Tämän b kohtaa yritin onnistumatta ratkaista:
a) Turvallisuustestissä auto liukuu lukituin jarruin alas kaltevaa, liukasta tasoa, jonka pituus on 25 metriä ja korkeus 15 m. Jos auton massa on 1500 kg ja liikekitkakerroin renkaiden ja tason välillä on 0,05, mikä on auton kiihtyvyys?
b) Sama auto rullaa jarruttamatta tasoa alas siten, että sen kaikki neljä rengasta pyörivät liukumatta. Laske auton kiihtyvyys, jos auton eri osien pyörimiseen liittyvä kitka jätetään huomiotta? Oleta kunkin renkaan säteeksi 0,3 metriä ja hitausmomentiksi 2,5 kgm^2.
Eli a) kohdanhan nyt ratkaisee vaikka vammainen apina, ja siitä tulee kiihtyvyyden arvoksi 5,49 m/s^2. Lisäksi kaltevuuskulma on (36.87=)37 astetta. Mutta miten ratkaista b-kohta, sillä en ole ennen törmännyt autonrenkaiden hitausmomenttien laskuun. Oikea ratkaisu on 5,48 m/s^2. Tehtävä on vuoden -99 TKK:n sisäänpääsykokeesta.
a) Turvallisuustestissä auto liukuu lukituin jarruin alas kaltevaa, liukasta tasoa, jonka pituus on 25 metriä ja korkeus 15 m. Jos auton massa on 1500 kg ja liikekitkakerroin renkaiden ja tason välillä on 0,05, mikä on auton kiihtyvyys?
b) Sama auto rullaa jarruttamatta tasoa alas siten, että sen kaikki neljä rengasta pyörivät liukumatta. Laske auton kiihtyvyys, jos auton eri osien pyörimiseen liittyvä kitka jätetään huomiotta? Oleta kunkin renkaan säteeksi 0,3 metriä ja hitausmomentiksi 2,5 kgm^2.
Eli a) kohdanhan nyt ratkaisee vaikka vammainen apina, ja siitä tulee kiihtyvyyden arvoksi 5,49 m/s^2. Lisäksi kaltevuuskulma on (36.87=)37 astetta. Mutta miten ratkaista b-kohta, sillä en ole ennen törmännyt autonrenkaiden hitausmomenttien laskuun. Oikea ratkaisu on 5,48 m/s^2. Tehtävä on vuoden -99 TKK:n sisäänpääsykokeesta.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Kun tarkastellaan R-säteisen sylinterin vierimistä pintaa pitkin, matkan s ja kiertymäkulman φ välille saadaan yhteys s = φ*R. Tästä edelleen saadaan yhteydet nopeuden v ja kulmanopeuden ω välille, eli v = ω*R, sekä myös kiihtyvyydelle a ja kulmakiihtyvyydelle α, eli a = α*R.
Toisaalta kulmakiihtyvyys α pyörimisliikkeessä saa aikaan momentin
M = J*α,
missä J on pyörivän kappaleen hitausmomentti.
Momentilla M ja voimalla F taas on yhteys
M = F*R,
missä R on etäisyys rotaatiokeskipisteestä.
Kun nämä tulokset yhdistetään, niin saadaan yhteys
F = M/R = J*α/R = J*(a/R)/R = J*a/R^2.
Auton liikkeeseen kaltevalla tasolla pätee näin yhtälö
m*a J*a/R^2 = m*g*sin(β),
missä m on auton massa, J pyörien yhteinen hitausmomentti, g maan vetovoiman kiihtyvyys ja β tason kaltevuuskulma ja mistä kiihtyvyys a voidaan ratkaista.
Ensinnäkään, en olisi tarvinnut noin perusteellisia perusteluita, sillä kyllä minä olen ennenkin hitausmomentti ja kulmakiihtyvyys laskuja laskenut ja tiesin kyllä perjaatteessa miten F:n lausekkeen saa momentista. Suurin ongelma oli siinä miten kaikki neljä rengasta huomioidaan ja minkälainen lauseke saadaan lopulta kiihtyvyydelle. Näihin kysymyksiin on nyt osaltaan vastattu, kiitos siitä, mutta sen ongelma on vain siinä että se ei anna oikeaa vastausta. Ajattelin vian olevan siinä ettei yhtälössäsi huomiotu maan ja renkaiden välistä kitkaa (tosin en ole aivan varma tuleeko se huomioida), jolloin yhtälö olisi muotoa: G(x)-F(myy)=ma ,jossa F(myy)=pyörimisen liikevastus alustan kitkavoima. Mutta testattuani tätä teoriaa, kiihtyvyyden arvo oli nyt liian pieni, tosin ihan hiukkasen. Ja sinun yhtälölläsi sen asro on liian iso. Oikean pitäisi olla 5,48 m/s^2. Missä menenemme metsään?
Tarkistin ratkaisuni ja sain jälleen tulokseksi a = 5.480068966 m/s^2, joka minusta on varsin lähellä antamaasi.
Vihjeeksi voin kertoa, ettei kulman arvoja kannata mennä turhaan laskemaan ja pyöristelemään tasa-asteille, vaan kulman β sinille on viisainta käyttää sen tarkkaa arvoa 15/25.
Saan siitä ratkaisuksi 5,77898 m/s^2! Missä se vika oikein on? Ei se siinä kulman pyöristyksessäkään ole, sillä olen koko ajan laskenut täsmällisellä arvolla. Onko kiihtyvyyden yhtälösi siis tällainen:
a=(mg sin (beeta))/(m J/r^2)
tästä yhtälöstä ainakin minä saan väärän ratkaisun. Millä konstilla sinä sen lasket?
Olet näköjään unohtanut, että autossa on neljä pyörää, jolloin pyörien kokonaisinertia on niiden kaikkien inertioiden summa. Täten J = 4*2,5 kg m^2 = 10 kg m^2.
Kerroin kyllä tuolla ratkaisun yhteydessä, että "J pyörien yhteinen hitausmomentti", minkä olisi pitänyt kiinnittää asiaan huomio.
Hakkeritko iskeneet koneellesi, kun ilmoittamasi tulos poikkeaa siitä minkä minä saan kaavastasi. ;-) Eli, saan siitä saman tuloksen kuin minkä tuolla aiemmin kerroin - a = 5,478 m/s^2.
Kalteva taso aikaansaa ajoneuvon pyöriin vakiomomentin, joka kiihdyttää systeemiä tasaisesti. ”Hämäävää” on se, että systeemissä vaikuttaa samanaikaisesti suoraviivaisen liikkeen hitaus että pyörimisliikkeen hitaus. Tehtävän ratkaisuksi pitää redusoida joko suoraviivaisen liikkeen massa pyörivien renkaiden hitausmomentiksi tai kaikkien renkaiden (4 kpl?) hitausmomentti suoraviivaisen liikkeen massaksi.
Laskin redusoimalla ajoneuvon massan hitausmomentiksi pyörille. Kaltevan tason aiheuttaman momentin avulla laskin renkaiden kulmakiihtyvyyden ja sen säteen arvolla kertomalla sain ajoneuvoarvon.
Tuo massojen redusointi on yksinkertainen tapa ratkaista laitekiihtyvyys.
Näin laskien sain tässä esimerkissä tulokseksi – ilman takuuta – 5,478 m/s^2.
uuh aah löytyihän tämäkin lasku netistä, kamppailin itse myös b-osan kanssa.
lisähuomautuksena täytyy mainita, että fotoni-kirjasarjassa (ainakin vuosimallia x) tuo a-laskun vastaus on kirjassa väärin.