Voiko differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen hyödyntää laplacea?
Diffiksen ratkominen homogeenisen yhtälön ja karakteristisen yhtälön avulla onnistuu, mutta jostain kumman syystä asiaa koitetaan opastaa tavalla, josta sokeakin näkee suoraan. Onlisiko kyse laplacesta vai mikä mahtaa olla niin ilmiselvää muille miten homat ratkaistaan. Itse en kysymyksen nähdessään näe suoraan vastausta, vaikka sitä kuinka joku koittaa selittää. Auttakaa...
Diffiksen ratkominen homogeenisen yhtälön ja karakteristisen yhtälön avulla onnistuu, mutta jostain kumman syystä asiaa koitetaan opastaa tavalla, josta sokeakin näkee suoraan. Onlisiko kyse laplacesta vai mikä mahtaa olla niin ilmiselvää muille miten homat ratkaistaan. Itse en kysymyksen nähdessään näe suoraan vastausta, vaikka sitä kuinka joku koittaa selittää. Auttakaa...
Vastaukset 13
Vanhimmat
Usein voi. Laplacemuunnoksella on se mukava ominaisuus, että se muuntaa differentiaaliyhtälön usein paljon helpommin ratkaistavaan algebralliseen muotoon. Kun haluttu suure on ratkaistu, pitää se vielä käänteismuuntaa takaisin aikatasoon.
Kuinka se sitten lasketaan?
Jos yhtälö on vaikka y"(t) 4y'(t) 5 y(t)= 0 ja y'=y" = 0
miten vaikuttaa jos hytälö onkin yhtäsuuri kun 1 tai t eikä nolla niinkun yllä?
onko tässä siis mitään perää ja jos on niin mitä seuraavaksi?
[s^2*F(s) - s*F(0) s*F(0)] [s*F(s) - f(0)] sF(s) = 0
Kirjoitin pitkän vastauksen, mutta suomi24 alkoi kuseksimaan eikä tehnyt mitään, kopioin kirjoitukseni leikepöydälle, tapoin selaimen, käynnistin uudelleen ja yritin liittää kirjoitukseni tähän uudelleen ja lähettää. Mutta unohdin että tämä iki-ihana Ubuntu tyhjentää leikepöydältä aina sen mikä on kopioitu ohjelmasta, joka suljetaan.
Valitan, et siis saa minulta vastausta ainakaan vähään aikaan.
Ei Ubuntukaan tee mitään omin päin.
Klipperin ponnahdusikkunan alaosasta löytyy asetukset, senkun ruksaat mieleiseksesi.
Ne derivaatan muunnossäännöt taitavat mennä näin:
L[f'] = s L[f] - f(0)
L[f''] = s^2 L[f] - s f'(0) - f(0)
ja jos merkitään L[f] = F, niin yhtälö
f"(t) 4f'(t) 5 f(t) = 0
(tätä alkuehtoa ilmeisesti tarkoitit) muuntuu muotoon
(s^2 F(s) - s f'(0) - f(0)) 4 (s F(s) - f(0)) 5 F(s) = 0
josta voidaan ratkaista
F(s) = [s/(s^2 4 s 5)] f'(0) [1/(s^2 4 s 5)] 5 f(0)
Tämän jälkeen sinun pitäisi ratkaista mikä on siirtofunktioiden
H1(s) = s/(s^2 4 s 5)
H2(s) = 1/(s^2 4 s 5)
Käänteismuunnokset h1(t) ja h2(t), jolloin lopullinen ratkaisu on
f(t) = h1(t) f'(0) h2(t) 5 f(0)
Jos f(0) = f'(0) = 0, niin ainoa ratkaisu on toki f(t) = 0. Jos taas yhtälö olisi
f"(t) 4f'(t) 5 f(t) = u(t)
jossa u(t) on jokin funktio, muunnettuna saadaan
(s^2 F(s) - s f'(0) - f(0)) 4 (s F(s) - f(0)) 5 F(s) = U(s)
jossa U(s) on u(t):n Laplace-muunnos. Tästä sitten ratkaistaan:
F(s) = [s/(s^2 4 s 5)] f'(0) [1/(s^2 4 s 5)] 5 f(0) [1/(s^2 4 s 5)] U(s),
jolloin kokonaisratkaisu onkin konvoluutioteoreeman nojalla
f(t) = h1(t) f'(0) h2(t) 5 f(0) int_0^t h2(t-s) u(s) ds
Menetellään ottamalla Laplace muunnos puolittain laskusääntöjä käyttäen. Jos oikealla puolella on funktio g(t), niin sille etsitään taulukosta muunnos. Seuraavaksi ratkaistaan yhtälöstä F(s), jolle etsitään taulukosta käänteismuunnos, joka on alkuarvotehtävän ratkaisu. Esimerkki välivaiheineen:
y'' 4y' 5y = 1 ja f(0) = f' (0) = 0, y = f(t).
L{f"(t) 4f'(t) 5f(t) } = L{f''(t)} L{4f'(t)} L{5f(t)} = L{f''(t)} 4L{f'(t)} 5L{f(t)}
= s²F(s) - sf(0) - f'(0) 4[sF(s) - f(0)] 5F(s) = s²F(s) 4sF(s) 5F(s) = F(s)(s² 4s 5) = L{1} = 1/s, josta
F(s) = 1/[s(s² 4s 5)].
Monesti käänteismuunnoksen etsiminen on todella hankalaa. Tehdään osamurtohajotelma
F(s) = (1/5)/s - (1/5)(s 4)/(s² 4s 5) = (1/5)/s - (1/5)(s 2)/((s 2)² 1²) - (2/5)/((s 2)² 1²)
josta käänteismuunnokseksi saadaan
f(t) = 1/5 - (1/5)e^(-2t)cos(t) - (2/5)e^(-2t)sin(t)
Kiitos! Tämän avulla pääsin nyt kärryille :) nyt kun muistais tän oivalluksen sit vielä tentissä niin hyvin menee.
Meillä ei ollut Laplacea diffiksen kurssilla. Itse en kyllä tykkää integraalimuunnoksista, mut karakteristinen yhtälö oli ratkaisutapana kiva. Tämäkin tehtävä ratkeaisi muutamalla rivillä.
No ratkaisepa esimerkiksi
y'' 4y' 5y = u(t)
jossa u(t) on jokin funktio, karakterisilla yhtälöillä muutamalla rivillä. Olkoon esimerkkeinä u(t):sta vaikkapa e^t ja tan(t).
Tietenkii laitoit sellasen esimerkin missä yritteen kaivaminen on tuskan takana :D
Se oli vähän tarkoituksena. :) Se yritemenetelmä (yritys-erehdysmenetelmä) toimii käytännössä vain harjoitustehtävissä. Yleisellä u(t) se ei toimi ollenkaan.
Mikä on aikataso? Ymmärrä reaalitason (2-ulotteinen avaruus) ja komplesitason ja pöytätason jne.
Onko se engallinksi time plane?
Ei ne H1 ja H2 mitään siirtofunktioita tuossa ole ...