Seuraavaan pulmaan olisi mukava löytää ratkaisu:
Heitän kolikkoa kolme kertaa. Miten lasken todennäköisyyden sille, että
a) Saan tasan 2 kruunua
b) Saan kaikki 3 kruunua.
Onko b-kohdassa sama todennäköisyys, kuin että saisin kaikki 3 klaavoja?
Heitän kolikkoa kolme kertaa. Miten lasken todennäköisyyden sille, että
a) Saan tasan 2 kruunua
b) Saan kaikki 3 kruunua.
Onko b-kohdassa sama todennäköisyys, kuin että saisin kaikki 3 klaavoja?
Vastaukset 12
Vanhimmat
a) suotuisat alkeistapaukset ovat kl,kr,kr ja kr,kl,kr ja kr,kr,kl. Näistä tn on 3/8.
b) kyllä kr,kr,kr ja kl,kl,kl tn sama eli 1/8
No jos kruunan tai klaavan todennäköisyys on 0,5 eivätkä eri heitot ole riippuvia toisista, niin mikäpä se todennäköisyys silloin voisi olla?
Muakin kiinnostais, mutta en tiedä, osaanko sinne päinkään.
Ekaksi aattelin, että kolmen heiton jälkeen on neljä mahdollista tulosta, kun ei katsota, millä heitolla mitäkin on tullut:
KR KR KR
KR KR KL
KR KL KL
KL KL KL
Tästä tulee a-kohtaan 1/4, ja b-kohtaan myös 1/4.
Sit mietin, pitäiskö heittojärjestys ottaa huomioon, ja tein sellaisen puukuvion. Sellaisia haaroja, joissa on kaksi kruunua, on KR-KR-KL, KR-KL-KR ja KL-KR-KR. Nyt a-kohtaan 3(1/2)^3 = 3/8. b-kohtaan kelpaa vain KR-KR-KR, eli (1/)^3 = 1/8. Sama tietysti kolmelle klaavalle.
Kai tuo jälkimäinen on oikein, mutta en tajuu, miksi eka ei päde, kun heittojen jälkeen ei muita kokoonpanoja kuitenkaan ole. Selittaiskö joku, kiitos!
Ensimmäinen heitto erottaa erottaa vaihtoehtosi
Jos tähtäät yksinomaan kruunaan, niin todennäköisyys on 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 = 1/8
Jos tähtäät kaikki samaa maata, niin todennäköisyys on 1 x 0,5 x 0,5 = o,25 = 1/4
tässäpä rakennelma kaikkien vaihtoehtojen löytämiseksi:
kr kr kr
kr kr kl
kr kl kr
kr kl kl
kl kr kr
kl kr kl
kl kl kr
kl kl kl
Kaikkiaan on siis 2³ = 8 eri tapausta. Laita ensin vasempaan reunaa puolet (4 kpl) niistä kruunuja ja seuraavaan sarakkeeseen taas puolet edellisestä sarakkeesta vuorotellen jne....
Käypä tämä läpi.
noihin edellisten täydennykseks. Alussa on tietty hankalia nämä, kun pitäs ajatella niin kaavamaisesti, mielikuvitus niin helposti 'oikasee'. Kolikon heitto kolmesti on sama kuin heittäsit kolmea kolikkoa samalla kertaa. Olkoon kädessäsi 10 snt, 20 snt ja 50 snt kolikko. Ravistat ja heität pöydälle. Sinä ajattelit neljää mahdollisuutta:
kr, kr, kr
kr, kr, kl
kr, kl, kl
kl, kl, kl
Ekan varmaan ajattelit oikein. Mutta tokassa on jo vitsi mukana: se klaava voi olla joko 10 snt:ssä, 20 snt:ssä tai 50 snt:ssä. Eli Sinun yhdistelmäsi kr, kr, kl voi tullakin kolmella eri tavalla! Kolmas vaihtoehtosi voi samoin tulla kolmella eri tavalla. Neljäs tulee vain yhdellä. Mutta silloinhan onkin jo yhteensä 8 eri tapausta ja tämän kautta ymmärrät tulokset, mitkä muutkin ovat saaneet. Helppoa vai vaikeaaa.. ? Omituista ainakin vähän.. .
Tuossa puukuviossa, josta puhuin, on juuri nuo vaihtoehdot.
Nyt aukeni, ainakin luulen. Siis se toinen ajatelmani oli oikein.
000
001
010
011 a
100
101 a
110 a
111 b
a) 3/8
b) 1/8
Aiheeseen liittyvä tehtävä: Kolikkoa heitetään kolme kertaa, millä todennäköisyydellä saadaan
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 kruunua?
A-kohdan laskisin näin: P(3 kruunua) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 = 0,125.
Aikaisemmissa kommenteissa oli tuosta mielikuvituksen käyttämisestä ja luoda "rakenne" tapahtumille, mutta jos pitäisi käyttää tätä laskukaavaa, niin mikä se olisi muille kohdille?
tn saada k kruunua (k= 0,1,2 tai 3) = C(3,k)(1/2)^k * (1 - 1/2)^(3-k)
Eli tn = C(3,k) (1/2)^3 . Jokainen kolmen heiton tulos on yhtä todennäköinen (tn = 1/8) ja suotuisia on tässä C(3,k) kappaletta.