12 henkilöä arvotaan jonoon. Millä todennäköisyydellä kahden tietyn henkilön A ja B välissä on enintään yksi henkilö? Oikea vastaus 7/22 mutta miten lasketaan??
Todennäköisyys tehtävä
Pitkä matikka
8
2299
Vastaukset
- osittaja
Oletko koettanut jakaa osiin? Moneenko paikkaan B voi mennä, jos A on jonossa ensimmäisenä tai viimeisenä? Entä jos A on toisena tai toiseksi viimeisenä? Tai jos A:n edessä ja takana on ainakin kaksi ihmistä?
- 11+8
A on todennäköisyydellä 2/12 rivissä 1. ja silloin B:llä on todennäköisyys 2/11 olla 2. tai 3. Sama sille, että A on 12. ja B 10. tai 11. A:lla on todennäköisyys 1/12 olla rivissä 2. ja silloin B:llä on todennäköisyys 3/11 olla 1., 3. tai 4. Sama sille, että A on 11. ja B 9., 10, tai 12. A:lla on todennäköisyys 8/12 olla 3.-10 ja silloin B:llä on todennäköisyys 4/11 olla enintään kahden päässä. Haettu todennäköisyys on siis:
2/12 * 2/11 2/12 * 3/11 8/12 * 4/11- Tälleen se on
Tyypit voi olla yhteensä 66 eri paikassa toisiinsa nähden (12*11/2).
Peräkkäin on 11 mahdpllista 1-2,2-3 jne) ja yksi välissä 10 mahdollisuutta (1-3,2-4... jne), yhteensäsiis 21 mahdollista .
21/66 =7/22
Yksinkertaisin ja havainnollisin tapa ratkaista tämä tehtävä lienee seuraava:
Piirretään 12 x 12 ruudukko.
Numeroidaan ruudukon rivit 1-12 ylhäältä alaspäin ja samoin sarakkeet 1-12 vasemmalta oikealle. Sovitaan, että rivin numero ilmoittaa A:n sijainnin jonossa ja sarakkeen numero B:n sijainnin. Nyt kukin ruutu vastaa yhtä sijoitusmahdollisuutta. Ylhäältä vasemmalta alas oikealle kulkevan päädiagonaalin ruudut eivät kuitenkaan ole mahdollisia, koska A:n ja B:n sijainnit eivät voi olla samat. Päädiagonaalin molemmilla puolilla olevat ruudut ovat sellaisia, jotka toteuttavat A:n ja B:n sijoittumiselta vaaditun ehdon. Kun nämä ruudut merkitään X:llä ja muut mahdolliset ruudut O:lla, tulee ruudukosta seuraavan näköinen:
_XXOOOOOOOOO
X_XXOOOOOOOO
XX_XXOOOOOOO
OXX_XXOOOOOO
OOXX_XXOOOOO
OOOXX_XXOOOO
OOOOXX_XXOOO
OOOOOXX_XXOO
OOOOOOXX_XXO
OOOOOOOXX_XX
OOOOOOOOXX_X
OOOOOOOOOXX_
A:n ja B: sijoittumismahdollisuuksia on kaikkiaan 12*12-12 = 132 kpl.
Nämä kaikki ovat yhtä todennäköisiä (ns. symmetrinen todennäköisyyskenttä).
Näistä sellaisia, joissa välissä on korkeintaan yksi henkilö (X:llä merkityt ruudut), on 42 kpl.
Kysytyn todennäköisyyden arvoksi saadaan siis
42/132= 7/22.
Tehtävä voidaan tietysti ratkaista huomattavasti matemaattisemminkin.
Tällä tavalla se onnistuu kuitenkin helposti pelkän peruskoulun matematiikan pohjalta.- Eipä sekoiteta liika
Miksi teet yksinkertaisesta asiasta turhan monimutkaisen ?
Kun luet kysymyksen, toteat varmaan itsekin että ratkaisun kannalta ei ole mitään merkitystä kumpi on edellä tai takana.
Yhtä suurta sotkua on ruveta piirtelemään rukseja näin yksinkertaiseen tehtävään.
Liekö tarkoituksesi saada asia näyttämään vaikeammalta kuin se onkaan, tai muu motiivi, mutta kysyjälle ainakaan vastineesi ei asiaa selventänyt, mieluimmin päinvastoin."...ratkaisun kannalta ei ole mitään merkitystä kumpi on edellä tai takana..."
Kyllä pitkän opettajankokemukseni perusteella väittäisin, että juuri tämän tyyppiset kombinatoriseen päättelyyn perustuvat symmetriaoletukset tekevät monillekin oppilaille tehtävän ratkaisusta vaikean.
Jos tarkastellaan esimerkiksi kahden nopan silmälukujen summan todennäköisyysjakaumaa, on taulukkoesitys kaikkein havainnoillisin tapa tutkia asiaa.- vakavanha
Monesti kombinatoriikkaan liittyvät laskut ovat näennäisen yksinkertaisia, jos laskijalla on hyvä 'arvaus' siitä, mihin kaavaan annetut luvut laitetaan. Mutta helposti menee myös halpaan. Siksi koululaisen on joskus hyvä miettiä alkutekijöistä lähtien, mitähän teoriassa esitettyä asiaa kulloinkin harjoitellaan. Elikkä ei välttämättä tarvitse säästellä apupaperin neliösenttejä
Tässä pohjaksi tarjoutuu variaation kaava. P(12,2) = 11*12 = 132. Luku kertoo, miten monenlaisessa asemassa kaksi erilaista nappulaa 12:n jonossa voi ylipäätään olla toisiinsa nähden. Suotuisten tapausten lukumäärän voi helposti 'katsoa' leikkimällä: kaksi nappulaa käteen ja 12:n lokeron (kuin shakkiruudun) peräkkäinen jono paperilla. Havaitsee, että vierekkäin asemointeja löytyy 11 ja vaihtamalla nappuloiden järjestyksen toiset 11. Siten, että yksi ruutu jää väliin, asemointeja 10 ja nappulat toisin päin toiset 10, eli suotuisia tapauksia yhteensä 42 ja siitä vastaus jo tuleekin.
Periaatteessa siis "MattiKSinisalo":n kannalla, koska näissä lasku helposti ns.lipsahtaa väärin. Yllä ainoastaan tuo havaintokuvan logiikka saattaa koululaisen silmään näyttää hieman epähavainnolliselta :) - Mielipide....
vakavanha kirjoitti:
Monesti kombinatoriikkaan liittyvät laskut ovat näennäisen yksinkertaisia, jos laskijalla on hyvä 'arvaus' siitä, mihin kaavaan annetut luvut laitetaan. Mutta helposti menee myös halpaan. Siksi koululaisen on joskus hyvä miettiä alkutekijöistä lähtien, mitähän teoriassa esitettyä asiaa kulloinkin harjoitellaan. Elikkä ei välttämättä tarvitse säästellä apupaperin neliösenttejä
Tässä pohjaksi tarjoutuu variaation kaava. P(12,2) = 11*12 = 132. Luku kertoo, miten monenlaisessa asemassa kaksi erilaista nappulaa 12:n jonossa voi ylipäätään olla toisiinsa nähden. Suotuisten tapausten lukumäärän voi helposti 'katsoa' leikkimällä: kaksi nappulaa käteen ja 12:n lokeron (kuin shakkiruudun) peräkkäinen jono paperilla. Havaitsee, että vierekkäin asemointeja löytyy 11 ja vaihtamalla nappuloiden järjestyksen toiset 11. Siten, että yksi ruutu jää väliin, asemointeja 10 ja nappulat toisin päin toiset 10, eli suotuisia tapauksia yhteensä 42 ja siitä vastaus jo tuleekin.
Periaatteessa siis "MattiKSinisalo":n kannalla, koska näissä lasku helposti ns.lipsahtaa väärin. Yllä ainoastaan tuo havaintokuvan logiikka saattaa koululaisen silmään näyttää hieman epähavainnolliselta :)Kyseessä on permutaatioiden määrä, variaatioiden laskeminen on turhaa laajentamista, joka vain sotkee kun suotuisia vaihtoehtoja haarukoidaan.
Paperilla voi toki hahmotella, mutta tehtävää on turha monimutkaistaa tai laajentaa.
"Eipä sekoiteta liika" puhuu tässä oikeaa asiaa.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1077736
Siekkilässä ajettu ihmisten yli- mitä tapahtui? Länsi-Savo ei ole uutisoinut asiata
Manneja, vaiko matuja?1095971- 835167
- 1394536
Alavuden sairaala
Säästääkö Alavuden sairaala sähkössä. Kävin Sunnuntaina vast. otolla. Odotushuone ja käytävä jolla lääkäri otti vastaan113220- 552967
- 582928
Törkeää toimintaa
Todella törkeitä kaheleita niitä on Ylivieskassakin. https://www.ess.fi/uutissuomalainen/8570818102444- 612437
Hei........
Pelkkä sun näkeminen saa mut hymyilemään pitkin iltaa. Oot niin 🤩😘 Edellinen poistettiin.562056