Mikä on Banachin kiintopistelause?
Näyttäkää sen sovellus osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa.
Kirjoittakaa kaikki tuntemanne fysikaalisia ilmiöitä kuvaavat osoittaisdifferentiaaliyhtälöt. Voi aloittaa aaltoyhtälöstä, Laplacen yhtälöstä, diffuusioyhtälöstä, sekä Poissonin yhtälöstä, aina Diracin yhtälöön, tai neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaalyhtälöihin lopuksi, jotka kuvaavat elastistisia aineita.
Kirjoittakaa auki elementtimenetelmillä tai finite-difference mentelmillä tehdyn osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu johonkin ylläolevaan! Ei saa olla liian helppoja yhtälöitä, esim. Laplacen yhtälön ratkaisuesityksestä saa lähinnä miinuspisteitä.
Kirjoita essee Poissonin yhtälöstä. Aloita vaikka otsikolla "Minä ja Poissonin yhtälö", sekä sovellus kermakakkuun ja sen lähteisiin. Myös potentiaaliteoriaa voi miettiä.
Tensoreista: Kirjoittakaa auki jokin Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöiden ratkaisu. Tai saa niitä tensoreita soveltaa myös anisotrooppisiin aineisiin.
Inversio-ongelmat: kirjoita essee miksi inversio-ongelmat ovat helppoja.
Näyttäkää sen sovellus osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa.
Kirjoittakaa kaikki tuntemanne fysikaalisia ilmiöitä kuvaavat osoittaisdifferentiaaliyhtälöt. Voi aloittaa aaltoyhtälöstä, Laplacen yhtälöstä, diffuusioyhtälöstä, sekä Poissonin yhtälöstä, aina Diracin yhtälöön, tai neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaalyhtälöihin lopuksi, jotka kuvaavat elastistisia aineita.
Kirjoittakaa auki elementtimenetelmillä tai finite-difference mentelmillä tehdyn osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu johonkin ylläolevaan! Ei saa olla liian helppoja yhtälöitä, esim. Laplacen yhtälön ratkaisuesityksestä saa lähinnä miinuspisteitä.
Kirjoita essee Poissonin yhtälöstä. Aloita vaikka otsikolla "Minä ja Poissonin yhtälö", sekä sovellus kermakakkuun ja sen lähteisiin. Myös potentiaaliteoriaa voi miettiä.
Tensoreista: Kirjoittakaa auki jokin Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöiden ratkaisu. Tai saa niitä tensoreita soveltaa myös anisotrooppisiin aineisiin.
Inversio-ongelmat: kirjoita essee miksi inversio-ongelmat ovat helppoja.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Kuvitteletko tosiaan, että ihmiset rupeasivat kirjoittamaan sinulle tuollaisia esseitä & tekemään tuollaisia tehtäviä? Tee itse, laiska paska.
tänään jo selvä päivä? Lähde aurinkoon....
Mitäh!? Ei mitään ratkaisuja vielä. TE olette selvästi laiskoja. Nämä eivät ole muuten kotitehtäviä tms.
tuiteri-ilta? Hra matematikko itse laiska. Esim. inv.ongelma neliöjuuri 9. Koulukirja sanoo, että periaatteessa plus miinus 3, mutta yksinkertaisuuden ja asian hallinnassa pitämisen vuoksi *sovitaan* vain plus 3 (ellei juuri sillä kertaa erityisesti jotain muuta sovita). Siis mikä ihmeen halu mennä siitä missä aita matalin! Ei haasteita hakeva porsaan reikiä etsi, vaan suuri into tarttua ongelmaan on palava.
ps. taidanpa tarttua inversion ongelmaan ja ratkaisen medium miinaharavan, tuloksen voin julkaista joskus jos hyvin menee
Uppaillaan. Teettekö te matemaatikot mitään järkevää (itse en ole matemaatikko)?
Tiedä häntä onko palstalla matemaatikkoja, harjottelijoita sellaisia voi olla. Mutta kun todellisuus vähitellen paljastuu, alkavat tehdä jotain muuta (järkevääkin(!)). Onko kohdallasi tilanne tuo? Jos, niin kannattaa muistaa, että tuottavasta työstä saat periaatteessa jonkinlaista siivua itsellesikin, sen ohella että kansalaisvelvollisuutesi on raataa vapaamatkustajienkin puolesta niin, että takaat myös heille ihan mukiin menevät tulonsiirrot.
Toinen työläämpi vaihtoehto on yrittää taklata anakin osa tai jokin noista aloituksesi aiheista ja yritää saada sympatiaa itselleen sitä kautta, aiheena esim ehdottamasi kermakakkuepisodi Poissonin yhtälön (ja ehkä kohtuullisessa määrin hallittujen omienkin ajatusteni) valossa. Kumuloituuko rojektiin muutakin synergiavaikutusta lisäksi, se jäänee sitten aikanaan nähtäväksi ja koettavaksi.
Saako täältä oikeasti vastauksia matikan ongelmiin? Minulla olisi yksi avaruusvektoreita koskeva kysysmys. On olemassa origosta lähtevä y-akselin suuntainen vektori, jonka pituutta ei tiedetä. Lisäksi on kolme pistettä, joiden koordinaatit tunnetaan sekä kulma kustakin pisteestä tämän y-akselin suuntaisen vektorin alku- ja loppupisteeseen. Kuinka näillä tiedoilla voidaan laskea tuon y-akselin suuntaisen vektorin päätepisteen koordinaatit? Vai voidaanko?
Yksikin tähystyspiste riittää (se ei saa olla y-akselilla). Olkoon se (u,v,w). y-suuntainen vektori näkyy siis kulmassa a. Otetaan kolmio, jonka kärki on tähystyspiste ja muina kärkinä vektorin päätepiste ja origo. Tähystyspisteestä piirretään kolmion korkeusjana, jonka kantapiste on y-akselilla. Korkeusjanan pituus on = pisteen (u,0, w) etäisyys origosta. Kantapisteen etäisyys origosta on v.
Tähystyspisteestä origoon piirretyn suoran ja korkeusjanan välinen kulma on b. Nyt tan(b) tunnetaan. Korkeusjanan ja vektorin toiseen päähän piirretyn suoran välinen kulma on a-b, jos v on suurempi kuin 0 ja pienempi kuin vektorin pituus. Kulmasta a-b ja korkeusjanan pituudesta saadaan vastakkaisen kateetin pituus k. Nyt vektoirn pituus on v k.
Riippuen pisteen (u,v,w) v-koordinaatista voi olla erilaisia tapauksia, jotka ehkä voidaan yhdistää valitsemalla suureiden määritelmät sopivasti.
Kiitos vastauksesta, lähes melkein ymmärsin sen :) Taisin yksinkertaistaa kysymystäni liikaa laittamalla tuon tuntemattoman vektorin y-akselille. Parempi, että kerron ongelmani, enkä yritä muotoilla sitä matematiikan kielelle. Haluan "etämitata" kohteen korkeuden ja tiedän mittauspaikkojen koordinaatit ja kulmat kohteen alku- ja loppupäähän. Huom! mittauspisteet voivat olla eri tasoissa ja eri etäisyydellä kohteesta, jonka koordinaatteja ei tiedetä. Maalaisjärki sanoo, että sen pitäisi olla mahdollista, mutta järki ei riitä laskemiseen. Eikö gps tiedä sijaintinsa hiukan vastaavalla tavalla, puhutaan aina kolmen satellitin minimimäärästä ja satelliitithan ovat kai noita tunnettuja pisteitä?
Olet oikeilla jäljillä aika pitkällä päättelyissäsi, luulen että noilla tiedoilla ratkaisetkin sen kun vain jatkat..
Puheena oleva tähtä kylläkin ratkaeaisi parhaiten kävelemällä sen tornin luo ja käyttämällä puun korkeuden mittaamismenetelmiä. Muuten tehtävä on hankala:
Tehdään ensin jotain täsmennyksiä. Oletetaan, että tuntemattomassa pisteessä (x,y,0) on z-akselin suuntainen tolppa, jonka korkeus on z. Meillä on siis kolme tuntematonta. Pitää olla näin ollen kolme tähystyspistettä, joista näkökulmat mitataan.
Tarkastellaan yhtä tähystyspistettä, jonka tunnetut koordinaatit ovat (u,v,w). Muodostetaan kolmio, jonka kärjet ovat tähystyspiste ja tolpan alin ja ylin piste. Tähystyspisteen etäisyys tolpan alapäästä olkoon K. Silloin
K^2 = (x - u)^2 (y - v)^2 w^2.
Tähystyspisteen etäisyys tolpan yläpäästä olkoon L. Silloin
L^2 = (x - u)^2 (y - v)^2 (z - w)^2.
Jos näkökulma e.m. tähystyspisteestä on a, niin cosinilauseen nojalla
(C) z^2 = K^2 L^2 - 2*K*L*cos(a).
Yhtälöä (C) ehkä voidaan hieman yksinkertaistaa. Muodostaan samanlaiset yhtälöt muillekin tähystyspisteille. Näin saadaan epälineaarinen kolmen yhtälön ryhmä, missä on kolme tuntematonta x, y ja z. Sitä vaan sitten ratkaisemaan sitä!! Yhtälöryhmä on todennäköisesti erittäin epästabiili. Ainakin se voidaan sanoa, että tähystyspisteiden tulisi olla selvästi toisistaan poikkeavilla etäisyyksillä tolpasta. Jos myös tolpan alapään korkeus on tuntematon, niin tarvitaan vastaavasti 4 tähystyspistettä.
Miten sitten ratkaistaan numeerisesti epälineaarinen yhtälöryhmä
f(x,y,z) = 0
g(x,y,z) = 0
h(x,y,z) = 0 ?
Määrätään (numeerisesti) funktion f^2 g^2 h^2 minimipisteet, joissa minimoitavan funktion arvo on 0. Siihen on olemassa runsaasti menetelmiä.
Kiitos Tähys vastauksistasi. Yritän rakennella tuon kosinilauseen ympärille jotain..