Yhtälöpari

Tulo on -1.

Ratkaise ensimmäisestä yhtälöstä x ja toisesta z (y:n suhteen).

Kerro xyz.

Huom. ei ei voi olla 0 tai 1.

x:n arvoa ei tuosta voi määrittää (Paitsi, että x != 0 ja x 1 != 0)

y = 1 / (x 1)
z = (-x - 1) / x

xyz = 1 / (x 1) * x * (-x - 1) / x = (-x - 1) / (x 1) = -(x 1)/(x 1) = -1

Totta, oikeastaan tarkoitin, että minkään muuttujan arvoa ei voi määrittää lukuina.

Vielä yks näkökulma: siis xy y = 1 ja yz - z =1. Tällöin z ei voi olla 0, sillä muuten 0=1. Joten voidaan kertoa ensimmäisen yhtälön molemmat puolet luvulla z ihan jopa laillisesti ja saadaan xyz yz = z jolloin xyz = z - yz = -( yz - z ). Toisaalta toisen yhtälön mukaan yz - z = 1 jolloin xyz =-1 .

miten vastavuoroisesti ratkaistaan nämä yhtälöpari algebraalisesti?

7x 9y-8=0
9x-8y-69=0


y=x^2 11x-9
y=6x-13

Tapoja on monia. Yksi toimiva perusidea on ratkaista yksi muuttuja muiden (tai tässä tapauksessa toisen) suhteen, ja sijoittaa saatu tulos johonkin yhtälöistä. Näin saadaan yhtälö, jossa muuttujia on yksi vähemmän. Tätä jatketaan, kunnes yhden muuttujan arvo tunnetaan, jolloin sen voi sijoittaa yhtälöihin. Näin jatkamalla lopulta kaikki muuttujat selviävät (jos niitä on enintään saman verran kuin yhtälöitäkin).

Esim. tuossa 1. tehtävässä:

7x 9y-8=0
9x-8y-69=0

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen (tämä on tässä tapauksessa näppärää, koska siten y:n kerroin saadaan 1:ksi, jossain muussa tapauksessa joku muu ratkaisutapa toimii paremmin) saadaan:

16x y - 77 = 0
y = -16x 77

Tuo y voidaan sitten sijoittaa jompaan kumpaan yhtälöön, vaikkapa tuohon jälkimmäiseen:

9x-8(-16x 77)-69=0
9x 128x-616-69 = 0
137x = 685
x = 685/137 = 5

Tämä sitten sijoitetaan jompaan kumpaan yhtälöön x:n tilalle:

7*5 9y-8=0
9y = 8-35 = -27
y = -27/3 = -9

Jälkimmäisessä tehtävässä toinen yhtälöistä on toisen asteen yhtälö, mikä tarkoittaa sitä, että ratkaisuja voi olla kaksi. Niitä voi myös olla yksi tai ei yhtään. Tämä selviää kun se toisen asteen yhtälö ratkeaa. Nyt vähentämällä yhtälöt toisistaan saadaan pelkän x:n sisältävä yhtälö. (Jossain muussa tapauksessa taas joku muu ratkaisutapa voisi olla helpompi, tässä tuo vähentäminen tuottaa suoraan kätevän tuloksen.)

y=x^2 11x-9
y=6x-13

Vähennetään toinen yhtälö ensimmäisestä:

0 = x^2 5x 4

Tuon voisi tietenkin ratkaista ratkaisukaavallakin, mutta tuosta näkee helposti tekijät:

x^2 5x 4 = (x 1)(x 4) = 0, mistä x = -1 ja x = -4

Sijoitetaan kumpikin x tuohon toiseen yhtälöön:

y=6(-1)-13 y = -19
y=6(-4)-13 y = -37

Ratkaisut ovat siis x = -1, y = -19 ja x = -4, y = -37.

Tuossa ekassa kerro ylempi yhtälö kasilla ja alempi ysillä, minkä jälkeen laske ne puolittain yhteen (eliminoidaan y). Tällöin saat yhtälön: 137x-685=0 => x=5 ja y:n arvon saat, kun sijoitat tuon x:n arvon jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä. Esim. ylempään 7*5 9y-8=0 => y=-3.
Vastaus: x=5 ja y=-3
Toisessa voit muodostaa yhtälön x^2 11x-9=6x-13 => x^2 5x 4=0, josta ratkaisukaavalla saadaan x=-4 tai x=-1. Vastaavat y:n arvot saadaan (helpoiten) sijoittamalla nuo x:n arvot yhtälöön y=6x-13. Tästä saadaan, että y=-37 tai y=-19. Vastaus: x=-4 ja y=-37 tai x=-1 ja y=-19

Laittakaa nyt tämä jo lukkoon! Menee hermo, kun kaikki soittaa suutaan koko ajan!

Pieni jatkokysymys

Oletetaanpa, että nuo alkuperäisen kysyjän polynomiyhtälöt xy=1-y ja yz=1 z ovat voimassa.

Tarkastellaan kymmenennen asteen rationaalilukukertoimisia polynomeja, ts. polynomeja, joiden termit ovat muotoa a_{i,j,k}x^iy^jz^k, missä i,j,k ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja summa i j k on pienempi tai yhtäsuuri kuin 10.

Montako termiä tällainen polynomi enimmillään sisältää?

(Oletetaan sievennetty muoto, jossa sama x^iy^jz^k esiintyy korkeintaan yhdessä termissä.)

Montako termiä tällaisen polynomin esittämiseen enimmillään tarvitaan, kun em. polynomiyhtälöt ovat voimassa?

Kiitos pääsin jo aikalailla jyvälle...muutama kohta askarruttaa vielä mutta harjoittelun kautta hyvä tulee.

y=x^2 11x-9
y=6x-13

Kysyisin vielä miten ratkaistaan yhtälöpari (ylläoleva) graaffisesti?

Piirretään paraabeli ja suora ruutupaperille.

Ai niin, eihän nykyään koulussa käytetä ruutupaperia eikä kyniä =(

Kannattaa kuitenkin suosia algebrallista ratkaisua, koska silloin saat tarkat vastaukset. Joissain tapauksissa toki myös graaffisesti ratkaisemalla saadaan tarkat vastaukset, mutta silloin yleensä käyrien yhtälöt on valittu niin, että leikkauspisteet näkee helposti (ainakin omissa kokeissani, kun on kysytty graaffista ratkaisua).