Tehtävä: Millä vakion a arvoilla funktion f(x)=-ax^2 -ax 2 arvot ovat positiivisia?
Lähdin ratkaisemaan 2.asteen ratkaisukaavalla, mutta en osaa ratkaista tuntematonta a - (a^2 8a)^1/2 / -2a , eli luultavasti olen liikkellä väärällä tavalla?
---
Saatoinkin tässä samalla kirjoittaessani keksiä? :
eli jotta olisi f(x)>0 niin (a^2 8a)^1/2 = 0
eli a=0 tai a= -8
--> -8 < 0 < 0 ?
Lähdin ratkaisemaan 2.asteen ratkaisukaavalla, mutta en osaa ratkaista tuntematonta a - (a^2 8a)^1/2 / -2a , eli luultavasti olen liikkellä väärällä tavalla?
---
Saatoinkin tässä samalla kirjoittaessani keksiä? :
eli jotta olisi f(x)>0 niin (a^2 8a)^1/2 = 0
eli a=0 tai a= -8
--> -8 < 0 < 0 ?
Vastaukset 16
Vanhimmat
tuollaisesta käyrästä kuvan vaikka jollain positiivisella ja myös jollain negatiivisella a:n arvolla ja kun a=0. Miltä käyrät näyttävät ?
Tuo on paraabeli, ja jotta funktio saisi vain positiivisia arvoja on paraabelin huipun oltava y-akselin positiivisella puolella, ja paraabelin auettava ylöspäin.
Tästä saadaan kaksi uutta epäyhtälöä joiden on oltava yhtäaikaa voimassa.
Wikipediasta paraabelin kohdalta löytyvät nuo aukeamissuunta ja huipun koordinaatit.
Paraabeli aukeaa ylöspäin kun toisen asteen termin kerroin on positiivinen, eli -a>0=>a0=>a>-8.
Nämä kun yhdistetään saadaan -8
Huomaa, että polynomifunktiot ovat jatkuvia funktioita. Jotta se saisi vain positiivisia arvoja reaaliluvuilla, riittää tietysti että
a) Se saa ainakin yhden positiivisen arvon, esim. f(0)>0.
b) Sillä ei ole nollakohtia reaaliluvuilla. Toisin sanoen diskriminantti b^2-4ac < 0.
***
Sinun tehtävässäsi diskriminantti on a^2 8a.
Tarvitsemme g(a)= a^2 8a = a(a 8)
Painovirhe: Tarkoitin 'testaa millä tahansa a
a=0 ?
Niin, tuo 2.asteenyhtälön ratkaisukaava ei ole määritelty, kun toisenasteen termin kerroin on 0.
Testattakoon se siis erikseen. Ja se käy, koska -0x^2-0^x 2 on aina 2 (positiivinen arvo).
Eli lopullinen vastaus on sitten alue -8=0.
Jos a=0, kyseessä ei ole toisen asteen polynomifunktio, vaan vakiofunktio f(x)=2. Eli a=0 käy myös, triviaalisti.
Muita ratkaisuja ei kuitenkaan ole, sillä olemme jo käsitelleet kaikki arvot a!=0.
Pari pointsia pois, ehdot sait. Menes kertaamaan yläasteen matikkaprujut ja palataan sitten asiaan.
:D
Patologisen erikoistapauksen unohtaminen ei ole niin dramaattista. :D
mutta väärässä paikassa avaruusluotaimetkin päätyvät ihan kummille radoille. :)
Olikos se niin, että jonkun luotaimen reitti laskettiin väärin, kun meni tuumat ja sentit sekaisin?
Olkoon f(x)=-ax^2-ax 2, jolloin derivaatta
f'(x)=-2ax-a. Selvästi alaspäin aukeava paraabeli (ts. kun a>0) saa aina negatiivisia arvoja riittävän suurilla x:n arvoilla (tarkista!), joten välttämättä a0.
Tutkitaan tapaukset a=0? Selvästi a>=-8. Vastaus on siis -8
... tehtävään on vähän overkill-metodi -- kuin käyttäisi katujyrää leipomiseen kaulimen sijasta. ;)
Ei vaikeampi metodi, mutta joudumme hyväksymään paljon enemmän teoriaa eli ns. 'koneistoa' lähtöoletuksena. Toki voi olla paikallaan korkeamman asteen polynomeihin, eli hyödyllistä käydä läpi...
Muuten, emme hyväksyneet a = -8, sillä kysyttiin positiivisia arvoja saavaa funktiota, ei-negatiivisen sijaan.
Onkos luku positiivinen, jos se on >0? Vai >= 0?
>... tehtävään on vähän overkill-metodi -- kuin >käyttäisi katujyrää leipomiseen kaulimen >sijasta. ;)
Kirjoittamani tapa on mielestäni selkeämpi ja opettavaisempi yleiseltä kannalta. Voipi olla, että tarkoitus oli treenata diskriminantin käyttöä; vaikea sanoa. Teoreettisesti antamani tapa ei ole juurikaan vaikeampi kuin nollakohtiin perustuva analysointi.
http://planetmath.org/encyclopedia/Positive.html