moro.
Osaisiko joku esittää ratkaisuun. TI-85 laskin antaa solverilla ratkaisun,mutta käsin en tuosta ole selvinnyt.
"OSOITA,ETTÄ YHTÄLÖLLÄ ON TÄSMÄLLEEN YKSI REAALIJUURI"
Osaisiko joku esittää ratkaisuun. TI-85 laskin antaa solverilla ratkaisun,mutta käsin en tuosta ole selvinnyt.
"OSOITA,ETTÄ YHTÄLÖLLÄ ON TÄSMÄLLEEN YKSI REAALIJUURI"
Vastaukset 21
Vanhimmat
Käytä vaikka Derive ohjelmaa tai mathCADia tai sitten kaivat jostain esiin yleisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan. Se ei tosin taida kuulua edes lukion oppimäärään.
"ei tosin taida kuulua edes lukion oppimäärään"
Mistä lähtien? Kyllä se minulle opetettiin.
Riippuu näköjään koulusta/opettajasta. Meidän ei ainakaan tarvinnut kolmannen asteen yhtälön yleistä ratkaisukaavaa opetella. Mutta jos kerran osaat, niin laita se toki muidenkin nähtäväksi.
"ei ainakaan tarvinnut kolmannen asteen yhtälön yleistä ratkaisukaavaa opetella."
minulla on taas sellainen muistikuva että tuolaista ei ole edes olemassa. eli siis yleistä ratkaisukaavaa tuolaiselle tapaukselle.
Olen joskus nähnyt moisen, enkä ole edes ihan varma oliko se yleinen ratkaisukaava mutta sellaista neliöjuurivelliä se oli että ei sitä missään koulussa opeteta tai vaadita ulkoa osattavaksi.
en ole ihan täysin varma, mutta muistaisin jotain sellaista että joku luennoitsia olisi joskus sanonut että sellaista ei ole ainakaan vielä ole pystytty kehittämään (että se toimisi kaikissa tilanteissa)
Katsokaapas täältä kolmannen asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava:
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/cubic/
Neljännen asteen yhtälölle ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa:
http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html
Tarkoitin siis että VIIDENNEN asteen yhtälölle ei ole enää olemassa yleistä ratkaisukaavaa. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava löytyy esim. täältä:
http://www.hsu.edu/faculty/worthf/cubic.html
muistin tuon sitten väärin. :(
Taitaa kuitenkin olla helpompaa käyttää jotain aproksimointimenetelmää, kuin ruveta tuollaisen kaavan avulla laskemaan.
Jep. Yleiset ratkaisukaavat ja niiden olemassaolo ovat lähinnä teoreettisesti kiinnostava aihe. Käytännössä joudutaan yleensä hakemaan muita ratkaisutapoja kolmannen ja korkeamman asteen yhtälöille.
x^3 3x^2 6x-7=0 -> x(x^2 3x 6)=7
eli seiska toiselle puolelle ja sitten x yhteiseks tekijäks. En mene kyllä vannomaan, että tuollain oikeen saat.. eli x:stä tulee 7 tai sitten ne kaks muuta kun ratkaset ton sulkujen sisällä olevan toisenasteen ratkasukaavalla.
Ei onnistu noin.
Hei,
sinun tulee tarkastella yhtälön diskriminanttia.
Tehtävänähän ei ole ratkaista reaalivastausta, vaan vain todistaa, että yhtälöllä on ainoastaan yksi reaalivastaus.
Yhtälöllä on kolme juurta jos D>0, kaksi juurta, jos D=0 ja vain yksi reaalijuuri jos D
Paritonta astetta olevalla funktiolla ei voi olla koskaan parillista määrää reaalijuuria (eli tuo mainitsemasi kaksi), koska imaginaarijuuret tulevat aina pareittain.
Hei,
en jaksanut ryhtyä juurta jaksain *hih* selittämään. Joka tapauksessahan tuolle yhtälölle tulee kaksi imaginaarivastausta ja yksi reaalinen, eli kun D
yritä löytää yhteinen tekijä, eli jaat tekijöihin. ota x vaikka yhteiseksi. sit vaan teet sulkeet nollaksi ja saat sitä kautta x:n arvon.
f(x) = x^3 3x^2 6x-7 =0
f'(x) = 3x^2 6x 6
Etsitään derivaatan nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Koska diskriminantti < 0 ei reaalisia ratkaisuja ole. Sijoitetaan derivaattaan x=1, havaitaan että derivaatta f'(1) on aina positiivinen, eli funktio on aidosti kasvava.
Koska f(-1000) < 0, f(1000) > 0 ja koska funktio on kaikkialla jatkuva, väliarvolauseen mukaisesti se saa jollain välillä -1000 < x < 1000 arvon 0. Koska funktio on aidosti kasvava, saa se ko. arvon vain kerran. MOT.
itse oikeastaan hieman korjaisin tuota ratkaisua:
f(x) = x^3 3x^2 6x-7 =0
f'(x) = 3x^2 6x 6
oletetaan että f on jatkuva. (ei varmaan tarvitse todistella lukiokursseilla)
huomataan että kaikilla x; f'(x) > 0 -> f on aid. kasvava
koska f(0) = -7 ja f(1) = 3, joten Bolzanon lauseen*) mukaan väliltä [0,1] löytyy funktion f nolla-kohta. koska funktio on aid. kasvava -> ei ole muita nolla-kohtia -> funktiolla on täsmälleen yksi reaalijuuri
*) Bolzanon lause: suljetulla välillä jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkiään ilman että se kävisi nollassa
Polynomifunktiona f on jatkuva ja derivoituva kaikkialla, joten Bolzanon lauseen ehdot täyttyvät. Asia pitää todeta.
Kun löytyy jokin suljettu väli, jonka päätepisteissä funktio saa erimerkkiset arvot, niin lauseen mukaan vastaavalla avoimella välillä on muuttujan arvo, jolla funktio saa arvon nolla.
Lukion pitkän matematiikan kurssissa ei esitetä yleistä ratkaisua 3. asteen yhtälölle. Jotkut yhtälöt ratkeavat, jos onnistutaan kirjoittamaan yhtälö tulomuotoon (tulon nollasääntö, HUOM: oikealla puolella arvo 0) tai etsimällä kokeilemalla jokin ratkaisu ja käyttämällä jaollisuutta apuna.
Mukava seurata tätä keskustelua!
"Polynomifunktiona f on jatkuva ja derivoituva kaikkialla, joten Bolzanon lauseen ehdot täyttyvät. Asia pitää todeta."
Bolzanon lauseeseen ei pahemmin vaikuta se että onko funktio derivoituva vai ei, ainoastaan jatkuvuus tietyllä välillä (ei välttämättä tarvitse edes olla kaikkialla. tietenkään lause ei sitten päde sillä välillä missä se ei ole jatkuva)
derivoituvaisuutta tarvitaan tässä tehtävässä vain siihen että voidaan kyseinen funktio derivoida ja sitä kautta huomata että funktio on aid. kasvava.
oikeastaan derivoituvaisuutta ei olisi välttämättä. oltaisiin voitu väittää että: f(x0) < f(x1) kaikilla x0,x1 kuuluu R:n, kun x0 < x1. ja sitten todistettu väite oikeaksi vaikka induktiolla ja todettu että tuon perusteella funktio on aidosti kasvava. tosin tehtävä olisi tullut paljon vaikeammaksi ja monimutkaisemmaksi..
ainoa milloin tuo derivoisuuden toteaminen on ollut tärkeä on sillä lukion kursilla missä tuo opetetaan, muuloin sitä vain pidetään itsestään selvyytenä tai sitten todistetaan että se on derivoituva.
"Kun löytyy jokin suljettu väli, jonka päätepisteissä funktio saa erimerkkiset arvot, niin lauseen mukaan vastaavalla avoimella välillä on muuttujan arvo, jolla funktio saa arvon nolla."
löytyy se myös suljetulta väliltä, tosin suljetulta väliltä tiedetään tässä tapauksessa se että päätepisteissä se ei ainakaan ole -> joten jos haluaa niin voi alkaa sitten puhumaan avoimesta välistä, mutta asiaa se ei kuitenkaan pahemmin muuta suuntaan tai toiseen.
kaikkea sitä tulee kirjoitaneeksi kun on tylsää..