Pii on irrationaaliluku, joka näin matalamatematiikalla tarkoittaa, ettei sen numeroista säännöllistä jaksoa, vaan ne muodostavat epäsäännöllisen sarjan.
Koska numerosarja ei säännönmukaisesti ja loputtomasti toistu, mutta se on äärettömän pitkä, niin eikö se sisällä jollakin (tai itse asiassa millä tahansa "riittävällä") koodilla kaiken nykyisin kirjoitetun kirjallisuudenkin? Koodi tarkoittaa tässä muunnosta numerosarjasta aakkosnumeeriseksi sarjaksi.
Vai olisiko jotain numerosarjaa, joka voitaisiin todistaa, ettei sitä löydy koskaan piistä?
Koska numerosarja ei säännönmukaisesti ja loputtomasti toistu, mutta se on äärettömän pitkä, niin eikö se sisällä jollakin (tai itse asiassa millä tahansa "riittävällä") koodilla kaiken nykyisin kirjoitetun kirjallisuudenkin? Koodi tarkoittaa tässä muunnosta numerosarjasta aakkosnumeeriseksi sarjaksi.
Vai olisiko jotain numerosarjaa, joka voitaisiin todistaa, ettei sitä löydy koskaan piistä?
Vastaukset 27
Vanhimmat
...kysymys. En usko, että tuohon on olemassa vastausta. Vai olisiko täällä joku valistuneempi tämän kysymyksen suhteen?
laske montako desimaalia on otettava ennenkuin esiintyy ENSIMMÄISEN KERRAN TÄSMÄLLEEN NÄMÄ KIRJAIMET TÄSMÄLLEEN TÄSSÄ JÄRJÄSTYKSESÄ
"YES"
Sitten laske montako desimaalia on otettava että esiintyy
"YES SIR!"
Sitten laske montako desimaalia on otettava että esiintyy
"YES SIR! FUCK ME IN THE ASS"
Näinhän se on. Voit asettaa funktion f(x)="Alussa oli suo, kuokka ja Jussi blaa blaa blaa", missä blaa blaa blaa on kaikki kirjoitettu kirjallisuus, kun x, eli piin x:s desimaali on 1, ja f(x)=0 kun piin x:s desimaali poikkeaa ykkösestä. Tämän funktion avulla sinun tarvitsee laskea piistä vain yksi desimaali, ja saat kaiken nykyisin kirjoitetut kirjallisuuden.
Mutta tuolla tavallapa ei saakaan esille tulevia tekstejä, jotka myös on "koodattu" piihin. Esimerkiksi vuoden 2010 suosikkiromaania.
Eli koodin purku, mitä ajattelin olisi jotakin sellaista, että "00"..."09" = numerot, "11" ..."99" kirjaimet ja muut merkit. Esimerkiksi.
Jostakin piin desimaalista alkaa sitten tuo "Alussa oli suo, kuokka ...". Vai voitko osoittaa, ettei näin olisi?
Kyllä koodaus tarkoittaa yleisesti aivan eri asiaa kuin jonkin yksinkertaisen kuvauksen määrittäminen.
Ongelmaan onkin vaikeampi antaa vastausta. Selvästi jokainen irrationaaliluku on epäjaksollinen, mutta toisaalta tämä jaksottomuus ei ehkä välttämättä implikoi kaikkien sarjojen vastaantulemista, joka olisi edellytys koodauksen olemassaololle.
Toisaalta jos piissä tulevat kaikki äärellispituiset numerosarjat aikanaan vastaan, niin koodaukseksi voidaan valita tarpeellisille merkeille vaikka ASCII-koodi ja muille nolla. Tällöin desimaalit muodostaisivat kolmen ryhminä merkin ASCII-koodin, eli 3.141 -> 141=L jne. ja jos ryhmä ei vastaa mitään tulostettavaa ASCII-koodia, niin asetetaan se NULL:ksi.
Sinänsä itse koodaus näyttäisi olevan vapaavalintainen kuten ehkä koodattava lukukin kunhan se on irrationaalinen.
Netistä varmaan löytyisi asiantuntevampaa näkemystä asiaan.
Siinähän kysymys onkin äärellisestä määrästä merkkejä. Kysymys kuuluukin, että löytyykö piistä kaikki mahdolliset merkkiyhdistelmät, joita on äärettömän monta.
Käsittääkseni tuo ongelma on vielä avoin. En ole ainakaan kuullut kenenkään ratkaisseen ongelmaa. Näin sanoo myös Wikipedia, mutta Wikipediaanhan ei aina kannata luottaa.
Muistelen joskus tutkineeni tätä ja silloin se taisi olla avoin ongelma. Luulisi tulleen vastaan jos se olisi jo ratkaistu.
Alkuperäiselle kysyjälle voisi kuitenkin sanoa, että ei ole vaikeaa luoda sellaista funktiota, joka varmasti tulostaa kaikki kirjat sopivasti koodattuna. Sopinee pikku tehtäväksi illaksi :)
Onko piin desimaalit satunnaislukuja? Eli kun lähtee sijoittamaan piin desimaaleja järjestyksessä jollekin välille onko jakauma sama kuin täysin randomina arvotut kokonaisluvut väliltä [0,9]?
Eli onko otos 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7 jne. täysin satunnainen, vai onko todennäköisempää, että piin desimaali on esim. ennemmin 3 kuin 9?
(kaikuuko täällä?)
Antamallasi määritelmällä piin desimaalit lienevät satunnaisia. Ks. http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp
Ja jo ennakolta: tämähän ei sitten tietenkään tarkoita, että niitä ei voisi pakata.
Jos piin arvosta 3.14159265... vähennetään esim. 3,1 saadaan numerosarja 0,04159265...
Määritelmän mukaisesti irrationaaliluku ei ole jaksollinen, joten piissä ei voi tulla lukusarjaa 04159265... Jos lukusarja tulisi eteen uudelleen, niin eikö piin voisi siinä tapauksessa muuttaa murtoluvuksi?
Vai teinkö tässä sittenkin jonkin ajatteluvirheen...
Sarjaa 0,04159265... ei voi pitää jaksona, sillä sen pituus olisi ääretön. Rationaaliluvun jakson pituus on aina äärellinen.
Kyse on ollut äärellisen pituisista numerosarjoista. Eli esiintyvätkö kaikki numerosarjat, joiden pituus on jokin luonnollinen luku piin desimaaleissa.
Siis jos sarja 04159265... tulisi piin desimaaleissa uudelleen, niin se muodostaisi jakson. Tämä taas tarkottaisi sitä että pii olisikin rationaalinen luku.
Koska pii on kuitenkin irrationaaliluku, niin sarjaa ei enää tule uudelleen. Näinollen sarja 04159265... on äärettömän pitkä eikä sitä tule ikinä piin desimaaleissa.
Eikö tämä nyt sitten osoita, että olen esittänyt (äärettömän pitkän) sarjan, jota ei löydetä ikinä piin desimaaleista?
"Siis jos sarja 04159265... tulisi piin desimaaleissa uudelleen, niin se muodostaisi jakson. Tämä taas tarkottaisi sitä että pii olisikin rationaalinen luku."
Ei muodostaisi eikä tarkoittaisi. Jakso on aina äärellisen pituinen ja jakso on toistuva. Jos jakso on x, niin jostain pisteestä luku jatkuisi xxxx... Muutenhan voisit sanoa, että 1 on jakso ja todeta sen tulevan vastaan toisenkin kerran (äärettömän monesti).
"Eikö tämä nyt sitten osoita, että olen esittänyt (äärettömän pitkän) sarjan, jota ei löydetä ikinä piin desimaaleista?"
Ei ole oikein mielekästä puhua äärettömän pitkästä sarjasta, "jota ei löydetä ikinä piin desimaaleista". Minä en ainakaan ymmärrä mitä tarkoitat sille. Voinhan esittää sarjan 111.... ja sanoa ettei se tule vastaan ikinä, mutta koko keskustelu koski äärellisen pituisia sarjoja.
Vihdoinkin ymmärsin mitä tarkoitit: pii ei voi sisältää päättymättömiä sarjoja! Siis sen yhden lisäksi, joka alkaa 3,14159265...
Pii, 3,14159265... sisältää päättymättöminä sarjoinaan sarjat
3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5,...; 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5,..., 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5,... Toisaalta nämä ovat kaikki mahdolliset äärettömät sarjat, jotka sisältyvät piihin. Sarjat eivät ole samat, jos niiden alku on erilainen, vaikka loppu olisikin sama.
Voimme koodata Piin ascii-merkistöön muodostamalla luvun 256-kantaisen luvun. Esiintyykö tässä luvussa kaikki mahdolliset äärelliset kombinaatiot, eli esim. esiintyykö kaikki mahdolliset 10000-merkkiä pitkät merkkijonot. Asiaa ei tunneta, mutta jotain tiedetään yleisemmällä tasolla.
Reaalilukua sanotaan b-normaaliksi, jos b-kantaisessa esityksessä jokainen k-mittainen merkkijono esiintyy ja esiintymiskertojen lukumäärä suhteessa tarkasteltuihin n ensimmäiseen merkkiin lähestyy lukua 1/b^k, kun n->ääretöntä.
Nyt lähes kaikki reaaliluvut ovat b-normaaleja (olipa b mikä tahansa kanta), toisin sanoen lähes 100% varmuudella (ei kuitenkaan täysin varmasti) myös Pii lienee 256-normaali ja vastaus kysymykseen on se, että kyllä Pii luultavasti sisältää kaiken kirjoitetun ja kirjoitettavissa olevan ja vieläpä moneen kertaan ja jokainen samanmittainen kirja esiintyy yhtä monta kertaa. Toistaiseksi tämä väite on kuitenkin todistamatta. Myöskin heikompi väite, jokainen kirja esiintyy ainakin kerran, on todistamatta.
Tämä menee vähän Tuttumiehen aiheen sivuun, mutta lienee hyvä mainita, että kaikissa irrationaaliluvuissa ei asusta kaikkia mahdollisia lukusarjoja.
Voihan irrationaaliluvun muodostaa esim. toistumattomasta sarjasta ykkösiä ja nollia. Piin binaariesityksessä on tällainen ja jos se tulkitaankin 10-kantaiseksi luvuksi, on se silti irrationaalinen - mutta siinä ei esiinny numeroita 2-9 ollenkaan.
Onkohan päätelmäni muuten ihan tarkasti oikein? Nyt rupesi epäilyttämään. Postaanpa silti, kun nimettomänä voi :-)
Irrationaalilukuja löytyy paljonkin jotka eivät sisällä "kaikkia kirjoituksia". Mutta tällaisista reaaliluvuista muodostettu joukko on nollan mittainen.
Esim. tällaisista luvuista
Summa i=1..ääretön 1/10^(i^2)
Luku jonka desimaaliesityksessä on 1 aina kun desimaalin järjestysluku on jonkin luvun neliö ja 0 muutoin. Siis 1 löytyy mm. 1,4,9,16,25,36,49.. desimaalien kohdalta. Eli luku on 0.100100001000000100000000100000000001...
Valitulla lukujärjestelmällä ei ole merkitystä, joss valittu järjestelmä ei pohjaudu piihin. Pii-kantaisessa lukujärjestelmässä ympyröitä ja palloja olisi varmaankin helppo laskea, neliöitä ja kuutioita ei ehkä niinkään :-D
"Voihan irrationaaliluvun muodostaa esim. toistumattomasta sarjasta ykkösiä ja nollia. Piin binaariesityksessä on tällainen ja jos se tulkitaankin 10-kantaiseksi luvuksi, on se silti irrationaalinen - mutta siinä ei esiinny numeroita 2-9 ollenkaan."
Eikös piin 10-kantaisella esityksellä ole vaan yksi ainoa muoto, 3.141... Binaariesityksessä 11.0010010000111111... ei ole tietenkään numeroita 2...9, sillä nämä numerot eivät kuulu binaarijärjestelmään. Tätä ei tule kuitenkaan tulkita 10-järjestelmän luvuksi.
"Tätä ei tule kuitenkaan tulkita 10-järjestelmän luvuksi."
No miksi ei? Tarkoitushan oli luoda irrationaalinen luku ja jos pii on jaksoton 10-järjestelmässä, niin on se sitä varmasti 2-esityksessäkin joten saatu luku on irrationaalinen. Siitähän tässä oli kyse.
"Siinä ei esiinny numeroita 2-9 ollenkaan. "
En ymmärrä tätä kohtaa. Jos minä tulkitsen binaariesityksen pii 11.0010010000111111... kymmenjärjestelmän luvuksi, saan tulokseksi 3.1415... Siinähän esiintyy selvästi numero 4.
Ehkä termi "tulkita" ei oikein passaa tähän. Ideana oli (ymmärtääkseni), että otetaan pii 2-kantaisena, eli 11.0010010000111111.., ja luettaisiin suoraan kymmenkantaisena lukuna, eli yksitoista piste ...
pi:hin ja kun se löydetään maailmankaikkeus lakkaa olemasta.
Jumalan nimi, joka voidaan koodata, ei ole oikea jumalan nimi.