Eri kappaleiden tilavuuksia on kyselty tällä palstalla ahkerasti. Kuitenkin suurin osa kysytyistä kappaleista on ollut melko triviaaleja: esim. kuution tilavuus on yksinkertaisesti a^3 jos a on kuution sivun pituus. Hieman hankalampi pähkinä on, että löytyykö yleistä yhtälöä, jolla voisi laskea ns. Platonin kappaleiden tilavuudet? Samalla kaavalla pystyisi siis laskemaan tilavuudet tetraedrille, kuutiolle, oktaedrille, dodekaedrille ja ikosaedrille. Jos Platonin kappaleet (tai monitahokkaat) eivät ole tuttuja, alla on linkki asiaa käsittelevälle sivulle:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Platonin_kappale
Jos joku onnistuu keksimään kyseisen kaavan, hän on yksi palstan matemaattisesti taitavimmista henkilöistä. Asiaa ei nimittäin ole ihan helppo kaivaa netistä. HUOM! Internet on pullollaan tilavuuden kaavoja monitahokkaille, mutta ovatko ne saman kaavan ilmentymiä?
http://fi.wikipedia.org/wiki/Platonin_kappale
Jos joku onnistuu keksimään kyseisen kaavan, hän on yksi palstan matemaattisesti taitavimmista henkilöistä. Asiaa ei nimittäin ole ihan helppo kaivaa netistä. HUOM! Internet on pullollaan tilavuuden kaavoja monitahokkaille, mutta ovatko ne saman kaavan ilmentymiä?
Vastaukset 14
Vanhimmat
No eipä se asian kaivaminen netistä nyt niin hirveän vaikeaa ollut. Löytyy vastaavasta englanninkielisestä wikipedia-artikkelista http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid
Jos ajatellaan ikosaedria tai dodekaedria, niin voi käyttää niiden symmetriaominaisuuksia. Jaetaan kappale pyramideiksi joiden kaikkien huippu on kappaleen keskipisteessä. Ikosaedrilla pyramidin pohjatasot ovat tasasivuisia kolmioita ja dodekaedrilla säännöllisiä viisikulmioita. Sitten yritetään laskea yhden pyramidin tilavuus. Helppoa, mutta silti yksinkertaista ;
Tjaah. En ihan ymmärrä mitä haet takaa. Olkoon monitahokkaan sivun pituus s. Jos ikosedrin tilavuuden kaava on I(s), dodekaedrin D(s), kuution K(s), tetraedrin T(s), oktaedrin O(s), niin aina voidaan muodostaa funktio
f(a,b,c,d,e,s)=aI(s) bD(s) cK(s) dT(s) eO(s),
jolloin tuosta kaavasta saadaan kuution tilavuus f(0,0,1,0,0,s), dodekaedrin tilavuus on f(0,1,0,0,0,s), ikosaedrin f(1,0,0,0,0,s) jne.
Esityksesi luetteli erilaisille kappaleille kaavat, joista valitaan kuhunkin tapaukseen sopiva. ?
Ymmärsin että haussa olisi ollut yleispätevä tilavuuden kaava esim. V=f(a,b), jossa a on sivun pituus ja b tahojen lukumäärä.
Lieneekö olemassa, johdettavissa se kaiketi on, mutta millainen "hirviö".
Jos sivun pituus on yksi, niin tilavuudet löytyvät sivulta http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html . Homotetialla saadaan selville tilavuudet, kun sivun pituus on mielivaltainen a. Tämä on helppo muuttaa paloittain määritellyksi funktioksi.
Skaalaus riittää mielvaltaisen a:n laskentaan, mutta mielivaltainen tahojen määrä tuottanee hiukan päänvaivaa.
Mutta Platonin kappaleita on vain viisi, joten mihin tarvitset mielivaltaisuutta? Et tarvitse kuin funktion, joka on määritelty b:n suhteen viidessä eri pisteessä ja saa b:n suhteen viisi eri arvoa.
Ilmeisesti puhumme nyt eri asioista.
Jokaisellehan on erikseen laskentakaava tilavuudelle joten tarvetta ei ole kehittää erilaisia tapoja.
Tässä heitettiin visio kaavasta, siis vain yksi kaava, jolla voisi laskea minkä hyvänsä noiden tilavuuden. (näin ainakin ymmärsin), jolloin kaavassa olisi muuttujana em esitetyt arvot a ja b , ja ne sijoittamalla saataisi tilavuus.
Tilavuus on muotoa a^3* jokin vakio.
Esitetty heitto tarkoitti kai sitä, voisiko tuon vakion määritellä b.n funktiona niin että se olisi pätevä jokaiseen tapaukseen.
Ok. Ilmeisesti matemaattisessa sivistyksessäni on aukko kun en tiedä kaavan määritelmää. Näköjään kaikki paloittain määritellyt funktiot eivät ole kaavoja.
Ahaa. Lagrangen interpolaatiopolynomilla saadaan kyllä lauseke, joka kuvaa viisi annettua lukua toisille annetuille luvuille. Mutta tässä on se ongelma, että tällöin lauseke laskisi myös arvon vaikkapa 1000-tahokkaalle, vaikka ei ole säännöllistä 1000-tahokasta. Siten kuvaus tulisi olla muotoa {4,6,8,12,20}->{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5}, missä x:t ovat sopivat kertoimet.
Luulisin että ne viisi oikeaa riittää, muista epätodennäköisistä ja niiden ongelmista ei kannata kantaa huolta.
Ilmeisesti kukaan ei käynyt sitten lukemassa, mitä tuolla linkittämälläni englanninkielisellä wikipedia-sivulla sanotaan.
Merkitään p = tahkon sivujen lukumäärä, q = kärjestä lähtevien särmien määrä.
Tällöin:
tetraedri: p = 3, q = 3
kuutio: p = 4, q = 3
oktaedri: p = 3, q = 4
dodekaedri: p = 5, q = 3
ikosaedri: p = 3, q = 5
Tahkojen välinen kulma θ voidaan ratkaista yhtälöstä:
sin(θ/2) = cos(π/q)/sin(π/p)
Kun sivun pituus on a, on tahkon ja kappaleen keskipisteen muodostaman pyramidin korkeus:
r = (a/2)(cot(π/p))(tan(θ/2))
Kappaleen pinta-ala saadaan kaavasta:
A = (a/2)^2*F*p*cot(π/p)
missä F on tahkojen lukumäärä.
Koska alassa on tahkojen lukumäärä huomioitu, saadaan tilavuus sitten suoraan pyramidin tilavuuden kaavasta:
V = (1/3)rA
Siitä vain sitten ratkaisemaan. Tuolta samalta wikipediasivulta löytyy valmiiksi laskettuna tarvittavat välitulokset.
Ilmeisesti kukaan ei ole viitsinyt lukea avaajan kysymystä kokonaan.
" että löytyykö yleistä yhtälöä, jolla voisi laskea ns. Platonin kappaleiden tilavuudet? Samalla kaavalla pystyisi siis laskemaan tilavuudet tetraedrille, kuutiolle, oktaedrille, dodekaedrille ja ikosaedrille. "
Tossa edellä asia oli yksinkertaistettu että noiden jokaisen tilavuus on muotoa vakio kertaa sivun kuutio, ja vakion suuruus riippuu tahkojen lukumäärästä.
Yksi kaikkiin soveltuva kaava ei vieläkään ole sama asia kuin jokaiselle erikseen annetut vakiokertoimet.