Mitä on derivointi?

Itse asiassa derivointi tarkoittaa derivaatan muodostamista, mutta sehän on vain sanoilla leikkimistä.

Derivaatta määritellään virallisesti erotusosamäärän raja-arvona. Raja-arvotarkastelut ovat kuitenkin käytännön kannalta turhia: on olemassa joukko helposti muistettavia sääntöjä (jotka kyllä voi johtaa määritelmästä), joiden avulla "alkeellisten" funktioiden derivaatta on yksinkertainen muodostaa.

Kaikki ekosysteemit toimivat välillisesti tai välittömästi Auringon ydinenergian voimalla. Fuusioreaktiossa, noin viidentoista miljoonan asteen lämpötilassa, vety-ytimet yhtyvät heliumiksi, ja osa vedyn massasta muuttuu energiaksi. Auringosta vapautunut energia siirtyy sähkömagneettisena säteilynä avaruuteen. Vain pienen pieni annos säteilystä kohtaa maapallon pinnan. Se riittää kohottamaan lämpötilan elämälle suotuisaksi.

Säteilyenergia, joka on peräisin Auringossa tapahtuvasta fuusioreaktiosta, säätelee maapallon lämpötaloutta, tuulia, sateita ja merivirtoja. Auringosta saatu energia virtaa elollisen luonnon läpi antaen sille käyttövoiman. Siitä säteilyn osasta, joka kohtaa vihreän luonnon, on vain vajaa puolet näkyvää valoa, muu osa on ihmissilmälle näkymätöntä lyhytaaltoista ultraviolettia ja pitkäaaltoista infrapunaista säteilyä. Vain tuon näkyvän osan sisältämää energiaa voivat vihreät kasvit käyttää hyväkseen. Lyhytaaltoinen ultraviolettisäteily aiheuttaa eliöille haitallisia mutaatioita, jotka mm. alentavat perustuotantoa, synnyttävät silmä- ja ihosairauksia sekä vahingoittavat immuunijärjestelmän toimintaa.

Kasveille käyttökelpoisesta näkyvästä valostakin vain noin 1-2 % pyydystetään klorofylliin, lehtivihreämolekyyleihin. Siellä se sidotaan kemialliseksi energiaksi vedestä ja hiilidioksidista muodostettuihin sokerimolekyyleihin. Näkyvän valon aallonpituus on noin 400-700 nanometriä.

Tapahtumaa, jossa Auringon säteilyenergia muutetaan kemialliseksi energiaksi sanotaan yhteyttämiseksi eli fotosynteesiksi. Raaka-aineinaan fotosynteesi käyttää hiilidioksidia ja vettä. Koska reaktio edellyttää runsasta entsyymitoimintaa, tarvitaan myös ravinteita. Samalla, kun sokeria syntyy, vapautuu sivutuotteena happea. On ilmeistä, että koko ilmakehän happivarasto on syntynyt aikojen kuluessa fotosynteesin kautta.

Vain vihreät kasvit kykenevät sitomaan Auringon energiaa muillekin eliöille käyttökelpoiseen muotoon kemialliseksi energiaksi. Sen vuoksi vihreitä kasveja kutsutaan autotrofeiksi eli omavaraisiksi, kaikki muu elämä on toisenvaraista eli heterotrofista. Paitsi että kasvit sitomallaan valoenergialla tarjoavat energian ja rakennusaineet ekosysteemin ravintoketjuille, ne myös vapauttavat ilmakehään happea. Siksi valossa tapahtuva yhteyttäminen eli fotosynteesi on kaiken elämän perustana maapallolla.

eli lyhyesti:
6CO2 6H2O - > C6H12O6 6O2 ENERGIAA

-T- kirjoitti:

Kaikki ekosysteemit toimivat välillisesti tai välittömästi Auringon ydinenergian voimalla. Fuusioreaktiossa, noin viidentoista miljoonan asteen lämpötilassa, vety-ytimet yhtyvät heliumiksi, ja osa vedyn massasta muuttuu energiaksi. Auringosta vapautunut energia siirtyy sähkömagneettisena säteilynä avaruuteen. Vain pienen pieni annos säteilystä kohtaa maapallon pinnan. Se riittää kohottamaan lämpötilan elämälle suotuisaksi.

Säteilyenergia, joka on peräisin Auringossa tapahtuvasta fuusioreaktiosta, säätelee maapallon lämpötaloutta, tuulia, sateita ja merivirtoja. Auringosta saatu energia virtaa elollisen luonnon läpi antaen sille käyttövoiman. Siitä säteilyn osasta, joka kohtaa vihreän luonnon, on vain vajaa puolet näkyvää valoa, muu osa on ihmissilmälle näkymätöntä lyhytaaltoista ultraviolettia ja pitkäaaltoista infrapunaista säteilyä. Vain tuon näkyvän osan sisältämää energiaa voivat vihreät kasvit käyttää hyväkseen. Lyhytaaltoinen ultraviolettisäteily aiheuttaa eliöille haitallisia mutaatioita, jotka mm. alentavat perustuotantoa, synnyttävät silmä- ja ihosairauksia sekä vahingoittavat immuunijärjestelmän toimintaa.

Kasveille käyttökelpoisesta näkyvästä valostakin vain noin 1-2 % pyydystetään klorofylliin, lehtivihreämolekyyleihin. Siellä se sidotaan kemialliseksi energiaksi vedestä ja hiilidioksidista muodostettuihin sokerimolekyyleihin. Näkyvän valon aallonpituus on noin 400-700 nanometriä.

Tapahtumaa, jossa Auringon säteilyenergia muutetaan kemialliseksi energiaksi sanotaan yhteyttämiseksi eli fotosynteesiksi. Raaka-aineinaan fotosynteesi käyttää hiilidioksidia ja vettä. Koska reaktio edellyttää runsasta entsyymitoimintaa, tarvitaan myös ravinteita. Samalla, kun sokeria syntyy, vapautuu sivutuotteena happea. On ilmeistä, että koko ilmakehän happivarasto on syntynyt aikojen kuluessa fotosynteesin kautta.

Vain vihreät kasvit kykenevät sitomaan Auringon energiaa muillekin eliöille käyttökelpoiseen muotoon kemialliseksi energiaksi. Sen vuoksi vihreitä kasveja kutsutaan autotrofeiksi eli omavaraisiksi, kaikki muu elämä on toisenvaraista eli heterotrofista. Paitsi että kasvit sitomallaan valoenergialla tarjoavat energian ja rakennusaineet ekosysteemin ravintoketjuille, ne myös vapauttavat ilmakehään happea. Siksi valossa tapahtuva yhteyttäminen eli fotosynteesi on kaiken elämän perustana maapallolla.

eli lyhyesti:
6CO2 6H2O - > C6H12O6 6O2 ENERGIAA

Lue lisää

noin sen täytyy olla

Aloitus on vuodelta 2004, joten ehkäpä aloittajalla ei ole enää tarvetta asian selitykseen.

Anonyymi kirjoitti:

Aloitus on vuodelta 2004, joten ehkäpä aloittajalla ei ole enää tarvetta asian selitykseen.

Vastaajilla on varmaankin tarvetta vastaamiseen! Että kyllä tässä tiedetään! No, aika vähäiseltä nuo tiedot kyllä näyttivät mutta kukapas kissan hännän nostaa jos ei kissa itse!

tämä on hyvä!

Yleisesti: Funktion f, x: x-->f(x) derivaatta on funktiomuutoksen f(x h) - f(x) ja muuttujamuutoksen x h osamäärän (erotusosamäärän) raja-arvo, kun h lähenee nollaa ( jos funktio on tuossa pisteessä jatkuva eli molemminpuolinen raja-arvo olemasssa ja sama ).

Yksinkertaisille funktioille, termit muotoa f(x) = a x **n ( a ja x reaaliset, n luonnollinen luku) derivaatta (termeittäin) f'(x) = n a x **(n-1).

Esim. pudotessa tiiliskivenä matka S(t) = 0.5 g t **2 eli hetkellinen nopeus v(t) olisi S'(t) = 2 * 0.5 * 9.81 * t**1 ; siis 10 s kohdalla: v(10) = 0.5 * 9.81= 9.8 m/s (~ 35 km/h).

Monille perusfunktioille on taulukoissa valmiit derivaatat.

Jos derivaatta kohdassa x on positiivinen, funktio on siinä kasvava, ja päinvastoin. Jos derivaatta nollautuu, funktiolla on tässä käännekohta ( tai, edelläolevaa soveltaen) paikallinen maksimi- tai minimiarvo.

Aikaisempi esimerkki "tien jyrkkyydestä" vaatisi 1- ulotteisen funktion ja derivaatan soveltamiseksi hieman täsmennystä, esim valiten tien keskiviivan korkeus metrin välein mitattuna ja jatkuvaksi mallinnettuna tms.

Juuri näin. Ei selvinnyt derivoinnista vielä mitään, ei edes sitä että onko se kenties jotain syötävää.

Anonyymi kirjoitti:

Juuri näin. Ei selvinnyt derivoinnista vielä mitään, ei edes sitä että onko se kenties jotain syötävää.

Reaalilukujen funktio on kartta, joka nimeää yhden ja vain yhden luvun (f), jokaista lukua (x), kohti. Moni asia maailmassa voidaan selittää funktioina. Jokaisella ajan hetkellä voi olla yksi luku, joka kertoo maailmasta jonkin tärkeän seikan. Tai jokaisessa avaruuden pisteessä on jollain jokin oma arvonsa. Vaikka haluat esim. ajatella, että jokaisella avaruuden pisteellä on oltava lukematon määrä reaalilukuja, ennen kuin ne muodostavat mitään merkittävää, voi olla parhainta pitää näitä kaikkia yksittäisinä funktioina (f), mutta tietysti kaikki muukin kuin funktio olisi sallittua.

Yksinkertaiseen käsitteeseen kuten f (x) = x, mahtuu ääretön määrä dataa, koska siihen voi syöttää kaikki x:n arvot. Ja tieto kaikista funktion arvoista f, joita voi olla ääretön määrä, on heti olemassa, jos funktio on jotain mitä voidaan kirjoittaa näkyviin matematiikan käsitteillä.

Derivaatta on peräisin siitä, että on aina mahdollista haluta tietää funktioista "lisää" tai usein pikemminkin esittää se tieto uudenlaisena. Jos haluttaisiin tietää, miten funktio muuttuu, tähän kysymykseen voitaisiin esittää erilaisia merkityksiä muuttumiselle ja erilaisia vastauksia. Yksi tavallinen vastaus on, että funktion muuttuminen on kahden funktion pisteen erotus, joissa vertaillaan siis tietoa neljän reaaliluvun avulla. Muuttumisesta ja sen tiedosta itsestään on hyötyä, koska vaikka se on täysin läsnä siinä, minkä muotoinen ensimmäinen funktio on, maailmassa on kuitenkin asioita, jotka perustuvat yksinkertaisella tavalla ainoastaan muutoksiin eikä ensimmäiseen f:ään. Samalla ihmisten voi olla kuitenkin hyvin mahdotonta tuottaa tietoa siinä muodossa, että se olisi jo alussa jotain muuta kuin f:n arvot. (Monesti voi olla täysin päinvastoin, ja silloin derivoinnin käänteistoimituksella yritetään saada päinvastaista tietoa).

Äskeisessä olisi parasta, jos funktion muutos voitaisiin esittää toisena funktiona, ja sellainen on aina derivoinnin tulos. Kerron vielä kuitenkin minkälainen käsitys muutoksesta derivoinnissa kuitenkin on läsnä. Siinä ajatellaan muutosta suorana viivana, joka piirretään mihin tahansa funktion pisteeseen. Tämän viiva, joka on pikemminkin vasemmalta oikealle osoittava vektori, omaa tässä tapauksessa myös suunnan, ja sen suunta kertoo, miten paljon funktion arvo kasvaa tai pienenee, jos oltaisiin menossa hieman x-akselilla eteenpäin. Suora yrittää olla yksinkertaisen muotoinen funktio g(x) = vakio * x jne., ja saada saman arvon kuin funktio f, kun siirrytään hieman x:llä eteenpäin. Tämä olisi silloin sama kuin kahden pisteen välillä olevan muutoksen seuranta (missä niiden välille muodostuu suora),

Tämä ei ikäänkuin toimi, koska yksi suora ei ole yhtenevä funktion seuraavan pätkän kanssa, jos hahmottelet esim. osan ympyrän kaarta, jolle piirretään reunaan yhden pisteen kautta tangentti. Vain tässä yhdessä pisteessä suora antaisi ikäänkuin tietoa ympyrästä. Huomaa silti, että jokaisen muun pisteen kautta kulkeva vastaava suora on kuitenkin olemassa ja helposti esitettävissä omana funktionaan.

Voidaan kuitenkin väittää, että joissain tapauksissa toinen piste on niin lähellä ensimmäistä, että ollaan lähellä sellaista suoraa, joka ei välttämättä edes sisällä pistettä numero kaksi, mutta jolle käy siten, että sama suora on lähellä myös muutosta, joka olisi tapahtunut ennen ensimmäistä pistettä, jos sielläkin tarkasteltu x:n arvo tuodaan äärettömän lähelle. Lopullinen suora on silloin jonkinlainen tieto kyseisen funktion arvosta (mikä yleensä kuitenkin hävitetään, jos tehdään derivoitu funktio, joka on vain suoran kulmakerroin) ja lisäksi sen muodosta ja suunnasta tämän arvon ympärillä, mitkä molemmat viittaavat muutokseen funktion arvon suuruudessa pienillä väleillä. Fakta, että derivoituun funktioon tarvitaan yhtä pistettä varten tietoa yhden pisteen ympäriltä, johtaa myös derivoitumattomiin tapauksiin.

Ei se sivuva taso kyllä mikään derivaatta ole. Kolmiulotteisille pinnoille voidaan määrittää osittaisderivaatat tai derivaatta tiettyyn suuntaan. Ja gradientti antaa suurimman muutosnopeuden.