Onko U = {(x, y, z) | z = 2x + y} avaruuden R3 aliavaruus?

Ja entäpä jos vastaava tehtävä on muodossa:
U = { (a,b,c) | 2x = 3yz }

tai

U = { (a,b,c) | a b > c } ?

Avaruden R^n aliavaruuksia ovat mm. origon kautta kulkevat hypertasot (uletteisuus n-1) ja origon kautta kulkevat suorat (ulotteisuus 1) sekä ulotteisuudeltaan näiden välissä olevat lineaariset monistot.

Yleisesti joukko A on R^n:n aliavaruus kun seuraavat ehdot ovat voimassa:
- Jos piste x (siis n luvun yhdelma) kuuluu joukkoon A, niin piste cx kuuluu myös (c on reaaliluku). Erityisesti, jos c = 0, niin cx = 0, eli origo kuuluu A:han.
- Jos pisteet x ja y kuuluvat joukkoon A, niin x y kuuluu myös.

Tarkastellaan sitten R^3:n joukkoa {(x,y,z): z = 2x y} = {(x,y,z): 2x y - z = 0}.
Olkoot (x1,y1,z1) ja (x2,y2,z2) annetun joukon pisteitä. Silloin siis

2x1 y1 - z1 = 0. Otetaan piste c*(x1,y1,z1) = (cx1,cy1,cz1). Todetaan, ett'

2 * cx1 cy1 - cz1 = c*(2x1 y1 - z1) = 0, joten piste c * (x1,y1,z1) kuuluu joukkoon, jos (x1,y1,z1) kuuluu siihen.

Kun 2x1 y1 - z1 = 0 ja 2x2 y2 - z2 = 0, niin on myös voimassa
2(x1 x2) (y1 y2) - (z1 z2) = 0. Näin myös pisteiden summa kuuluu joukkoon.

Toisessa tehdävässä kyseessä on toisen asteen pinta, joka ei ole lineaarinen monisto.

Kolmannessa kohdassa on kyseessä tietyn tason toisella puolella olevien pisteiden joukko. Todetaan, että jos kerroin w on negatiivinen, niin wa wb ei ole < wc, koska silloin on voimassa wa wb > wc. Tämäkään joukko ei siis ole aliavaruus.

Kiitos sinulle!