hän ei saanut ratkaistuksi. Niinpä hän kertoikin edistyksestään Ribetille ja Nick Katzille. He koittivat net kolmistaan ratkoa ongelmaa.
Lopulta, kuin kohtalon ivaa, Wiles keksi, että käyttämällä Iwasawan teoriaa hän pystyi muuntamaan jäljellä olevat hankalat käyrät toisiksi elliptisiksi käyriksi. Nämä hän oli jo todistanut modulaarisiksi, joten Fermat'n lause oli todistettu!
Harmi, että en osaa kertoa yksityiskohtaisemmin todistuksen hienoja oivalluksia. En osaa nimittäin paljoakaan algebrallista geometriaa. Täytyypä alkaa tutustumaan paremmin Iwasawan teoriaan ja muuhun asiaan liittyvään matematiikkaan, jotta voisin kertoa tarkemmin.
Mutta jos todistuksen ymmärtäminen kiinnostaa, lue ihmeessä algebrallista geometriaa koskevia julkaisuja. Tai voit vaikka lähettää Ribetille tai Wilesille sähköpostia (ainakin Ribetin sähköpostiosoite löytyy netistä) jos jokin kohta todistuksessa tuntuu hankalalta. Itse olen saanut joskus apua omiin ongelmiin lähettämällä ihan tuntemattomille sähköpostia, jos tiedän hänen tutkivan ongelmaa sivuavaa matematiikkaa.
- Anonyymi
Nyt on alettu tutkimaan, voisiko tietokoneella teoreemantodistajilla kehittää ymmärrettävämpi todistus.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 263208
- 721570
Piilorikollisuutta Puolangan päätöksentekoelimissä? Kyllä! Julkisesti todistettu!
Kyösti (kesk) rehenteli julkisissa tiedotusvälineissä tehneen jo ennen vaaleja sopimuksen kokoomuksen ehdokkaiden kanssa791115Miten suomalaiset miehet
On usein niin aikaansaamattomia? Odottavat prinsessapalvelua. Odottavat, että nainen tekee aloitteen, että nainen pyytää1451042- 45941
- 61882
Eräs läheinen sanoi
Että mies kyllä ottaa aina itse yhteyttä, jos on kiinnostunut. Oli tilanne mikä hyvänsä. Kuulemma kuvittelin koko jutun.45878Eduskunnassa valmistaudutaan jo persujen täydelliseen romahdukseen - Koko paska kaatuu hetkessä
– On mahdollista, että käy kuin Assadin Syyrialle tai Ceaușescun Romanialle: koko paska kaatuu aivan hetkessä, kun tarpe171862- 42836
Iloista ja aurinkoista pääsiäistä kaikki palstan kivat sinkut :)
Täällä on näköjään vähän huono meininki tarttunut kuin tuolta muualta mutta pidetään edelleen tämä puoli suht positiivis139775