Vaikeat differentiaaliyhtälöt

Näissä ei oikeastaan ole väliä kuinka näitä ratkoo, ja yksi menetelmä onkin sivistynyt arvaus, ja ekassa voi päätellä, että pakko sen on olla eka asteen polynomi Ax B, ja kun sitä kokeilee, niin tulee: A-Ax-B=0, eli B=0, joten y=Ax.

Sitä voi ratkaista myös separoimalla: (x*dy/dx)-y=0=>dy/y=dx/x, ja integroimalla:

lny=lnx lnC=lnCx, eli y=Cx.

Tokaa separoimalla: dy/dx-(2xy^2)=0=>dy/y^2=2x*dx, ja integroimalla:

-1/y=x^2 C, eli y=-1/(x^2 C)

tuosta voi tarkistaa
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y`-2xy^2=0

Ensimmäisenä tulee tunnistaa mitä tyyppiä yhtälöt ovat. Arvailu jääköön amatööreille ja keskitymme johdonmukaiseen ja systemaattiseen ratkaisuun.

a) on yleinen ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö eli y' a(x)y = f(x). Huomion arvoista on että se EI ole vakiokertoiminen, joten jos lähdet veikkaamaan yritteellä exp(lambda) karakterista polynomia, se todellakin menee päin mäntyä. Ratkaisu löytyy määräämällä ns. integroiva tekijä p(x), jonka jälkeen kylläkin menee suurinpiirtein kuten alla on mainittu. Tämä on homogeeninen yhtälö (f(x)=0). Saatat haluta myös googlettaa termin "normaalimuoto", sillä tämä todellakin tulee saada normaalimuotoon ennen integroivan tekijän määräämistä.

b) on Bernoullin yhtälö muotoa y' A(x)y = B(x)y^k. Tässä tapauksessa A(x)=0. Ratkaisu lähtee sijoittamalla z = y^(1-k) y = z^(1/(1-k)) ja pyörittelemällä potensseja. Niiden laskusäännöt on syytä kerrata, sillä vaikkakin nämä ratkeavat joka kerta samalla tavalla niin laskuvirheitä tulee helposti.