Äärellisen kunnan GF(p)=GF(p^k), missä p on alkuluku ja k positiivinen kokonaisluku, multiplikatiivinen ryhmä on ilmeisestikin isomorfinen jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} kanssa.
Miten tämä todistetaan?
Miten tämä todistetaan?
Ryhmien isomorfia?
Tulipa vain mieleen
7188
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Piti tietysti sanoa, että jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} additiivisen ryhmän kanssa.
Mitä tarkoitat q:lla?
Äärellisen kunnan multiplikatiivisen ryhmän syklisyys seuraa seuraavasta lemmasta:
Olkoon G äärellinen n-alkioinen ryhmä, jossa jokaisella positiivisella kokonaisluvulla m yhtälöllä x^m=1 on korkeintaan m ratkaisua. Tällöin G on syklinen.
Todistus. Olkoon a(m) niiden G:n alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on m. Tällöin Lagrangen lauseen perusteella a(m)=0 jos m ei jaa lukua n. Jos a(m) erisuuri kuin nolla, on olemassa G:n alkio g kertaluvultaan m. Nyt g virittää syklisen ryhmän g', jonka kertaluku on m. Voidaan todistaa, että sillä on fii(m) virittäjää.
Siis a(m)=0 kun m ei jaa lukua n ja jos m jakaa luvun n, on a(m)=0 tai a(m)=fii(m). Lukuteoriasta tiedetään, että koska summa_{m|n} fii(m)=n ja toisaalta kaikkien lukujen a(m) summa on n, niin kaikilla n:n tekijöillä m on voimassa a(m)=fii(m). Siis a(n)=fii(n) joka on positiivinen, joten G:ssä on kertalukua n oleva alkio, joka virittää syklisen ryhmän.
'Mitä tarkoitat q:lla?'
Tulipa tuohon toinenkin näpihäiriö.
Piti olla GF(q)=GF(p^k), ts. q=p^k.
Itseasiassa vähän yleisempi ja tosi kiva teoreema on seuraava:
Minkä tahansa kunnan multiplikatiivisen ryhmän äärelliset aliryhmät on aina syklisiä.
Todistus (lienee jotain seuraavan tyylistä):
Olkoon G tämmöinen äärellinen aliryhmä. Äärellisesti viritettyjen abelisten ryhmien rakennelauseesta seuraa että sen täytyy olla muotoa Z/n_1 x Z/n_2 x ... x Z/n_k. Voidaan lisäksi olettaa että n_1|n_2|...|n_k. Nyt jokaisella näistä tekijöistä tässä tulossa on uniikki n_1-syklinen aliryhmä (Z/n:llä on uniikki k-syklinen aliryhmä jokaiselle k|n) joten ryhmässä G on yhteensä n_1^k alkiota joiden kertaluku on n_1. Siis yhtälöllä x^(n_1) - 1 = 0 on n_1^k juurta. Kunnassa tämä on mahdotonta ellei k = 1. Niinpä G = Z/n_1, eli syklinen.
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian?
Ikävä kyllä tuo isomorfismi ei ole yleisesti ottaen helposti kuvailtavassa, mutta seuraava taktiikka toiminee mikäli q-1:llä ei ole kovin monia alkutekijöitä.
Ensin kirjoita q-1 = (p_1)^(e_1) * (p_2)^(e_2) * ... * (p_k)^(e_k) (alkulukuhajotelma q-1:lle). Valitse satunnaisesti jokin nollasta poikkeava alkio g GF(q):sta ja laske käyttäen jotain algebraohjelmistoa (esim. Sage) g^((q-1)/p_1), g^((q-1)/p_2) jne.. Mikäli yksikään näistä ei ole 1, g on generaattori multiplikatiiviselle ryhmälle. Nyt isomorfismi on yksinkertaisesti g |---> 1.
Miten helppoa tuon generaattorin satunnaisesti valitseminen sitten on? Onneksi tiedämme ryhmän rakenteen, Z/(q-1)Z. Tällä on tunnetusti phi(q-1) generaattoria joten todennäköisyys valita generaattori sattumanvaraisesti on phi(q-1)/(q-1). Tämä todennäköisyys on lähellä 1:tä jos alkuluvut p_1, ..., p_k ovat suuria ja k (niiden lukumäärä) on pieni.
Lyhyesti sanottuna siis: Mitään helppoa yleisesti toimivaa tapaa tämän isomorfismin löytämiseen ei tunneta mutta yllä selittämäni menetelmä toimii varsin hyvin.