Mikä on matriisi

että asia selviää sitten. Mää olen jo kauhean huelestunut asiasta.

eihän kaikki voi olla kopiota. Jonkun on pakko olla originaali.

Anderson . kirjoitti:

eihän kaikki voi olla kopiota. Jonkun on pakko olla originaali.

Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisi, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita on matriisi, jonka koko on m×n, ja se merkitään:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

Alkiota, joka on rivillä i ja sarakkeessa j merkitään siten aij tai Aij. Alkiota Aij kutsutaan lävistäjäalkioksi, jos i = j.

Matriisia sanotaan neliömatriisiksi mikäli sillä on yhtä monta riviä kuin saraketta.

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

[muokkaa] Tavallisia matriiseja

Yksikkömatriisi \mathbf{I} on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \mathbf{I}_{n \times n}. Tällöin pätee \mathbf{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \mathbf{I}_{ij} = 0.

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}

Nollamatriisi \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille A_{n \times n} pätee että Aij = 0 kun i \ne j:

A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \, & 0 \\ \vdots & \, & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)

[muokkaa] Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään. Esimerkiksi (reaaliavaruudessa):
jos A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}, niin A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6\end{bmatrix}.

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli A^\operatorname{T}=A.

[muokkaa] Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

[muokkaa] Skalaarilla kertominen

Matriisi A = aij kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen A:n alkio kerrotaan skalaarilla c:

cA = Ac = ( ca_{ij})\,\!

[muokkaa] Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisin tulee olla samaa tyyppiä jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien A_{m \times n} ja B_{m \times n} summa on (A B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & \cdots & a_{1n} b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & \cdots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}

[muokkaa] Kertolasku

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa m \times p ja B kokoa p \times n. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa m \times n. Nyt AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \end{bmatrix}

missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin A vaakavektori, ja \mathbf{b}_j matriisin B pystyvektori. On tärkeätä huomata että matriisin A sarakkeiden määrä täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

* \mathbf {A 0 = A}
* \mathbf A 0 = 0\mathbf {A = O}, \forall [\mathbf O]_{ij} = 0
* \mathbf{A B = B A}
* (\mathbf{A B) C = A (B C)}
* c(\mathbf{A B}) = c\mathbf A c\mathbf B
* 1\mathbf{ A = A}
* \mathbf {A(BC) = (AB)C}
* c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A)B} = \mathbf A(c\mathbf B)
* \mathbf{A(B C) = AB AC}
* \mathbf{(A B)C = AC BC}
* \mathbf{IA = AI = A}
* \mathbf{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}

On huomattava, että yleisesti AB \ne BA, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

[muokkaa] Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään \det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} .

Matriisin A alimatriisi A_{ij}\,\! saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \det A_{ij}\,\! sanotaan alkion a_{ij}\,\! alideterminantiksi.

[muokkaa] Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n}

determinantti on

\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1 , j_2, j_3 ,\ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}

Jossa (j1,j2,j3,...,jn) on eräs {1,...,n}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja


\sigma\left(j_1,j_2,j_3,...,j_n\right)=\begin{cases} 1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on parillinen} \\ -1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on pariton} \end{cases}

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esim. {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esim. 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c

[muokkaa] Laskusääntöjä

* \det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right)

* \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right),

jossa A ja B ovat molemman n \times n matriiseja.

* Jos A:n joku rivi (tai sarake on nolla 1. kohdan nojalla),

\det \left( A \right) = 0

* Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia,

\det \left( A \right) = 0

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla joku rivi vakiolla c,

\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right)

* Ylä-, alakolmio, diagonaali matriisin A determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo.

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right)

[muokkaa] Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustelle matriisin laskeminen rekursiivisesti seuraavan kaavan mukaan.

A\in\mathbb{R}^{n \times n}
\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij},

jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}=

= 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 7\cdot\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}

=1\cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right)-5\cdot \left( 6\cdot0-1\cdot3 \right) 7\cdot \left( 6\cdot2-0\cdot3 \right) = 97

Nyt on kuitenkin havaittava, että determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska vaivaisen 25\times25 matriisin determinantti laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta, joka siis hieman tehokkaallakin koneella, sellaiset reilu 500 000 vuotta, mikä ilmeisestikin tekee siitä mahdottoman laskea sillä tavalla. Mutta Ottaen huomioon, että jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmioon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, niin determinantti on silloin:

\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja dii ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1.kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja c kerrotaan −1:llä

2.kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla c ei tapahdu mitään

(3.kun kerrotaan rivi vakiolla k, c kerrotaan samalla vakiolla)

Huomaa. että kohta kolme on epäolennainen, koska meidän ei tarvitse kertoa matriisien rivejä.

[muokkaa] Alkion komplementti

Määritellään alkion a_{ij} \,\! komplementti eli kofaktori

C_{ij} = (-1)^{i j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin A = (a_{ij})\,\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

[muokkaa] Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia A sanotaan singulaariseksi, jos \det A = 0 \,\!. Jos \det A \ne 0, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille A pätee

A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

[muokkaa] Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 a12x2 … a1nxn = b1
a21x1 a22x2 … a2nxn = b2
:
:
am1x1 am2x2 … amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \mathbf{x} ja \mathbf{b} lyhyesti muodossa A\mathbf{x} = \mathbf{b}:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

[muokkaa] Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi A_{n \times n} on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi B_{n \times n} siten että AB = I_{n \times n} ja BA=I_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi A on singulaarinen. Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla A − 1. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään GLn. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä A_{n \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis A on n \times n neliömatriisi. Matriisin A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \mathbf{b} mikä hyvänsä. Mikäli A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \mathbf{b} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Matriisi

Luokka: Lineaarialgebra

tietoa kirjoitti:

Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisi, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita on matriisi, jonka koko on m×n, ja se merkitään:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

Alkiota, joka on rivillä i ja sarakkeessa j merkitään siten aij tai Aij. Alkiota Aij kutsutaan lävistäjäalkioksi, jos i = j.

Matriisia sanotaan neliömatriisiksi mikäli sillä on yhtä monta riviä kuin saraketta.

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

[muokkaa] Tavallisia matriiseja

Yksikkömatriisi \mathbf{I} on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \mathbf{I}_{n \times n}. Tällöin pätee \mathbf{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \mathbf{I}_{ij} = 0.

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}

Nollamatriisi \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille A_{n \times n} pätee että Aij = 0 kun i \ne j:

A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \, & 0 \\ \vdots & \, & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)

[muokkaa] Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään. Esimerkiksi (reaaliavaruudessa):
jos A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}, niin A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6\end{bmatrix}.

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli A^\operatorname{T}=A.

[muokkaa] Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

[muokkaa] Skalaarilla kertominen

Matriisi A = aij kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen A:n alkio kerrotaan skalaarilla c:

cA = Ac = ( ca_{ij})\,\!

[muokkaa] Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisin tulee olla samaa tyyppiä jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien A_{m \times n} ja B_{m \times n} summa on (A B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & \cdots & a_{1n} b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & \cdots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}

[muokkaa] Kertolasku

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa m \times p ja B kokoa p \times n. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa m \times n. Nyt AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \end{bmatrix}

missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin A vaakavektori, ja \mathbf{b}_j matriisin B pystyvektori. On tärkeätä huomata että matriisin A sarakkeiden määrä täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

* \mathbf {A 0 = A}
* \mathbf A 0 = 0\mathbf {A = O}, \forall [\mathbf O]_{ij} = 0
* \mathbf{A B = B A}
* (\mathbf{A B) C = A (B C)}
* c(\mathbf{A B}) = c\mathbf A c\mathbf B
* 1\mathbf{ A = A}
* \mathbf {A(BC) = (AB)C}
* c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A)B} = \mathbf A(c\mathbf B)
* \mathbf{A(B C) = AB AC}
* \mathbf{(A B)C = AC BC}
* \mathbf{IA = AI = A}
* \mathbf{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}

On huomattava, että yleisesti AB \ne BA, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

[muokkaa] Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään \det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} .

Matriisin A alimatriisi A_{ij}\,\! saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \det A_{ij}\,\! sanotaan alkion a_{ij}\,\! alideterminantiksi.

[muokkaa] Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n}

determinantti on

\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1 , j_2, j_3 ,\ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}

Jossa (j1,j2,j3,...,jn) on eräs {1,...,n}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja


\sigma\left(j_1,j_2,j_3,...,j_n\right)=\begin{cases} 1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on parillinen} \\ -1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on pariton} \end{cases}

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esim. {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esim. 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c

[muokkaa] Laskusääntöjä

* \det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right)

* \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right),

jossa A ja B ovat molemman n \times n matriiseja.

* Jos A:n joku rivi (tai sarake on nolla 1. kohdan nojalla),

\det \left( A \right) = 0

* Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia,

\det \left( A \right) = 0

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla joku rivi vakiolla c,

\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right)

* Ylä-, alakolmio, diagonaali matriisin A determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo.

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right)

[muokkaa] Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustelle matriisin laskeminen rekursiivisesti seuraavan kaavan mukaan.

A\in\mathbb{R}^{n \times n}
\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij},

jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}=

= 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 7\cdot\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}

=1\cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right)-5\cdot \left( 6\cdot0-1\cdot3 \right) 7\cdot \left( 6\cdot2-0\cdot3 \right) = 97

Nyt on kuitenkin havaittava, että determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska vaivaisen 25\times25 matriisin determinantti laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta, joka siis hieman tehokkaallakin koneella, sellaiset reilu 500 000 vuotta, mikä ilmeisestikin tekee siitä mahdottoman laskea sillä tavalla. Mutta Ottaen huomioon, että jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmioon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, niin determinantti on silloin:

\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja dii ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1.kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja c kerrotaan −1:llä

2.kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla c ei tapahdu mitään

(3.kun kerrotaan rivi vakiolla k, c kerrotaan samalla vakiolla)

Huomaa. että kohta kolme on epäolennainen, koska meidän ei tarvitse kertoa matriisien rivejä.

[muokkaa] Alkion komplementti

Määritellään alkion a_{ij} \,\! komplementti eli kofaktori

C_{ij} = (-1)^{i j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin A = (a_{ij})\,\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

[muokkaa] Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia A sanotaan singulaariseksi, jos \det A = 0 \,\!. Jos \det A \ne 0, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille A pätee

A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

[muokkaa] Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 a12x2 … a1nxn = b1
a21x1 a22x2 … a2nxn = b2
:
:
am1x1 am2x2 … amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \mathbf{x} ja \mathbf{b} lyhyesti muodossa A\mathbf{x} = \mathbf{b}:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

[muokkaa] Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi A_{n \times n} on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi B_{n \times n} siten että AB = I_{n \times n} ja BA=I_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi A on singulaarinen. Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla A − 1. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään GLn. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä A_{n \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis A on n \times n neliömatriisi. Matriisin A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \mathbf{b} mikä hyvänsä. Mikäli A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \mathbf{b} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Matriisi

Luokka: Lineaarialgebra

Lue lisää

helppo ja yksinkertainen selitys;)))Tuonhan oppii jo peruskoulun ala-asteella tajuamaan:=))))

tietoa kirjoitti:

Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisi, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita on matriisi, jonka koko on m×n, ja se merkitään:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

Alkiota, joka on rivillä i ja sarakkeessa j merkitään siten aij tai Aij. Alkiota Aij kutsutaan lävistäjäalkioksi, jos i = j.

Matriisia sanotaan neliömatriisiksi mikäli sillä on yhtä monta riviä kuin saraketta.

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

[muokkaa] Tavallisia matriiseja

Yksikkömatriisi \mathbf{I} on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \mathbf{I}_{n \times n}. Tällöin pätee \mathbf{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \mathbf{I}_{ij} = 0.

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}

Nollamatriisi \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille A_{n \times n} pätee että Aij = 0 kun i \ne j:

A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \, & 0 \\ \vdots & \, & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)

[muokkaa] Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään. Esimerkiksi (reaaliavaruudessa):
jos A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}, niin A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6\end{bmatrix}.

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli A^\operatorname{T}=A.

[muokkaa] Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

[muokkaa] Skalaarilla kertominen

Matriisi A = aij kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen A:n alkio kerrotaan skalaarilla c:

cA = Ac = ( ca_{ij})\,\!

[muokkaa] Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisin tulee olla samaa tyyppiä jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien A_{m \times n} ja B_{m \times n} summa on (A B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & \cdots & a_{1n} b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & \cdots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}

[muokkaa] Kertolasku

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa m \times p ja B kokoa p \times n. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa m \times n. Nyt AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \end{bmatrix}

missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin A vaakavektori, ja \mathbf{b}_j matriisin B pystyvektori. On tärkeätä huomata että matriisin A sarakkeiden määrä täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

* \mathbf {A 0 = A}
* \mathbf A 0 = 0\mathbf {A = O}, \forall [\mathbf O]_{ij} = 0
* \mathbf{A B = B A}
* (\mathbf{A B) C = A (B C)}
* c(\mathbf{A B}) = c\mathbf A c\mathbf B
* 1\mathbf{ A = A}
* \mathbf {A(BC) = (AB)C}
* c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A)B} = \mathbf A(c\mathbf B)
* \mathbf{A(B C) = AB AC}
* \mathbf{(A B)C = AC BC}
* \mathbf{IA = AI = A}
* \mathbf{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}

On huomattava, että yleisesti AB \ne BA, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

[muokkaa] Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään \det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} .

Matriisin A alimatriisi A_{ij}\,\! saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \det A_{ij}\,\! sanotaan alkion a_{ij}\,\! alideterminantiksi.

[muokkaa] Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n}

determinantti on

\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1 , j_2, j_3 ,\ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}

Jossa (j1,j2,j3,...,jn) on eräs {1,...,n}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja


\sigma\left(j_1,j_2,j_3,...,j_n\right)=\begin{cases} 1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on parillinen} \\ -1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on pariton} \end{cases}

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esim. {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esim. 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c

[muokkaa] Laskusääntöjä

* \det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right)

* \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right),

jossa A ja B ovat molemman n \times n matriiseja.

* Jos A:n joku rivi (tai sarake on nolla 1. kohdan nojalla),

\det \left( A \right) = 0

* Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia,

\det \left( A \right) = 0

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla joku rivi vakiolla c,

\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right)

* Ylä-, alakolmio, diagonaali matriisin A determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo.

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right)

[muokkaa] Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustelle matriisin laskeminen rekursiivisesti seuraavan kaavan mukaan.

A\in\mathbb{R}^{n \times n}
\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij},

jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}=

= 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 7\cdot\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}

=1\cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right)-5\cdot \left( 6\cdot0-1\cdot3 \right) 7\cdot \left( 6\cdot2-0\cdot3 \right) = 97

Nyt on kuitenkin havaittava, että determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska vaivaisen 25\times25 matriisin determinantti laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta, joka siis hieman tehokkaallakin koneella, sellaiset reilu 500 000 vuotta, mikä ilmeisestikin tekee siitä mahdottoman laskea sillä tavalla. Mutta Ottaen huomioon, että jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmioon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, niin determinantti on silloin:

\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja dii ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1.kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja c kerrotaan −1:llä

2.kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla c ei tapahdu mitään

(3.kun kerrotaan rivi vakiolla k, c kerrotaan samalla vakiolla)

Huomaa. että kohta kolme on epäolennainen, koska meidän ei tarvitse kertoa matriisien rivejä.

[muokkaa] Alkion komplementti

Määritellään alkion a_{ij} \,\! komplementti eli kofaktori

C_{ij} = (-1)^{i j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin A = (a_{ij})\,\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

[muokkaa] Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia A sanotaan singulaariseksi, jos \det A = 0 \,\!. Jos \det A \ne 0, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille A pätee

A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

[muokkaa] Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 a12x2 … a1nxn = b1
a21x1 a22x2 … a2nxn = b2
:
:
am1x1 am2x2 … amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \mathbf{x} ja \mathbf{b} lyhyesti muodossa A\mathbf{x} = \mathbf{b}:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

[muokkaa] Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi A_{n \times n} on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi B_{n \times n} siten että AB = I_{n \times n} ja BA=I_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi A on singulaarinen. Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla A − 1. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään GLn. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä A_{n \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis A on n \times n neliömatriisi. Matriisin A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \mathbf{b} mikä hyvänsä. Mikäli A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \mathbf{b} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Matriisi

Luokka: Lineaarialgebra

Lue lisää

Nyt mua ei pelotakkaan enääniin hirveesti.

Mutta nois un matriisit oli vaan kaikki niin kun 2 ulotteisia, numerita vaaka- ja pystysuunnissa, mutta maailma on kolmiulotteinen joten miten se voi olla mahdollista? Etäs sitten jos tulee aika mukaan? Voiko olla neliulotteinen matriisi vai onko meitä taas kusetettu

tietoa kirjoitti:

Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisi, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita on matriisi, jonka koko on m×n, ja se merkitään:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

Alkiota, joka on rivillä i ja sarakkeessa j merkitään siten aij tai Aij. Alkiota Aij kutsutaan lävistäjäalkioksi, jos i = j.

Matriisia sanotaan neliömatriisiksi mikäli sillä on yhtä monta riviä kuin saraketta.

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

[muokkaa] Tavallisia matriiseja

Yksikkömatriisi \mathbf{I} on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \mathbf{I}_{n \times n}. Tällöin pätee \mathbf{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \mathbf{I}_{ij} = 0.

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}

Nollamatriisi \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille A_{n \times n} pätee että Aij = 0 kun i \ne j:

A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \, & 0 \\ \vdots & \, & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)

[muokkaa] Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään. Esimerkiksi (reaaliavaruudessa):
jos A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}, niin A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6\end{bmatrix}.

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli A^\operatorname{T}=A.

[muokkaa] Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

[muokkaa] Skalaarilla kertominen

Matriisi A = aij kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen A:n alkio kerrotaan skalaarilla c:

cA = Ac = ( ca_{ij})\,\!

[muokkaa] Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisin tulee olla samaa tyyppiä jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien A_{m \times n} ja B_{m \times n} summa on (A B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & \cdots & a_{1n} b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & \cdots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}

[muokkaa] Kertolasku

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa m \times p ja B kokoa p \times n. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa m \times n. Nyt AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \end{bmatrix}

missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin A vaakavektori, ja \mathbf{b}_j matriisin B pystyvektori. On tärkeätä huomata että matriisin A sarakkeiden määrä täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

* \mathbf {A 0 = A}
* \mathbf A 0 = 0\mathbf {A = O}, \forall [\mathbf O]_{ij} = 0
* \mathbf{A B = B A}
* (\mathbf{A B) C = A (B C)}
* c(\mathbf{A B}) = c\mathbf A c\mathbf B
* 1\mathbf{ A = A}
* \mathbf {A(BC) = (AB)C}
* c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A)B} = \mathbf A(c\mathbf B)
* \mathbf{A(B C) = AB AC}
* \mathbf{(A B)C = AC BC}
* \mathbf{IA = AI = A}
* \mathbf{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}

On huomattava, että yleisesti AB \ne BA, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

[muokkaa] Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään \det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} .

Matriisin A alimatriisi A_{ij}\,\! saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \det A_{ij}\,\! sanotaan alkion a_{ij}\,\! alideterminantiksi.

[muokkaa] Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n}

determinantti on

\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1 , j_2, j_3 ,\ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}

Jossa (j1,j2,j3,...,jn) on eräs {1,...,n}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja


\sigma\left(j_1,j_2,j_3,...,j_n\right)=\begin{cases} 1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on parillinen} \\ -1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on pariton} \end{cases}

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esim. {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esim. 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c

[muokkaa] Laskusääntöjä

* \det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right)

* \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right),

jossa A ja B ovat molemman n \times n matriiseja.

* Jos A:n joku rivi (tai sarake on nolla 1. kohdan nojalla),

\det \left( A \right) = 0

* Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvaisia,

\det \left( A \right) = 0

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla joku rivi vakiolla c,

\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right)

* Ylä-, alakolmio, diagonaali matriisin A determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo.

* Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right)

[muokkaa] Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustelle matriisin laskeminen rekursiivisesti seuraavan kaavan mukaan.

A\in\mathbb{R}^{n \times n}
\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij},

jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}=

= 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 7\cdot\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}

=1\cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right)-5\cdot \left( 6\cdot0-1\cdot3 \right) 7\cdot \left( 6\cdot2-0\cdot3 \right) = 97

Nyt on kuitenkin havaittava, että determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska vaivaisen 25\times25 matriisin determinantti laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta, joka siis hieman tehokkaallakin koneella, sellaiset reilu 500 000 vuotta, mikä ilmeisestikin tekee siitä mahdottoman laskea sillä tavalla. Mutta Ottaen huomioon, että jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmioon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, niin determinantti on silloin:

\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja dii ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1.kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja c kerrotaan −1:llä

2.kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla c ei tapahdu mitään

(3.kun kerrotaan rivi vakiolla k, c kerrotaan samalla vakiolla)

Huomaa. että kohta kolme on epäolennainen, koska meidän ei tarvitse kertoa matriisien rivejä.

[muokkaa] Alkion komplementti

Määritellään alkion a_{ij} \,\! komplementti eli kofaktori

C_{ij} = (-1)^{i j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin A = (a_{ij})\,\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

[muokkaa] Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia A sanotaan singulaariseksi, jos \det A = 0 \,\!. Jos \det A \ne 0, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille A pätee

A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

[muokkaa] Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 a12x2 … a1nxn = b1
a21x1 a22x2 … a2nxn = b2
:
:
am1x1 am2x2 … amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \mathbf{x} ja \mathbf{b} lyhyesti muodossa A\mathbf{x} = \mathbf{b}:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

[muokkaa] Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi A_{n \times n} on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi B_{n \times n} siten että AB = I_{n \times n} ja BA=I_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi A on singulaarinen. Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla A − 1. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään GLn. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä A_{n \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis A on n \times n neliömatriisi. Matriisin A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \mathbf{b} mikä hyvänsä. Mikäli A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \mathbf{b} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Matriisi

Luokka: Lineaarialgebra

Lue lisää

se on siis päänsärky..

utsjoki-kevo kirjoitti:

se on siis päänsärky..

ota muovailusavea ja tunge suuhusi ja pure siihen hampaanjälkesi. Siinäpä sinulla hampaittesi matriisi eli eräänlainen negatiivi. Sakut sanovat patruunoitten supistusholkkia millä ammuttu hylsy supistataan alkuperäisn mittoihin matriisiksi. Ennen sanomalehdet painettiin matalilevyt teloilla. Jos jätit ilmoituksen sait pahvimassa vedoksen eli matriisin. Olisihan näitä esimerkkejä kuin täitä ....tin päässä(tietysti saivareita tarkasti ottaen). Kyllä kai tämä tuli nyt selväksi ilman naurettavia snobbailuja hakuteoksilla