Miten ratkaistaan 4x-15y=3? En ymmärrä miten saan tästä oikean ratkaisun ja olisi mukava ymmärtää miten saan tämän laskun loppuun asti. Olen laskenut, että syt(4,-15)=1, mutta en sen enempää osaa.
Diofantoksen yhtälö
Anonyymi987
8
173
Vastaukset
- laskee
Tässä en esitä yleistä ratkaisutappa, vaan miten tämän ratkaisee 10:ssä sekunnissa päässälaskuna:
Mieti ensin yhtälöä 4p-15k=1, jossa k=1, eli 4p-15=1. Näet heti, että p:n arvo neljä on tämän ratkaisu. No, jos arvoksi halutaan kolme tuon ykkösen sijasta, niin tietenkin kerrotaan kolmella.
Joten siis x = 3*4 = 12 ja y on 3*1 = 3. - Ohman
4x - 15 y = 3
SYT(4,15) = 1 ja 1 jakaa luvun 3 joten yhtälöllä on ratkaisu.
4*4 1*(- 15) = 1 ja( 4*3, 1 * 3) = (12, 3) on erkoisratkaisu.
(12 t(- 15), 3 - t* 4) on yleinen ratkaisu, kaikki ratkaisut saadaan eri t:n arvoilla.
4(12 t (- 15)) - 15 (3 - t *4) = 48 - 60 t - 45 60 t = 3.
Ohman- Ohman
Yllä siis t on mikä tahansa kokonaisluku.
Selitän vähän ratkaisun metodia. Olkoon lukujen a(1),a(2),...,a(n) syt = (a(1),a(2),...,a(n)).
Yhtälöllä
(1) a(1) x(1) a(2) x(2) ... a(n) x(n) = b
on ratkaisu sjvs kun (a(1),a(2),...,a(n)) l b (a l b tarkoittaa, että a jakaa b:n, b on jaollinen a:lla).
Näin siksi, etttä koska yhtälön (1) vasen puoli on jaollinen tuolla syt:llä niin oikea puolikin on.
Lukujen a ja b syt (a,b) löytyy Euklideen algoritmilla.
Lukujen a(i) syt saaadaan laskemalla ensin vaikkapa (a(n-1),a(n)), sitten (a(n-2), (a(n-1),a(n))) jne.
Tämä menettely johtaa siihen, että noiden a(i)-lukujen syt voidaan lausua niiden lineaarisena yhdistelmänä:
(2) (a(1),...,a(n)) = c(1) a(1) c(2) a(2) --- c(n) a(n)
Koska (a(1),...,a(n)) l b niin b = d * (a(1),...,a(n))
Kun (2) kerrotaan puolittain luvulla d saadaan
(3) d c(1) a(1) ... d c(n) a(n) = b
joten luvut d c(1), d c(2) ,..., d c(n) toteuttavat yhtälön (1).
Jos x(1), x(2),...,x(n) ja y(1),y(2),....,y(n ) ovat ratkaisuja on myös x(1) - y(1), x(2) - y(2),...,x(n) - y(n) yhtälön (1) ratkaisu.
Kahden muuttujan yhtälössä edellisessä kommentissani yleinen ratkaisu saatiin muotoon jossa esiintyi parametri t. n:n muuttujan yhtälön yleisessä ratkaisussa on n - 1 parametriä t(1),t(2),...,t(n-1). Enpä nyt rupea kuluttamaan lauantaiaamua kirjoittamalla sen esityksen näkyville!
Ohman
- Akselsson
Ja sitten lukiossa esitettävä ratkaisutapa:
Suurimman yhteisen tekijän osasitkin jo laskea.
-15 = 4•(-4) 1
4 = (-4)•(-1) 0
siis syt(-15,4)=1
Sitten lähdetään samaa reittiä takaisin päin
-15 - 4•(-4) = 1
-15• 1 4 • 4 = 1 ||kerrotaan molemmat puolet 3:lla
-15 • 3 4 • 12 = 3
Vertaamalla alkuperäiseen yhtälöön huomataan, että yksi ratkaisu on
x = 3, y = 12
Kaikki ratkaisut:
x = 3 n • (-15)/1 = 3 -15n
y = 12 - n • 4/1 = 12 - 4n, missä n on kokonaisluku.- Ohman
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lukioratkaisusi on virheellinen. Yhtälö oli 4x - 15 y = 3.
Kyllä tämän erikoisratkaisu ja yleinen ratkaisu ovat nuo minun viestissäni 19.5 klo 22:47 antaman
x = 12, y = 3 ja
x = 12 - 15 t, 3 - 4 t.
Huomaat kai itsekin etteivät antamasi ratkaisut tpteuta yhtälöä.
Kun rupeaa antamaan neuvoja pitäiusi vähän tarkastaa ovatko ne oikeita!
OhmanTulipa nyt taas kirjoitusvirheitä:
p.o. : antamani, x = 12 - 15 t, y = 3 - 4 t, toteuta, pitäisi.
Olisi ollut helppo tarkastaa toteuttavatko ratkaisusi yhtälön.
Ohman - Tarkkail1ja
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
- Ohman
Tarkkail1ja kirjoitti:
Eihän tuossa muuta virhettä ollut, kun x ja y kopioitu väärin. Ratkaisutapana muuten selkeä.
Katsopas tuota yleistä ratkaisua. Akselsson antaa
x = 3 - 15 n ja y = 12 - 4n.
Oikeat ovat
x = 12 - 15 n ja y = 3 - 4 n.
Tarkkailehan tarkemmin!
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Nainen, tervetuloa
Tule luokseni eka vaikka viikoks tai pariksi. Saisin helliä, kannustaa ja tukea sua ja kokata lempi herkkujasi. Pääsisit417974Olisit ollut varovaisempi
Nyt jos minut hylkäät ja et meidän asiasta minulle mitään ilmoita niin ettet edes anteeksi pyydä, niin tiedä että minä e834656Mies sinä olet kaunis katsella
Olet myös rauhallinen, tavallinen, varovainen, lämmin, poikamainen, komea, ryhdikäs, rentotyylinen, kiva, mukava... jne673361- 552186
Sinulle, tahtoisin kertoa mitä
ajattelen siitä. Ehkä olen väärässä, mutta minusta kuulostaa jonkin alulta, mutta ei kerro minkä. Se selvinnee myöhemmi281719Ensitreffit alttarilla Jyrki paljastaa hääyön intiimiasioista kameroiden sammuttua: "Fyysinen..."
Ooo-la-laa… Ensitreffit alttarilla -sarjassa alkaa hääparien välillä ns. tunteet kuumenemaan. Lue lisää: https://www.s71697Miksi suomussalmelaiset haisee niin pahalle?
Kaupassa käydessä huomaa, miten monet ihmiset haisee todella kammottavalle. Eikö täällä osata käydä pesulla tarpeeksi us171586Persut tyrmäsivät Suomen osallistumisen Ukrainan jälleenrakentamiseen
Siinä meni sitten kokoomusyrittäiltä bisnekset sivun suun putinistipersujen takia. Jälleenrakentamiseen osallistuvat mu3581518Miksi miehet pelkäätte jotain naista?
Iskeekö ujous, paniikki ja hävetys. En ole niin pelottava miltä vaikutan vink vink.581209Nuorisojoukko ryösti merkkikengät teinipojan jalasta Helsingin Itäkeskuksessa.
https://www.is.fi/kotimaa/art-2000010709501.html Muun muassa näidenkin rikosten huomattavan suurista kasvamismääristä vi2791118