Konkaavi? Mitä tarkoittaa?

... kovera, vastakohtana kupera.

Konveksi joukko on joukko, joka sisältää pisteidensä yhdistysjanan. Jos x,y sisältyvät K:hon, niin tx (1-t)y sisältyy K:hon, kun t kuuluu[0,1]. Jos tuosta poistaa pisteen 0.5x .5y, niin joukko kuuluu tyyppiin ei konveksi, mutta ei kai silti välttämättä kannata puhua konkaavista joukosta.

Suomeksi konveksi kai on suunnilleen kupera.

Konkaavi on sitten kutakuinkin kovera.

Esimerkiksi pallopinta on ulospäin kupera, mutta sisäänpäin kovera.
Pallo sisuksineen on konveksi joukko.
Tasokäyrä voi olla esimerkiksi "ylöspäin kupera" tai "ylöspäin kovera" tms.

Konkaavi on kuitenkin hankalampi määritellä.
Ei kai esimerkiksi pallon komplementtia voi suoranaisesti sanoa konkaaviksi.
vertaa cavity cave luola, onkalo.

... kirjoitti:

Konveksi joukko on joukko, joka sisältää pisteidensä yhdistysjanan. Jos x,y sisältyvät K:hon, niin tx (1-t)y sisältyy K:hon, kun t kuuluu[0,1]. Jos tuosta poistaa pisteen 0.5x .5y, niin joukko kuuluu tyyppiin ei konveksi, mutta ei kai silti välttämättä kannata puhua konkaavista joukosta.

Suomeksi konveksi kai on suunnilleen kupera.

Konkaavi on sitten kutakuinkin kovera.

Esimerkiksi pallopinta on ulospäin kupera, mutta sisäänpäin kovera.
Pallo sisuksineen on konveksi joukko.
Tasokäyrä voi olla esimerkiksi "ylöspäin kupera" tai "ylöspäin kovera" tms.

Konkaavi on kuitenkin hankalampi määritellä.
Ei kai esimerkiksi pallon komplementtia voi suoranaisesti sanoa konkaaviksi.
vertaa cavity cave luola, onkalo.

Lue lisää

... nimittämistä koveraksi on tuolta pohjalta kyllä vahän ongelmallista.
Kysyjä oli kuitenkin "Piintynyt humanisti", joten käännökseni lienee riittävä hänen tarkoituksiinsa. Englannin arkikielestä suomen arkikieleen käännös on pätevä.
Ehkä ei kannata tässä yhteydessä alkaa selittää Riemannin pintoja tms.

... kirjoitti:

Konveksi joukko on joukko, joka sisältää pisteidensä yhdistysjanan. Jos x,y sisältyvät K:hon, niin tx (1-t)y sisältyy K:hon, kun t kuuluu[0,1]. Jos tuosta poistaa pisteen 0.5x .5y, niin joukko kuuluu tyyppiin ei konveksi, mutta ei kai silti välttämättä kannata puhua konkaavista joukosta.

Suomeksi konveksi kai on suunnilleen kupera.

Konkaavi on sitten kutakuinkin kovera.

Esimerkiksi pallopinta on ulospäin kupera, mutta sisäänpäin kovera.
Pallo sisuksineen on konveksi joukko.
Tasokäyrä voi olla esimerkiksi "ylöspäin kupera" tai "ylöspäin kovera" tms.

Konkaavi on kuitenkin hankalampi määritellä.
Ei kai esimerkiksi pallon komplementtia voi suoranaisesti sanoa konkaaviksi.
vertaa cavity cave luola, onkalo.

Lue lisää

...konveksin joukon määritelmästä, vaan konveksin funktion.

Joukoilla konkaavi ei ole hankala määritellä, sillä käytäntö on että se tarkoittaa ei-konveksia. Huomaa, että konkaavin funktion määritelmä ei ole samanlainen.

nkorppi kirjoitti:

...konveksin joukon määritelmästä, vaan konveksin funktion.

Joukoilla konkaavi ei ole hankala määritellä, sillä käytäntö on että se tarkoittaa ei-konveksia. Huomaa, että konkaavin funktion määritelmä ei ole samanlainen.

Lue lisää

"Käyrä on konkaavi, jos seuraava pitää paikkaansa:

Jos yhdistät mitkä tahansa kaksi eri pistettä käyrällä suoralla viivasegmentillä, silloin käyrä ei koskaan ole segmentin alapuolella."

ei oiken natsaa...

tuossa kirjoitti:

"Käyrä on konkaavi, jos seuraava pitää paikkaansa:

Jos yhdistät mitkä tahansa kaksi eri pistettä käyrällä suoralla viivasegmentillä, silloin käyrä ei koskaan ole segmentin alapuolella."

ei oiken natsaa...

Lue lisää

Sinulla on käyrä. Ota mitkä tahansa kaksi eri pistettä käyrällä. Piirrä niiden välillä suora jana.

Jos mikään näin muodostetuista janoista ei ylitä käyrää, silloin käyrä on konkaavi.

Jos mikään jana ei alita käyrää, silloin se on konveksi.

(Pisteiden x ja y välisen janan kaava on
ty (1-t)x, missä t on välillä [0,1]. Siksi tuo kaava usein esiintyy määritelmissä.)

tuossa kirjoitti:

"Käyrä on konkaavi, jos seuraava pitää paikkaansa:

Jos yhdistät mitkä tahansa kaksi eri pistettä käyrällä suoralla viivasegmentillä, silloin käyrä ei koskaan ole segmentin alapuolella."

ei oiken natsaa...

Lue lisää

Se on juuri konkaavin funktion määritelmä. Katso vaikka Wikipediasta.

tuossa kirjoitti:

"Käyrä on konkaavi, jos seuraava pitää paikkaansa:

Jos yhdistät mitkä tahansa kaksi eri pistettä käyrällä suoralla viivasegmentillä, silloin käyrä ei koskaan ole segmentin alapuolella."

ei oiken natsaa...

Lue lisää

convex=alaspäin kupera , esim kirjain U

concave=ylöspäin kupera, esim Kekkosen pää

nkorppi kirjoitti:

...konveksin joukon määritelmästä, vaan konveksin funktion.

Joukoilla konkaavi ei ole hankala määritellä, sillä käytäntö on että se tarkoittaa ei-konveksia. Huomaa, että konkaavin funktion määritelmä ei ole samanlainen.

Lue lisää

Pistin tuon vaan selvennykseksi. Konveksi tarkoittaa tuommoista alati ulospäin pullistuvaa, kun taas konveksi sisäänpäin lommoutuvaa (kunhan käsitteet sisään ja ulos on hallussa). Samalla halusin näyttää, että käsite on näkökulmariippuva. Eli tuon käyrän kohdalla ongelmana on juuri tuo näkökulma: mistä katsotaan ja mihin.Käyrän kohdalla on kai selkeämpi sanoa ylös- tai alaspäin kupera (vastaavasti alas- tai ylöspäin kovera, silloin ei suomenkieliselle ehkä tule niin helposti ongelmia. Englanninkielinen ensisijaisesti kai ymmärtää konkaavin "ontelo" merkityksen, jolloin näkökulmakin paljastuu implisiittisesti, suomenkieliselle taas tuosta "määritelmästä" tulee sanan sisältö ja sitäkautta tuo "luola-kuhmu" sisältö jää vajavaiseksi.

Siis: tavallinen sanakirja ensin käteen, sitten vasta matemaattinen sisältö (joka saattaa hivenen muuttua Wikistä toiseen...). Jonkinasteinen ymmärtäminen on kuitenkin parasta oppimista.

Wikipedia (En):
"
A function (in blue) is convex if and only if the region above its graph (in green) is a convex set.
"
Eli konveksi käyrä on tulkittu erään konveksin joukon reunan osaksi.

... kirjoitti:

Pistin tuon vaan selvennykseksi. Konveksi tarkoittaa tuommoista alati ulospäin pullistuvaa, kun taas konveksi sisäänpäin lommoutuvaa (kunhan käsitteet sisään ja ulos on hallussa). Samalla halusin näyttää, että käsite on näkökulmariippuva. Eli tuon käyrän kohdalla ongelmana on juuri tuo näkökulma: mistä katsotaan ja mihin.Käyrän kohdalla on kai selkeämpi sanoa ylös- tai alaspäin kupera (vastaavasti alas- tai ylöspäin kovera, silloin ei suomenkieliselle ehkä tule niin helposti ongelmia. Englanninkielinen ensisijaisesti kai ymmärtää konkaavin "ontelo" merkityksen, jolloin näkökulmakin paljastuu implisiittisesti, suomenkieliselle taas tuosta "määritelmästä" tulee sanan sisältö ja sitäkautta tuo "luola-kuhmu" sisältö jää vajavaiseksi.

Siis: tavallinen sanakirja ensin käteen, sitten vasta matemaattinen sisältö (joka saattaa hivenen muuttua Wikistä toiseen...). Jonkinasteinen ymmärtäminen on kuitenkin parasta oppimista.

Wikipedia (En):
"
A function (in blue) is convex if and only if the region above its graph (in green) is a convex set.
"
Eli konveksi käyrä on tulkittu erään konveksin joukon reunan osaksi.

Lue lisää

"konveksi sisäänpäin lommoutuvaa " Piti olla:
konkaavi sisäänpäin lommoutuvaa

... kirjoitti:

"konveksi sisäänpäin lommoutuvaa " Piti olla:
konkaavi sisäänpäin lommoutuvaa

"lommoutuva" ja "pullistuva" implisiittisesti sisältävät tuon "sisään"- ja "ulospäin".

Redundanssin poistaminen kuitenkin tekee lukemisen joskus vaikeahkoksi...

... kirjoitti:

Pistin tuon vaan selvennykseksi. Konveksi tarkoittaa tuommoista alati ulospäin pullistuvaa, kun taas konveksi sisäänpäin lommoutuvaa (kunhan käsitteet sisään ja ulos on hallussa). Samalla halusin näyttää, että käsite on näkökulmariippuva. Eli tuon käyrän kohdalla ongelmana on juuri tuo näkökulma: mistä katsotaan ja mihin.Käyrän kohdalla on kai selkeämpi sanoa ylös- tai alaspäin kupera (vastaavasti alas- tai ylöspäin kovera, silloin ei suomenkieliselle ehkä tule niin helposti ongelmia. Englanninkielinen ensisijaisesti kai ymmärtää konkaavin "ontelo" merkityksen, jolloin näkökulmakin paljastuu implisiittisesti, suomenkieliselle taas tuosta "määritelmästä" tulee sanan sisältö ja sitäkautta tuo "luola-kuhmu" sisältö jää vajavaiseksi.

Siis: tavallinen sanakirja ensin käteen, sitten vasta matemaattinen sisältö (joka saattaa hivenen muuttua Wikistä toiseen...). Jonkinasteinen ymmärtäminen on kuitenkin parasta oppimista.

Wikipedia (En):
"
A function (in blue) is convex if and only if the region above its graph (in green) is a convex set.
"
Eli konveksi käyrä on tulkittu erään konveksin joukon reunan osaksi.

Lue lisää

... olin juuri itsekin kirjoittamassa, että funktio on

konveksi, jos käyrän yläpuolinen alue on konveksi joukko

konkaavi, jos käyrän alapuolinen alue on konveksi joukko

Kuvittele, että sinun pitäisi yhden puhelinsoiton avulla selittää tuntemattomalle avaruusoliolle termit vasen-oikea tai ylös-alas tai konveksi-konkaavi... :) Moni valinta matikassa on mielivaltainen käytäntö.

Joskus valinnalle ei ole edes mitään selkeää visualisointia, kuten että valitaan i sen sijaan, että valittaisiin imaginääriluvuksi -i. Tavallaan olemme valinneet -i ihan yhtä hyvin, sillä vaihtaisimme vain notaatioita i ja -i keskenään. Tavallaan valintaa ei ole edes tehty, vaan otamme WLOG jomman kumman, ja kutsumme sitä i:ksi.

nkorppi kirjoitti:

... olin juuri itsekin kirjoittamassa, että funktio on

konveksi, jos käyrän yläpuolinen alue on konveksi joukko

konkaavi, jos käyrän alapuolinen alue on konveksi joukko

Kuvittele, että sinun pitäisi yhden puhelinsoiton avulla selittää tuntemattomalle avaruusoliolle termit vasen-oikea tai ylös-alas tai konveksi-konkaavi... :) Moni valinta matikassa on mielivaltainen käytäntö.

Joskus valinnalle ei ole edes mitään selkeää visualisointia, kuten että valitaan i sen sijaan, että valittaisiin imaginääriluvuksi -i. Tavallaan olemme valinneet -i ihan yhtä hyvin, sillä vaihtaisimme vain notaatioita i ja -i keskenään. Tavallaan valintaa ei ole edes tehty, vaan otamme WLOG jomman kumman, ja kutsumme sitä i:ksi.

Lue lisää

Matikkaa ei ehkä pitäisikään ottaa niin eksaktisti. Jos ruvetaan tarkoiksi, niin koskaan ei olla ihan riittävän tarkkoja. 60-luvulla oli ihan mukavaa, kun oli vain muutama matematiikan kirja ja siinä pärjäs ne jotka sitä halusivat tarpeeksi ja muille sillä ei ollut niin väliä.
Elämä on kuitenkin osoittanut, että suurimmalle osalle ihmisistä riittää pelkkä yhteen ja kertolasku käänteistoimituksineen.
Eipä sitä itsekään ole muuta tarvinnut. Muu on pelkkää omaa mielenkiintoa...

... kirjoitti:

Matikkaa ei ehkä pitäisikään ottaa niin eksaktisti. Jos ruvetaan tarkoiksi, niin koskaan ei olla ihan riittävän tarkkoja. 60-luvulla oli ihan mukavaa, kun oli vain muutama matematiikan kirja ja siinä pärjäs ne jotka sitä halusivat tarpeeksi ja muille sillä ei ollut niin väliä.
Elämä on kuitenkin osoittanut, että suurimmalle osalle ihmisistä riittää pelkkä yhteen ja kertolasku käänteistoimituksineen.
Eipä sitä itsekään ole muuta tarvinnut. Muu on pelkkää omaa mielenkiintoa...

Lue lisää

Otetaan vaikka juhlien järjestäjä, joka haluaa haluaa tarjota 10 vieraalleen kullekin 3 eri cocktail-herkkua, muttei samaa kolmikkoa kenellekään kahdelle. Kuinka monta eri herkkua pitäisi ostaa?

Tuossa arkisessa ongelmassa tarvitaan peruspäättelykykyä, eikä pelkkä yhteenlasku riitä. Realistisempiakin esimerkkejä on valtavasti.

Pointtini on se, että ihminen tekee matikkaa joka päivä aina kun hän käyttää logiikkaa. Esim. sudokun ratkaiseminen on matikkaa.

Matikkaa enemmän lukeva tutustuu lähemmin loogisen ajattelun muodolliseen puoleen -- mutta se arkinen intuitio kehittyy taustalla.

Idea siitä, että ihminen tarvitsee vain yhteenlaskua ei suinkaan tule siitä, ettäkö tuo idea olisi missään mielessä totta -- vaan pikemminkin siitä, että henkilö katsoo matemaattista toimintaa liian suppeasti.

... kirjoitti:

Matikkaa ei ehkä pitäisikään ottaa niin eksaktisti. Jos ruvetaan tarkoiksi, niin koskaan ei olla ihan riittävän tarkkoja. 60-luvulla oli ihan mukavaa, kun oli vain muutama matematiikan kirja ja siinä pärjäs ne jotka sitä halusivat tarpeeksi ja muille sillä ei ollut niin väliä.
Elämä on kuitenkin osoittanut, että suurimmalle osalle ihmisistä riittää pelkkä yhteen ja kertolasku käänteistoimituksineen.
Eipä sitä itsekään ole muuta tarvinnut. Muu on pelkkää omaa mielenkiintoa...

Lue lisää

... sitä mieltä, että matikka on otettava eksaktisti, sillä muuten se ei edes olisi matikkaa.

... kirjoitti:

Matikkaa ei ehkä pitäisikään ottaa niin eksaktisti. Jos ruvetaan tarkoiksi, niin koskaan ei olla ihan riittävän tarkkoja. 60-luvulla oli ihan mukavaa, kun oli vain muutama matematiikan kirja ja siinä pärjäs ne jotka sitä halusivat tarpeeksi ja muille sillä ei ollut niin väliä.
Elämä on kuitenkin osoittanut, että suurimmalle osalle ihmisistä riittää pelkkä yhteen ja kertolasku käänteistoimituksineen.
Eipä sitä itsekään ole muuta tarvinnut. Muu on pelkkää omaa mielenkiintoa...

Lue lisää

... myös se hyvä puoli, että usein siinä ollaan lopullisesti päästy tarkkaan vastaukseen.

Ota mikä tahansa tunnettu teoreema todistuksineen. Se on täysin lopullisesti tarkka vastaus johonkin kysymykseen! (Toki kysymys voi olla rajallinen, mutta se on eri juttu.)

... kirjoitti:

Matikkaa ei ehkä pitäisikään ottaa niin eksaktisti. Jos ruvetaan tarkoiksi, niin koskaan ei olla ihan riittävän tarkkoja. 60-luvulla oli ihan mukavaa, kun oli vain muutama matematiikan kirja ja siinä pärjäs ne jotka sitä halusivat tarpeeksi ja muille sillä ei ollut niin väliä.
Elämä on kuitenkin osoittanut, että suurimmalle osalle ihmisistä riittää pelkkä yhteen ja kertolasku käänteistoimituksineen.
Eipä sitä itsekään ole muuta tarvinnut. Muu on pelkkää omaa mielenkiintoa...

Lue lisää

... mikä se sellainen tiede on, jossa ollaan kaikki ratkaistu eksaktiksi, eikä avoimia kysymyksiä ole enää jäljellä? Kuollut tiede.

Se, että avoimia kysymyksiä on aina jäljellä ei suinkaan ole syy hylätä matikkaa -- päinvastoin!!!

Ongelma syntyy, kun on ihmisiä, jotka näkevät koko matikan tarkoitukseksi K-marketin laskun tarkastamisen. Elävät pää pöntössä.

nkorppi kirjoitti:

... olin juuri itsekin kirjoittamassa, että funktio on

konveksi, jos käyrän yläpuolinen alue on konveksi joukko

konkaavi, jos käyrän alapuolinen alue on konveksi joukko

Kuvittele, että sinun pitäisi yhden puhelinsoiton avulla selittää tuntemattomalle avaruusoliolle termit vasen-oikea tai ylös-alas tai konveksi-konkaavi... :) Moni valinta matikassa on mielivaltainen käytäntö.

Joskus valinnalle ei ole edes mitään selkeää visualisointia, kuten että valitaan i sen sijaan, että valittaisiin imaginääriluvuksi -i. Tavallaan olemme valinneet -i ihan yhtä hyvin, sillä vaihtaisimme vain notaatioita i ja -i keskenään. Tavallaan valintaa ei ole edes tehty, vaan otamme WLOG jomman kumman, ja kutsumme sitä i:ksi.

Lue lisää

ylös ja alas eivät kuuluneet minun matikankursseihini, sensijaan geodesiassa ne aivan sujuvasti määriteltiin painovoiman suunnan mukaan.

gravitaattori kirjoitti:

ylös ja alas eivät kuuluneet minun matikankursseihini, sensijaan geodesiassa ne aivan sujuvasti määriteltiin painovoiman suunnan mukaan.

Entäs jos avaruusoliolla ei ole silmiä? Tai jos hän elää ylösalaisin ja näkee maailman toisin päin? Oletus on, ettei puhelun vastaanottajasta tiedetä mitään, eikä hän voi myöskään kuvailla itseään.

Vasen/oikea-selitys on vielä vaikeampi.

gravitaattori kirjoitti:

ylös ja alas eivät kuuluneet minun matikankursseihini, sensijaan geodesiassa ne aivan sujuvasti määriteltiin painovoiman suunnan mukaan.

matematiikankursseihini ei taas explisiittisesti sisältynyt painovoimaa silti paperiarkissa oli ylä- alareuna sekä oikea- ja vasen reuna. Painovoima yleensä vaikutti paperitason lähes kohtisuoralla koordinaatilla.

nkorppi kirjoitti:

Otetaan vaikka juhlien järjestäjä, joka haluaa haluaa tarjota 10 vieraalleen kullekin 3 eri cocktail-herkkua, muttei samaa kolmikkoa kenellekään kahdelle. Kuinka monta eri herkkua pitäisi ostaa?

Tuossa arkisessa ongelmassa tarvitaan peruspäättelykykyä, eikä pelkkä yhteenlasku riitä. Realistisempiakin esimerkkejä on valtavasti.

Pointtini on se, että ihminen tekee matikkaa joka päivä aina kun hän käyttää logiikkaa. Esim. sudokun ratkaiseminen on matikkaa.

Matikkaa enemmän lukeva tutustuu lähemmin loogisen ajattelun muodolliseen puoleen -- mutta se arkinen intuitio kehittyy taustalla.

Idea siitä, että ihminen tarvitsee vain yhteenlaskua ei suinkaan tule siitä, ettäkö tuo idea olisi missään mielessä totta -- vaan pikemminkin siitä, että henkilö katsoo matemaattista toimintaa liian suppeasti.

Lue lisää

Mielestäni matikkaa enemmän lukeva tutustuu laajaan määrään valmiita työkaluja kehittäen intuitiotaan aktiivisesti. Siis oppii uusia menetelmiä ja käyttämään niitä hyvin rajoittuneiden arkijärkeilyjen sijaan. Tuo arkinen ongelma ratkeaa huomattavasti nopeammin, kun näkee suoraan miten se ratkaistaan kombinatoriikan avulla, eikä lähde todennäköisyyslaskennan perusteisiin tutustumattomana taulukoimaan tai piirtelemään tilannetta - löysin laskimen paljon nopeammin kuin kynän ja paperia.

Tähän voisin sen verran päteä, että jos piirtää viivasegmentin kahden pisteen välille niin konkaavissa funktiossa käyrä on välttämättä molemmilla puolilla viivasegmenttiä. Oikea termi olisi viivasegmentin sijasta käyttää tangenttia ja sen kun piirtää mihin tahansa pisteeseen niin tällöin käyrä ei tule koskaan olemaan tangentin yläpuolella.

Konklaavin keisarihrjoitus.Valkoista savua ja kukkaa.