funktion monotonisuus

1 mikä funktio (tehtävä tekee tuloksen)
,5 kai jää.

0/ääretön

EN osoita mitä pitäisi osoittaa, tehtävän antajan pitää ensin osoittaa irrationaalilukujen täsmällinen summa?

Annetaan nyt ihan ensin vihjeeksi linkki:

http://fi.wikipedia.org/wiki/Monotoninen_funktio

Josta alakohta "Monotonisuuden tutkiminen" on se, mitä tässä haetaan.

Toiseen tehtävään: Yhtälöllä on ainakin yksi reaalijuuri jos se on jatkuva ja saa erimerkkisiä arvoja jonkun välin päätepisteessä. Yhtälöllä on korkeintaan yksi reaalijuuri jos se on monotoninen (jos arvot vain joko kasvavat tai vähenevät juuren "jälkeen", eikö olekin ilmeistä, ettei funktio voi enää saavuttaa nollaa?).

2. Osoita, että yhtälöllä on tasan yksi reaalijuuri
a. x³ 3x=x² 2

a)
x³ 3x = x² 2 x³ - x² 3x - 2 = 0
Tämän yhtälön juuret ovat funktion
f(x) = x³ - x² 3x - 2
nollakohtia.
f´(x) = 3x² - 2x 3
f`´(x) = 0 3x² - 2x 3 = 0
Tällä yhtälöllä ei ole (reaalisia) juuria, koska
D = (-2)² - 4 * 3 * 3 = -32 < 0
Derivaattafunktion kuvaaja on siis ylöspäin aukeva paraabeli, jolla ei ole yhtään nollakohtaa.
=> f´(x) > 0 kaikilla x:n arvoilla
=> f(x) aidosti kasvava

f(0) = 0³ - 0² 3 * 0 - 2 = -2 < 0
f(1) = 1³ - 1² 3 * 1 - 2 = 1 > 0
Funktio f(x) on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla.
Näin ollen funktiolla f(x) on Bolzanon lauseen nojalla ainakin yksi nollakohta välillä ]0, 1[ eli siten myös välillä [0, 1].
Koska f(x) on aidosti kasvava, sillä on tasan yksi nollakohta, joka löytyy väliltä [0, 1].
Siten yhtälöllä
x³ - x² 3x - 2 = 0 x³ 3x = x² 2
on tasan yksi juuri. □

2. Osoita, että yhtälöllä on tasan yksi reaalijuuri
b. x²(x 3)=(x-1)²

b)
x²(x 3) = (x - 1)²
x³ 3x² = x² - 2x 1
x³ 2x² 2x - 1 = 0
Tämän yhtälön juuret ovat funktion
g(x) = x³ 2x² 2x - 1
nollakohtia.
g´(x) = 3x² 4x 2
g´(x) = 0 3x² 4x 2 = 0
Tällä yhtälöllä ei ole (reaalisia) juuria, koska
D = 4² - 4 * 3 * 2 = -8 < 0
Derivaattafunktion kuvaaja on siis ylöspäin aukeva paraabeli, jolla ei ole yhtään nollakohtaa.
=> g´(x) > 0 kaikilla x:n arvoilla
=> g(x) aidosti kasvava

g(0) = 0³ 2 * 0² 2 * 0 - 1 = -1 < 0
g(1) = 1³ 2 * 1² 2 * 1 - 1 = 4 > 0
Funktio g(x) on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla.
Näin ollen funktiolla g(x) on Bolzanon lauseen nojalla ainakin yksi nollakohta välillä ]0, 1[ eli siten myös välillä [0, 1].
Koska g(x) on aidosti kasvava, sillä on tasan yksi nollakohta, joka löytyy väliltä [0, 1].
Siten yhtälöllä
x³ 2x² 2x - 1 = 0 x²(x 3) = (x - 1)²
on tasan yksi juuri. □

2. Osoita, että yhtälöllä on tasan yksi reaalijuuri
c. x³ 4x=3(x²-1)

c)
x³ 4x = 3(x² - 1)
x³ 4x = 3x² - 3
x³ - 3x² 4x 3 = 0
Tämän yhtälön juuret ovat funktion
h(x) = x³ - 3x² 4x 3
nollakohtia.
h´(x) = 3x² - 6x 4
h´(x) = 0 3x² - 6x 4 = 0
Tällä yhtälöllä ei ole (reaalisia) juuria, koska
D = (-6)² - 4 * 3 * 4 = -12 < 0
Derivaattafunktion kuvaaja on siis ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole yhtään nollakohtaa.
=> h´(x) > 0 kaikilla x:n arvoilla
=> h(x) aidosti kasvava

h(-1) = (-1)³ - 3 * (-1)² 4 * (-1) 3 = -5 < 0
h(0) = 0³ - 3 * 0² 4 * 0 3 = 3 > 0
Funktio h(x) on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla.
Näin ollen funktiolla h(x) on Bolzanon lauseen nojalla ainakin yksi nollakohta välillä ]-1, 0[ eli siten myös välillä [-1, 0].
Koska h(x) on aidosti kasvava, sillä on tasan yksi nollakohta, joka löytyy väliltä [-1, 0].
Siten yhtälöllä
x³ - 3x² 4x 3 = 0 x³ 4x = 3(x² - 1)
on tasan yksi juuri. □

Tarvitsetko vielä apua tuohon ensimmäiseen tehtävään vai osaatko tehdä sen annettujen neuvojen avulla?

Kiitos! Selviän näillä neuvoilla!