Trigonometrian ratkaisun neuvomista?

Kiitos, mutta tarttisin vielä vähän selvennystä, että kun sin 4x= 2 kertaa sin 2x kertaa cos 2x, niin mitä ihmeestä se tulee???????

VOiko tästä jotenkin päätellä mitä on cos 4x, kun cos 2x=1-2(sinx)^2.... Toisaalta cos 2x=(cosx)^2-(sinx)^2

Toinen kysymys; Mitä ihmettä tarkoittaa, että onko trigonometrinen fuktio parillinen vai pariton? En tajunnu siit mitää. Jos joku viittis huolellisesti selittää olisin todella kiitollinen.

aloittaja kirjoitti:

Kiitos, mutta tarttisin vielä vähän selvennystä, että kun sin 4x= 2 kertaa sin 2x kertaa cos 2x, niin mitä ihmeestä se tulee???????

VOiko tästä jotenkin päätellä mitä on cos 4x, kun cos 2x=1-2(sinx)^2.... Toisaalta cos 2x=(cosx)^2-(sinx)^2

Toinen kysymys; Mitä ihmettä tarkoittaa, että onko trigonometrinen fuktio parillinen vai pariton? En tajunnu siit mitää. Jos joku viittis huolellisesti selittää olisin todella kiitollinen.

Lue lisää

Mistä tulee sin(4x) = 2 sin(2x)cos(2x)?

No se tulee tietysti soveltamalla kaavaa

sin(x y) = sin(x)cos(y) cos(x)sin(y)

Mistä tuo tulee? Huomaa, että yksikköympyrän koordinaatit ovat muotoa (cos(a),sin(a)), missä a on kulma positiivisen x-akselin kanssa. Voimme määritellä 2x2 'rotaatiomatriisin' kuvaamaan rotaatiota kulmalla a vastapäivään. (Hae googlella 'rotation matrix'.) Olkoon tuo matriisi R_a. Huomaamme, että R_a*R_b = R_(a b) ja saamme tuosta myös ilmaiseksi yllä näkyvän kaavan.

Sanoit: " cos (2x) = 1-2(sinx)^2... Toisaalta cos 2x=(cosx)^2-(sinx)^2 " .

Onhan selvää, että kaavat ovat samoja, sillä cos^2(x) sin^2(x) = 1. (Tämä on pelkkä Pythagoraan lause yksikköympyrässa.) Voit sijoittaa cos^2(x) = 1-sin^2(x).

Saat tottakai triviaalisti, että cos(4x) = 1-2sin^2(2x) = 1-8cos^2(x)sin^2(x), mutta se ei ole järin merkittävä tieto.

Parillinen funktio f on sellainen, että sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, eli f(x) = f(-x)

Pariton funktio f on sellainen, että sen kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, eli f(-x) = -f(x).

Tärkeämpää kuin ihmisten huolellinen selittäminen on sun huolellinen lukeminen. Hätäily ja seitsemän peräkkäistä kysymysmerkkiä eivät auta.

aloittaja kirjoitti:

Kiitos, mutta tarttisin vielä vähän selvennystä, että kun sin 4x= 2 kertaa sin 2x kertaa cos 2x, niin mitä ihmeestä se tulee???????

VOiko tästä jotenkin päätellä mitä on cos 4x, kun cos 2x=1-2(sinx)^2.... Toisaalta cos 2x=(cosx)^2-(sinx)^2

Toinen kysymys; Mitä ihmettä tarkoittaa, että onko trigonometrinen fuktio parillinen vai pariton? En tajunnu siit mitää. Jos joku viittis huolellisesti selittää olisin todella kiitollinen.

Lue lisää

... mennä pidemmälle:

cos(4x)
= 1-2sin^2(2x)
= 1-8sin^2(x)cos^2(x)
= 1-8(1-cos^2x)cos^2(x)
= 8cos^4(x) - 8cos^2(x) 1

Olet siis ilmaissut cos(4x) luvun cos(x) suhteen. Voit tehdä samoin sinin kohdalla. Ehkäpä yritit tehdä tätä?

(Huomaa yleinen merkintä cos^2(x) = (cos(x))^2 sekä erillisten rivien käyttö laskussa.)

aloittaja kirjoitti:

Kiitos, mutta tarttisin vielä vähän selvennystä, että kun sin 4x= 2 kertaa sin 2x kertaa cos 2x, niin mitä ihmeestä se tulee???????

VOiko tästä jotenkin päätellä mitä on cos 4x, kun cos 2x=1-2(sinx)^2.... Toisaalta cos 2x=(cosx)^2-(sinx)^2

Toinen kysymys; Mitä ihmettä tarkoittaa, että onko trigonometrinen fuktio parillinen vai pariton? En tajunnu siit mitää. Jos joku viittis huolellisesti selittää olisin todella kiitollinen.

Lue lisää

... on tukeutua kompleksilukuihin:

cos(4x) on kompleksiluvun cos(4x) isin(4x) = e^(4xi) reaaliosa.

Siispä kyseessä on, toisin kirjoitettuna, luvun [e^(xi)]^4 reaaliosa. Voit laskea käsin (cos(x) isin(x)]^4 auki ja ottaa reaaliosan. Saat saman vastauksen.

nkorppi kirjoitti:

Mistä tulee sin(4x) = 2 sin(2x)cos(2x)?

No se tulee tietysti soveltamalla kaavaa

sin(x y) = sin(x)cos(y) cos(x)sin(y)

Mistä tuo tulee? Huomaa, että yksikköympyrän koordinaatit ovat muotoa (cos(a),sin(a)), missä a on kulma positiivisen x-akselin kanssa. Voimme määritellä 2x2 'rotaatiomatriisin' kuvaamaan rotaatiota kulmalla a vastapäivään. (Hae googlella 'rotation matrix'.) Olkoon tuo matriisi R_a. Huomaamme, että R_a*R_b = R_(a b) ja saamme tuosta myös ilmaiseksi yllä näkyvän kaavan.

Sanoit: " cos (2x) = 1-2(sinx)^2... Toisaalta cos 2x=(cosx)^2-(sinx)^2 " .

Onhan selvää, että kaavat ovat samoja, sillä cos^2(x) sin^2(x) = 1. (Tämä on pelkkä Pythagoraan lause yksikköympyrässa.) Voit sijoittaa cos^2(x) = 1-sin^2(x).

Saat tottakai triviaalisti, että cos(4x) = 1-2sin^2(2x) = 1-8cos^2(x)sin^2(x), mutta se ei ole järin merkittävä tieto.

Parillinen funktio f on sellainen, että sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, eli f(x) = f(-x)

Pariton funktio f on sellainen, että sen kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, eli f(-x) = -f(x).

Tärkeämpää kuin ihmisten huolellinen selittäminen on sun huolellinen lukeminen. Hätäily ja seitsemän peräkkäistä kysymysmerkkiä eivät auta.

Lue lisää

"sin(x y) = sin(x)cos(y) cos(x)sin(y)

Mistä tuo tulee? Huomaa, että yksikköympyrän koordinaatit ovat muotoa (cos(a),sin(a)), missä a on kulma positiivisen x-akselin kanssa. Voimme määritellä 2x2 'rotaatiomatriisin' kuvaamaan rotaatiota kulmalla a vastapäivään. (Hae googlella 'rotation matrix'.) Olkoon tuo matriisi R_a. Huomaamme, että R_a*R_b = R_(a b) ja saamme tuosta myös ilmaiseksi yllä näkyvän kaavan."

Jos haluaa välttää törmäämisen rotaatiomatriisiin, niin vektorilaskennalla voidaan myös perustella tuo kaava. Perustellaan aluksi kaava cos(x-y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y):

Olkoon a = i*cos(x) j*sin(x) ja b = i*cos(y) j*sin(y). Vektorit ovat siis kulmia x ja y vastaavien yksikköympyrän pisteiden paikkavektorit. (i:n ja j:n päällä kuuluu oikeasti olla viivat, mutta en saanut niitä mistään. Muuten i sekoittuu helposti imaginaariyksikköön)

Nyt |a| = |b| = 1, sillä sin^2(z) cos^2(z) = 1.

Merkintä: cos(a,b) = "vektoreiden a ja b välisen kulman kosini".

Lasketaan nyt a:n ja b:n pistetulo kahdella eri tavalla. Koska |a| = |b| = 1, niin

a ⋅ b = cos(a,b) = cos(x - y 2n*pii) = cos(x - y).

Lisäys 2n*pii (sopivalla n:llä) siltä varalta, että |x - y| > pii (itseisarvo).

Toisaalta pistetulon määritelmällä suoraan laskien:

a ⋅ b = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y).

Näin saatiin siis perusteltua kaava

cos(x-y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y).

Kaava sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) seuraa huomiosta, että sin(x-y) = cos(x-y-pii/2). Tuota kautta tietenkin seuraa myös tapaukselle, missä pitää laskea sama x y:lle, sillä x y = x-(-y)...

....:...