Miten ratkaistaan 4x-15y=3? En ymmärrä miten saan tästä oikean ratkaisun ja olisi mukava ymmärtää miten saan tämän laskun loppuun asti. Olen laskenut, että syt(4,-15)=1, mutta en sen enempää osaa.
Diofantoksen yhtälö
Anonyymi987
8
142
Vastaukset
- laskee
Tässä en esitä yleistä ratkaisutappa, vaan miten tämän ratkaisee 10:ssä sekunnissa päässälaskuna:
Mieti ensin yhtälöä 4p-15k=1, jossa k=1, eli 4p-15=1. Näet heti, että p:n arvo neljä on tämän ratkaisu. No, jos arvoksi halutaan kolme tuon ykkösen sijasta, niin tietenkin kerrotaan kolmella.
Joten siis x = 3*4 = 12 ja y on 3*1 = 3. - Ohman
4x - 15 y = 3
SYT(4,15) = 1 ja 1 jakaa luvun 3 joten yhtälöllä on ratkaisu.
4*4 1*(- 15) = 1 ja( 4*3, 1 * 3) = (12, 3) on erkoisratkaisu.
(12 t(- 15), 3 - t* 4) on yleinen ratkaisu, kaikki ratkaisut saadaan eri t:n arvoilla.
4(12 t (- 15)) - 15 (3 - t *4) = 48 - 60 t - 45 60 t = 3.
Ohman- Ohman
Yllä siis t on mikä tahansa kokonaisluku.
Selitän vähän ratkaisun metodia. Olkoon lukujen a(1),a(2),...,a(n) syt = (a(1),a(2),...,a(n)).
Yhtälöllä
(1) a(1) x(1) a(2) x(2) ... a(n) x(n) = b
on ratkaisu sjvs kun (a(1),a(2),...,a(n)) l b (a l b tarkoittaa, että a jakaa b:n, b on jaollinen a:lla).
Näin siksi, etttä koska yhtälön (1) vasen puoli on jaollinen tuolla syt:llä niin oikea puolikin on.
Lukujen a ja b syt (a,b) löytyy Euklideen algoritmilla.
Lukujen a(i) syt saaadaan laskemalla ensin vaikkapa (a(n-1),a(n)), sitten (a(n-2), (a(n-1),a(n))) jne.
Tämä menettely johtaa siihen, että noiden a(i)-lukujen syt voidaan lausua niiden lineaarisena yhdistelmänä:
(2) (a(1),...,a(n)) = c(1) a(1) c(2) a(2) --- c(n) a(n)
Koska (a(1),...,a(n)) l b niin b = d * (a(1),...,a(n))
Kun (2) kerrotaan puolittain luvulla d saadaan
(3) d c(1) a(1) ... d c(n) a(n) = b
joten luvut d c(1), d c(2) ,..., d c(n) toteuttavat yhtälön (1).
Jos x(1), x(2),...,x(n) ja y(1),y(2),....,y(n ) ovat ratkaisuja on myös x(1) - y(1), x(2) - y(2),...,x(n) - y(n) yhtälön (1) ratkaisu.
Kahden muuttujan yhtälössä edellisessä kommentissani yleinen ratkaisu saatiin muotoon jossa esiintyi parametri t. n:n muuttujan yhtälön yleisessä ratkaisussa on n - 1 parametriä t(1),t(2),...,t(n-1). Enpä nyt rupea kuluttamaan lauantaiaamua kirjoittamalla sen esityksen näkyville!
Ohman
- Akselsson
Ja sitten lukiossa esitettävä ratkaisutapa:
Suurimman yhteisen tekijän osasitkin jo laskea.
-15 = 4•(-4) 1
4 = (-4)•(-1) 0
siis syt(-15,4)=1
Sitten lähdetään samaa reittiä takaisin päin
-15 - 4•(-4) = 1
-15• 1 4 • 4 = 1 ||kerrotaan molemmat puolet 3:lla
-15 • 3 4 • 12 = 3
Vertaamalla alkuperäiseen yhtälöön huomataan, että yksi ratkaisu on
x = 3, y = 12
Kaikki ratkaisut:
x = 3 n • (-15)/1 = 3 -15n
y = 12 - n • 4/1 = 12 - 4n, missä n on kokonaisluku.- Ohman
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
OhmanTulipa nyt taas kirjoitusvirheitä:
p.o. : antamani, x = 12 - 15 t, y = 3 - 4 t, toteuta, pitäisi.
Olisi ollut helppo tarkastaa toteuttavatko ratkaisusi yhtälön.
Ohman - Tarkkail1ja
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
- Ohman
Tarkkail1ja kirjoitti:
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
Katsopas tuota yleistä ratkaisua. Akselsson antaa
x = 3 - 15 n ja y = 12 - 4n.
Oikeat ovat
x = 12 - 15 n ja y = 3 - 4 n.
Tarkkailehan tarkemmin!
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Katso: Ohhoh! Miina Äkkijyrkkä sai käskyn lähteä pois Farmi-kuvauksista -Kommentoi asiaa: "En ole.."
Tämä oli shokkiyllätys. Oliko tässä kyse tosiaan siitä, että Äkkijyrkkä sanoi asioita suoraan vai mistä.... Tsemppiä, Mi1305245- 323277
Haluan jutella kanssasi Nainen
Olisiko jo aika tavata ja avata tunteemme...On niin paljon asioita joihin molemmat ehkä haluaisimme saada vastaukset...O161857Poliisiauto Omasp:n edessä parkissa
Poliisiauto oli parkissa monta tuntia Seinäjoen konttorin edessä tänään. Haettiinko joku tai jotain pankista tutkittavak221830Onko mies niin,
että sinulle ei riitä yksi nainen? Minulle suhde tarkoittaa sitoutumista, tosin eihän se vankila saa olla kummallekaan.191675Voitasko leikkiä jotain tunnisteleikkiä?
Tietäisi ketä täällä käy kaipaamassa.. kerro jotain mikä liittyy sinuun ja häneen eikä muut tiedä. Vastaan itsekin kohta711521Tietysti jokainen ansaitsee
Hän varmasti ansaitsee vain parasta ja sopivinta tietenkin, suon sen onnen hänelle enemmän kuin mielelläni. Aika on nyt111395Armi Aavikko Malmin hautausmaa
Haudattiinko Armi arkussa Malmin hautausmaalle vai tuhkattiinko hänet? Kuka tietää asiasta oikein?111306Haluisin suudella ja huokailla
ja purra kaulaasi ja rakastella sinua. Haluisin puristella rintojasi ja pakaroitasi. Ei sinulla taida olla kuitenkaan ni161297Miksi näin?
Miksi vihervassut haluaa maahan porukkaa jonka pyhä kirja kieltää sopeutumisen vääräuskoisten keskuuteen? Näin kotoutumi191277