Äärellisen kunnan GF(p)=GF(p^k), missä p on alkuluku ja k positiivinen kokonaisluku, multiplikatiivinen ryhmä on ilmeisestikin isomorfinen jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} kanssa.
Miten tämä todistetaan?
Ryhmien isomorfia?
Tulipa vain mieleen
7
134
Vastaukset
- Tulipa vain mieleen
Piti tietysti sanoa, että jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} additiivisen ryhmän kanssa.
- algebrikko
Mitä tarkoitat q:lla?
Äärellisen kunnan multiplikatiivisen ryhmän syklisyys seuraa seuraavasta lemmasta:
Olkoon G äärellinen n-alkioinen ryhmä, jossa jokaisella positiivisella kokonaisluvulla m yhtälöllä x^m=1 on korkeintaan m ratkaisua. Tällöin G on syklinen.
Todistus. Olkoon a(m) niiden G:n alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on m. Tällöin Lagrangen lauseen perusteella a(m)=0 jos m ei jaa lukua n. Jos a(m) erisuuri kuin nolla, on olemassa G:n alkio g kertaluvultaan m. Nyt g virittää syklisen ryhmän g', jonka kertaluku on m. Voidaan todistaa, että sillä on fii(m) virittäjää.
Siis a(m)=0 kun m ei jaa lukua n ja jos m jakaa luvun n, on a(m)=0 tai a(m)=fii(m). Lukuteoriasta tiedetään, että koska summa_{m|n} fii(m)=n ja toisaalta kaikkien lukujen a(m) summa on n, niin kaikilla n:n tekijöillä m on voimassa a(m)=fii(m). Siis a(n)=fii(n) joka on positiivinen, joten G:ssä on kertalukua n oleva alkio, joka virittää syklisen ryhmän.- Tulipa vain mieleen
'Mitä tarkoitat q:lla?'
Tulipa tuohon toinenkin näpihäiriö.
Piti olla GF(q)=GF(p^k), ts. q=p^k.
- Auktoriteetti1234
Itseasiassa vähän yleisempi ja tosi kiva teoreema on seuraava:
Minkä tahansa kunnan multiplikatiivisen ryhmän äärelliset aliryhmät on aina syklisiä.
Todistus (lienee jotain seuraavan tyylistä):
Olkoon G tämmöinen äärellinen aliryhmä. Äärellisesti viritettyjen abelisten ryhmien rakennelauseesta seuraa että sen täytyy olla muotoa Z/n_1 x Z/n_2 x ... x Z/n_k. Voidaan lisäksi olettaa että n_1|n_2|...|n_k. Nyt jokaisella näistä tekijöistä tässä tulossa on uniikki n_1-syklinen aliryhmä (Z/n:llä on uniikki k-syklinen aliryhmä jokaiselle k|n) joten ryhmässä G on yhteensä n_1^k alkiota joiden kertaluku on n_1. Siis yhtälöllä x^(n_1) - 1 = 0 on n_1^k juurta. Kunnassa tämä on mahdotonta ellei k = 1. Niinpä G = Z/n_1, eli syklinen.- Auktoriteetti1234
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
- Enemmän konkretiaa!
Auktoriteetti1234 kirjoitti:
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian? - Auktoriteetti1234
Enemmän konkretiaa! kirjoitti:
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian?Ikävä kyllä tuo isomorfismi ei ole yleisesti ottaen helposti kuvailtavassa, mutta seuraava taktiikka toiminee mikäli q-1:llä ei ole kovin monia alkutekijöitä.
Ensin kirjoita q-1 = (p_1)^(e_1) * (p_2)^(e_2) * ... * (p_k)^(e_k) (alkulukuhajotelma q-1:lle). Valitse satunnaisesti jokin nollasta poikkeava alkio g GF(q):sta ja laske käyttäen jotain algebraohjelmistoa (esim. Sage) g^((q-1)/p_1), g^((q-1)/p_2) jne.. Mikäli yksikään näistä ei ole 1, g on generaattori multiplikatiiviselle ryhmälle. Nyt isomorfismi on yksinkertaisesti g |---> 1.
Miten helppoa tuon generaattorin satunnaisesti valitseminen sitten on? Onneksi tiedämme ryhmän rakenteen, Z/(q-1)Z. Tällä on tunnetusti phi(q-1) generaattoria joten todennäköisyys valita generaattori sattumanvaraisesti on phi(q-1)/(q-1). Tämä todennäköisyys on lähellä 1:tä jos alkuluvut p_1, ..., p_k ovat suuria ja k (niiden lukumäärä) on pieni.
Lyhyesti sanottuna siis: Mitään helppoa yleisesti toimivaa tapaa tämän isomorfismin löytämiseen ei tunneta mutta yllä selittämäni menetelmä toimii varsin hyvin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Olit niin lähellä
Taas söpis olit siinä ihan käden etäisyydellä❤️ Jos sinä ja minä olisimme olleet kahden, olisin hypännyt sun kaulaan. Sa562549Vaskikello osaa asiakaspalvelun
Uskaltaako vaskikellolla asioida enää vai tuleeko turpaan, jos sinne menee? Täytyypä jatkossa hoitaa kaikki asiointi abc611824Elokapinan mielenosoitussarja alkaa
Varma kesän merkki on, kun planeetastamme huolestuneet ihmiset alkavat pitää tilaisuuksia muistuttaakseen ihmisiä siitä,4141709Kun me näemme taas
Siihen on viikkoja, korkeintaan kuukausia. Jännite välillemme vetää meidät ennemmin tai myöhemmin toistemme läheisyyteen121605Eipäs sitten ryypätä kesälomalla
Työnantaja voi antaa potkut, vaikka olisi ryypännyt 2-4 viikkoa sitten. Vaikka olenkin raivoraitis, niin en kannata tuo1341451- 99999
Pysyä yhdessä vai ei
En tiedä, ollaan asuttu samassa asunnossa kohta joku 5 vuotta. Olisi sanomista vähän kaikesta mutta eniten itseä ottaa p75985Marinin hallitus onnistui työllisyystoimissa
https://www.kauppalehti.fi/uutiset/marinin-hallitus-saavutti-tavoitteensa-merkittava-onnistuminen-tyollisyydessa-tuore-m228917Tänään oli
Noiiiiin 🤏 vähällä ettei tapahtunut jotain mieletöntä. Valitettavasti olosuhteet esti. Odota hetki vielä 😘33867En halua sua enää
joten ihan turhaan tulet "esiintymään" mun näkö- ja kuulopiiriin. Ärsyttää vain kun omat tekemiset häiriintyy, kun en ha37678