Integrointi

Paras lopputulos tulee, kun haet kirjastosta kunnon oppikirjan (melkeinpä sama miltä vuodelta) ja opiskelet itse. Netistä löytyy myös "M niinkuin matematiikka", joka kattanee lukiomatematiikan ja soveltuu mielestäni itseopiskeluun.

ei wikipedia mikään oppikirja ole, se on vain sekalainen mössö kaavoja ja käsitteitä koko matematiikan historian ajalta tuosta aiheesta, eikä siitä voi mitään tolkkua saada jos ei ennakolta tietoa ole. Eli se on hyvä niille, jotka hallitsevat teorian periaatteessa ja palauttavat vain mieleen jotain yksityiskohtia, koska ei kaikkea yksityiskohtia voi eikä tarvitse joka hetki ulkoa muistaa.
Koulukirjasta tai vastaavasta se on liikkeelle lähdettävä.

Se virkkuukoukku on integraalin merkki, siinä kuin f' tai D on derivaatan merkki :)
Se on hieman oiennut ison S:n profiilista, koska integraali on olemukseltaan jonkinlainen Summa. Silloin kun integraalia käytetään esim. pinta-alan laskemiseen, ne kirjaimet koukun päissä tarkoittaa niitä rajoja (ala-, ylä-) jolla välillä lukusuoraa (x-akselia) hommaa tehdään. Mutta, oppia ikä kaikki, usvaa vain putkeen....

No kiitti vastauksista. Paljon asiaa helpottaa, että motivaatiota on vaikka tietoa ei vielä!

Integroinnin perusidea on tarkastella jonkin suureen arvoa tietyn käyrän suhteen. Integroinnin (tai yhtäpitävästi suureen arvon tarkastelu käyrän suhteen) tarpeellisuus tulee vastaan silloin, kun tarkasteltavan suureen arvo muuttuu halutun käyrän suhteen. Integraali nimensä mukaisesti kuvaa jonkin suureen kokonaisvaikutusta tai kertymää halutulla tarkasteluvälillä.

Luonnosta löytyy rajattomasti tapauksia, jossa suureet eivät pysy vakioina, vaan ne muuttuvat esimerkiksi ajan suhteen. Muutos ei kuitenkaan tarvitse tapahtua aina väistämättä ajan suhteen, vaan se voi olla vaikka paikka, lämpötila, paine tai jopa mieliala. Kuvitellaan, että haluaisimme tarkastella erään henkilön ilmeitä eri mielialojen aikana. Oletetaan teoreettisesti, että mielialat ja kasvojen ilmeet tunnetaan (kyseiseltä henkilöltä). Saamme jatkuvan funktion, jossa tiettyä mielialaa vastaa jokin kasvojen ilme. Halusimme tarkastella kyseisen henkilön ilmeitä eri mielialojen suhteen, joten valitsemme tarkasteluväliksi vaikkapa kaikki iloiset mielialat (yhtä hyvin voisimme valita kaikki mielialat eli integroisimme koko käyrän yli, mutta tässä tapauksessa valitsimme iloiset mielialat). Kysymys siis kuuluu, että kuinka paljon kyseessä oleva henkilö ilmehtii kokonaisuudessaan iloisten mielialojen aikana. Ratkaisuksi saamme jonkin kyseistä tapausta kuvaavan luvun (joka on siis vakio jos tarkasteluväli on määrätty, koska meidän funktio pysyy samana kyseisellä välillä). Henkilö siis ilmeilee aina tietyn verran kun valitsemme jonkun välin (se voi olla myös nolla jos henkilö ei hymähdä).

Jotta meidän ratkaisemasta suureesta olisi jotain hyötyä, niin meidän pitäisi integroida vielä jonkun toisen ihmisen ilmeet (voisimme integroida vaikka miehen ja naisen ilmeet ja ihmetellä eroja). Yleisesti tähän kyseisen suureen arvoon vaikuttaa tarkasteluvälin pituus ja itse ilmeiden "voimakkuus". Otetaan esimerkkinä kaksi henkilöä, jotka ilmeilevät täysin samalla tavalla kaikkien mielialojensa suhteen (funktio identtinen). Nyt jos integroimme henkilön 1 ilmeitä vaikkapa välillä A ja henkilön 2 ilmeitä vaikkapa välillä B, missä A>B, niin saamme tuloksen, jossa henkilön 1 integraali on mahdollisesti suurempi ja vähintään sama kuin henkilön 2. Tilanne yksinkertaistuu, kun valitaan integroitavaksi funktioksi vakio (>0), eli henkilöillä on yksi ja sama ilme aina tarkasteltavalla välillä (kaikki mielialat). Koska nyt tarkasteltava suure on vakio, niin integrointi ei ole tarpeen (eli voimme unohtaa käyrän suhteen tarkastelun) ja siten tuloksena saadaan luku, joka on sitä suurempi, mitä pidemmälle valitaan tarkasteluväli. Samoiten tulos on sitä suurempi, mitä voimakkaampi kyseinen ilme on. Matemaattisesti voimme ilmaista asian tavallisella kertolaskulla, missä kerrotaan tarkasteluväli ja ilmeen voimakkuus keskenään. Merkataan mielialoja kirjaimella m ja ilmeitä kirjaimella i. Saimme alussa funktion i(m) ja totesimme, että sen integraali (tai kokonaisvaikutus) on laskettavissa kertolaskulla silloin, kun i(m)=vakio. Eli jos esim. i(m)=c, niin silloin i(m):n integraali on i(m)dm=cdm, jossa dm on joku mielialaväli.

Kun i(m) ei ole vakio, niin joudumme integroimaan, eli tarkastelemaan kyseisestä suuretta haluamamme käyrän suhteen. Tässä tapauksessa meillä on mielialat m. Kun lähdemme tarkastelemaan suureen käyttäytymistä käyrän suhteen, niin joudumme etenemään vaiheittain käyrää pitkin niin, että meidän askel on rajattoman pieni. Samalla kun lyhennämme askelta, niin pikkuhiljaa tarkasteltavan suureenkin arvo vakioituu ja saamme pienen palasen sitä mitä haluamme. Jos merkataan vaikka funktion i(m) integraalia isolla I(m):llä (integraali I(m) riippuu vain ja ainoastaan m:stä, koska m on juuri se käyrä, jonka suhteen integroidaan), niin pieni palanen (tai differentiaali) meidän integraalia on dI(m), joka siis on vakio. Meidän lyhyt askel on dm ja kun se on tarpeeksi pieni, niin myös i(m) on vakio ja siten voimme laskea pienen palan integraalia dI(m)=i(m)dm. Kyseisestä yhtälöstä voi nähdä suoraan, että i(m) vaikuttaa siihen, miten I(m) muuttuu, eli i(m) on I(m):n derivaatta. Voimme siis ratkaista tehtävämme antiderivoimalla annetun funktion i(m), mikäli kyseiselle funktiolle löytyy jokin antiderivoimissääntö. Käytännön sovelluksissa voidaan approksimoida funktioita joillakin tunnetuilla funktioilla ja siten antiderivointi onnistuu, mutta tavallisesti integraali lasketaan pala palalta yhteen ja siksi sitä merkitään jonkun differentiaalin (=palan) dY=ydx summana.