Puolittain derivointi

Otetaan nyt vaikka ympyrän yhtälö y^2 x^2=R^2=>y^2=R^2-x^2

tuo kun derivoidaan puolittain, niin tulee: 2y*y`=-2x => y`= -x/y.

Tuohon sitten y:n paikalle ympyrän yhtälöstä saatava y=sqrt(R^2-x^2), niin

y`=-x/sqrt(R^2-x^2).

http://www.mash.dept.shef.ac.uk/Resources/web-implicit.pdf

Tästä viestistä ei kannata ottaa oppia. Derivaatta liittyy funktioihin, ei yhtälöihin. Esimerkiksi funktio f(x)=x^2 voidaan derivoida kunhan lähtö- ja maalijoukot ovat sopivan mukavat, mutta ei ole mielekästä puhua yhtälön x=x^2 derivaatasta. Lisäksi suinkaan kaikki funktiot eivät ole derivoituvia.

En ole nähnyt missään matemaattisessa kirjallisuudessa Sinisalon esittämää yhtälön derivoimista.

Jos tarkoitetaan implisiittistä derivointia, niin siinäkin yhtälön molempia puolia käsitellään funktioina ja näitä derivoidaan, ei itse yhtälöä.

En ole kuullut määritelmää "puolittain derivointi" aiemmin.

maisterimatemaatikko kirjoitti:

Tästä viestistä ei kannata ottaa oppia. Derivaatta liittyy funktioihin, ei yhtälöihin. Esimerkiksi funktio f(x)=x^2 voidaan derivoida kunhan lähtö- ja maalijoukot ovat sopivan mukavat, mutta ei ole mielekästä puhua yhtälön x=x^2 derivaatasta. Lisäksi suinkaan kaikki funktiot eivät ole derivoituvia.

En ole nähnyt missään matemaattisessa kirjallisuudessa Sinisalon esittämää yhtälön derivoimista.

Jos tarkoitetaan implisiittistä derivointia, niin siinäkin yhtälön molempia puolia käsitellään funktioina ja näitä derivoidaan, ei itse yhtälöä.

En ole kuullut määritelmää "puolittain derivointi" aiemmin.

Lue lisää

Vielä tarkennus. Edes identtisen yhtälön x x=2x derivoimisesta en ole kuullut ennen.

maisterimatemaatikko kirjoitti:

Tästä viestistä ei kannata ottaa oppia. Derivaatta liittyy funktioihin, ei yhtälöihin. Esimerkiksi funktio f(x)=x^2 voidaan derivoida kunhan lähtö- ja maalijoukot ovat sopivan mukavat, mutta ei ole mielekästä puhua yhtälön x=x^2 derivaatasta. Lisäksi suinkaan kaikki funktiot eivät ole derivoituvia.

En ole nähnyt missään matemaattisessa kirjallisuudessa Sinisalon esittämää yhtälön derivoimista.

Jos tarkoitetaan implisiittistä derivointia, niin siinäkin yhtälön molempia puolia käsitellään funktioina ja näitä derivoidaan, ei itse yhtälöä.

En ole kuullut määritelmää "puolittain derivointi" aiemmin.

Lue lisää

Maisterimatemaatikon kannattaa vielä miettiä. Olet varmasti törmännyt yhtälöryhmiä ratkaistessa sanontaan "lasketaan yhtälöt yhteen puolittain" tms. Tällöinhän tarkoitetaan, että yhtälöiden vasemmat puolet lasketaan yhteen samoin kuin oikeatkin puolet. Puolittain derivoinnissa on aivan sama idea, ja ainakin lukion kirjoissa tuota sanontaa silloin tällöin käytetään.

Esimerkiksi, kun lukiolaiselle perustellaan käänteisfunktion derivointikaava, toimitaan tavallisesti seuraavasti: Oletetaan, että f:llä on käänteisfunktio g. Tällöin pätee identtisesti f( g(x) ) = x. Kun nyt derivoidaan puolittain (eli derivoidaan vasen puoli ja myös oikea), saadaan ketjusäännön nojalla f' ( g(x)) * g'(x) = 1. Tästä saadaan käänteisfunktion derivaataksi g'(x) ) = 1/f'(g(x)).

Siinä olet oikeassa, että yhtälöitä ei derivoida -- mutta sitähän ei Sinisalokaan itse asiassa väittänyt.

Tarinan tärkein opetus on ketjun avaajalle: Kun kysyt, anna enemmän taustatietoja. Mihin tämä sinun puolittain derivointisi liittyy? Näin saat todennäköisemmin sellaisen vastauksen, josta on sinulle hyötyä. Jos esim. olet lukiolainen, olet nyt saanut sinulle täysin turhia ohjeita implisiittisestä derivoinnista.

a-s-h kirjoitti:

Maisterimatemaatikon kannattaa vielä miettiä. Olet varmasti törmännyt yhtälöryhmiä ratkaistessa sanontaan "lasketaan yhtälöt yhteen puolittain" tms. Tällöinhän tarkoitetaan, että yhtälöiden vasemmat puolet lasketaan yhteen samoin kuin oikeatkin puolet. Puolittain derivoinnissa on aivan sama idea, ja ainakin lukion kirjoissa tuota sanontaa silloin tällöin käytetään.

Esimerkiksi, kun lukiolaiselle perustellaan käänteisfunktion derivointikaava, toimitaan tavallisesti seuraavasti: Oletetaan, että f:llä on käänteisfunktio g. Tällöin pätee identtisesti f( g(x) ) = x. Kun nyt derivoidaan puolittain (eli derivoidaan vasen puoli ja myös oikea), saadaan ketjusäännön nojalla f' ( g(x)) * g'(x) = 1. Tästä saadaan käänteisfunktion derivaataksi g'(x) ) = 1/f'(g(x)).

Siinä olet oikeassa, että yhtälöitä ei derivoida -- mutta sitähän ei Sinisalokaan itse asiassa väittänyt.

Tarinan tärkein opetus on ketjun avaajalle: Kun kysyt, anna enemmän taustatietoja. Mihin tämä sinun puolittain derivointisi liittyy? Näin saat todennäköisemmin sellaisen vastauksen, josta on sinulle hyötyä. Jos esim. olet lukiolainen, olet nyt saanut sinulle täysin turhia ohjeita implisiittisestä derivoinnista.

Lue lisää

Onko ratkaisemattoman, eli implisiittisen funktion derivointi jätetty lukion kurssista pois ?
Silloin myöskin logaritminen derivointi on jätetty pois.
Ainoat derivointitavat, joista lukiolaiselle olisi ihan oikeata hyötyäkin.
Jos niitä ei kurssissa ole, ei niitä saa silloin käyttää myöskään YO-kirjoituksissa, hyvin huonoa.

12+6 kirjoitti:

Onko ratkaisemattoman, eli implisiittisen funktion derivointi jätetty lukion kurssista pois ?
Silloin myöskin logaritminen derivointi on jätetty pois.
Ainoat derivointitavat, joista lukiolaiselle olisi ihan oikeata hyötyäkin.
Jos niitä ei kurssissa ole, ei niitä saa silloin käyttää myöskään YO-kirjoituksissa, hyvin huonoa.

Lue lisää

En ole ihan varma, onko implisiittinen tai logaritminen derivointi koskaan kuulunutkaan lukion oppimäärään. Olen ollut tekemisissa kolmen viimeisimmän lukion pitkän matematiikan opetussuunnitelman kanssa, ja missään niistä ei implisiittinen tai logaritminen derivointi ole kuulunut ainakaan OPS:n ydinaineeseen, jos ovat edes tulleet mainituiksi. Nykyisen OPS:n tilanteen voi tarkistaa, kun hakee Googlesta sanoilla "lukion opetussuunnitelman perusteet". On tietenkin ihan todennäköistä, että yksittäisissä lukioissa ovat yksittäiset opettajat näitä opettaneet, kun ovat pitäneet niitä hyödyllisinä.

Eivät nuo ole ainoita derivointikeinoja, joista olisi oikeaa hyötyä. Nykymentaliteetti matematiikan opetuksessa tuntuu menevän yhä enemmän ideoiden ymmärtämisen suuntaan yksittäisten metodien kustannuksella. En nyt tässä yhteydessä ota kantaa siihen, onko tämä hyvä vai huono suunta. Joka tapauksessa jonkin ympyrän tangentin saa määrättyä muutenkin kuin implisiittisellä derivoinnilla (joka toki on tosi suoraviivainen ja helppo tapa suoriutua tehtävästä).

Kirjoitit: "Jos niitä ei kurssissa ole, ei niitä saa silloin käyttää myöskään YO-kirjoituksissa, hyvin huonoa. "

Olen valmis lyömään vetoa siitä, ettei näiden käyttämisestä sakotettaisi, jos kokelas on vähintään maininnut käyttämänsä konstin. Se yksittäinen esimerkki siitä vuosien takaisesta l'Hospital'n säännön käyttämisestä ja siitä pistevähennyksien saamisesta ei ollenkaan kuvaa sitä, millaisen mielikuvan YTL:n toiminnasta nykyään saa. Sitä paitsi tämäkin saattaa olla vain urbaani legenda.

a-s-h kirjoitti:

Maisterimatemaatikon kannattaa vielä miettiä. Olet varmasti törmännyt yhtälöryhmiä ratkaistessa sanontaan "lasketaan yhtälöt yhteen puolittain" tms. Tällöinhän tarkoitetaan, että yhtälöiden vasemmat puolet lasketaan yhteen samoin kuin oikeatkin puolet. Puolittain derivoinnissa on aivan sama idea, ja ainakin lukion kirjoissa tuota sanontaa silloin tällöin käytetään.

Esimerkiksi, kun lukiolaiselle perustellaan käänteisfunktion derivointikaava, toimitaan tavallisesti seuraavasti: Oletetaan, että f:llä on käänteisfunktio g. Tällöin pätee identtisesti f( g(x) ) = x. Kun nyt derivoidaan puolittain (eli derivoidaan vasen puoli ja myös oikea), saadaan ketjusäännön nojalla f' ( g(x)) * g'(x) = 1. Tästä saadaan käänteisfunktion derivaataksi g'(x) ) = 1/f'(g(x)).

Siinä olet oikeassa, että yhtälöitä ei derivoida -- mutta sitähän ei Sinisalokaan itse asiassa väittänyt.

Tarinan tärkein opetus on ketjun avaajalle: Kun kysyt, anna enemmän taustatietoja. Mihin tämä sinun puolittain derivointisi liittyy? Näin saat todennäköisemmin sellaisen vastauksen, josta on sinulle hyötyä. Jos esim. olet lukiolainen, olet nyt saanut sinulle täysin turhia ohjeita implisiittisestä derivoinnista.

Lue lisää

Mietin tuota. Mielestäni Sinisalo teki virheen kirjoittaessaan

"Derivoimalla eo. yhtälö puolittain x:n suhteen saadaan"

Jos tuon haluaa derivoida puolittain, niin pitää määritellä funktiot f(x)=x x ja g(x)=x x sopivilla väleillä. Nyt f ja g ovat derivoituvia, joten ne voidaan derivoida ja asettaa yhtä suuriksi. Mutta tietysti oppikirjat uudistuu ja niissä voidaan puhua yhtälön derivoinnista. Minun kouluaikana derivaatta liittyi funktioihin.

maisterimatemaatikko kirjoitti:

Mietin tuota. Mielestäni Sinisalo teki virheen kirjoittaessaan

"Derivoimalla eo. yhtälö puolittain x:n suhteen saadaan"

Jos tuon haluaa derivoida puolittain, niin pitää määritellä funktiot f(x)=x x ja g(x)=x x sopivilla väleillä. Nyt f ja g ovat derivoituvia, joten ne voidaan derivoida ja asettaa yhtä suuriksi. Mutta tietysti oppikirjat uudistuu ja niissä voidaan puhua yhtälön derivoinnista. Minun kouluaikana derivaatta liittyi funktioihin.

Lue lisää

Kielenkäyttö on tosiaan muuttunut omankin muistini aikana. Itselle tuntuu vieraalta samaistaa funktio sen kuvaajaan, mutta nuorin polvi puhuu ihan sujuvasti funktiosta tarkoittaessaan kuvaajaa. Esim. "tässä kuvassa näemme funktion se-ja-se". Eikä tässä kai ole mitään väärää, sillä kyllähän sellainen käyrä, joka nyt ylipäänsä on jonkin funktion kuvaaja, todella määrittelee sen funktion.

Matemaattinenkin kielenkäyttö on vahvasti tilannesidonnaista. Kun sanotaan, että derivoidaan joku yhtälö puolittain, annetaan implisiittisesti ymmärtää, että yhtälön eri puolet ovat tarkasteltavaan tilanteeseen nähden sopivasti määriteltyjä derivoituvia funktioita. Jos on väärinymmärryksen vaaraa, niin sitten pitää puhua spesifimmin. Mutta liika pedanttisuus haittaa kyllä joskus tekstin ymmärrettävyyttä.

Kirjoitit: " Mutta tietysti oppikirjat uudistuu ja niissä voidaan puhua yhtälön derivoinnista. Minun kouluaikana derivaatta liittyi funktioihin."

Ei missään puhuta yhtälön derivoinnista vaan yhtälön derivoinnista _puolittain_. Derivoinnin kohteena on ne funktiot, joiden määrittelylausekkeet ovat yhtälön eri puolina. Itse yhtälöä ei tietty voi derivoida. Kyllä derivaatta on nimenomaan funktioihin liittyvä käsite, ei meillä siitä mitään erimielisyyttä olekaan.

a-s-h kirjoitti:

Kielenkäyttö on tosiaan muuttunut omankin muistini aikana. Itselle tuntuu vieraalta samaistaa funktio sen kuvaajaan, mutta nuorin polvi puhuu ihan sujuvasti funktiosta tarkoittaessaan kuvaajaa. Esim. "tässä kuvassa näemme funktion se-ja-se". Eikä tässä kai ole mitään väärää, sillä kyllähän sellainen käyrä, joka nyt ylipäänsä on jonkin funktion kuvaaja, todella määrittelee sen funktion.

Matemaattinenkin kielenkäyttö on vahvasti tilannesidonnaista. Kun sanotaan, että derivoidaan joku yhtälö puolittain, annetaan implisiittisesti ymmärtää, että yhtälön eri puolet ovat tarkasteltavaan tilanteeseen nähden sopivasti määriteltyjä derivoituvia funktioita. Jos on väärinymmärryksen vaaraa, niin sitten pitää puhua spesifimmin. Mutta liika pedanttisuus haittaa kyllä joskus tekstin ymmärrettävyyttä.

Kirjoitit: " Mutta tietysti oppikirjat uudistuu ja niissä voidaan puhua yhtälön derivoinnista. Minun kouluaikana derivaatta liittyi funktioihin."

Ei missään puhuta yhtälön derivoinnista vaan yhtälön derivoinnista _puolittain_. Derivoinnin kohteena on ne funktiot, joiden määrittelylausekkeet ovat yhtälön eri puolina. Itse yhtälöä ei tietty voi derivoida. Kyllä derivaatta on nimenomaan funktioihin liittyvä käsite, ei meillä siitä mitään erimielisyyttä olekaan.

Lue lisää

" Itselle tuntuu vieraalta samaistaa funktio sen kuvaajaan, mutta nuorin polvi puhuu ihan sujuvasti funktiosta tarkoittaessaan kuvaajaa. ... Eikä tässä kai ole mitään väärää, sillä kyllähän sellainen käyrä, joka nyt ylipäänsä on jonkin funktion kuvaaja, todella määrittelee sen funktion. "

Niin. Riippuu varmasti miten tarkasti asioita halutaan tarkastella. Funktiothan ovat järjestettyjä pareja (x,y), missä x kuuluu lähtöjoukkoon ja y maalijoukkoon. Kuvaajat ovat muotoa (x,f(x)), missä x kuuluu lähtöjoukkoon ja f(x) maalijoukkoon. Erityisesti kuvaajan määritelmässä esiintyy funktion määritelmä. Eli teknisesti ottaen määritelmissä on eroa. Riippuu tilanteesta, tarvitseeko eroa korostaa vai ei.