Ryhmien isomorfia?

Tulipa vain mieleen

Äärellisen kunnan GF(p)=GF(p^k), missä p on alkuluku ja k positiivinen kokonaisluku, multiplikatiivinen ryhmä on ilmeisestikin isomorfinen jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} kanssa.

Miten tämä todistetaan?

7

137

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Tulipa vain mieleen

      Piti tietysti sanoa, että jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} additiivisen ryhmän kanssa.

    • algebrikko

      Mitä tarkoitat q:lla?

      Äärellisen kunnan multiplikatiivisen ryhmän syklisyys seuraa seuraavasta lemmasta:

      Olkoon G äärellinen n-alkioinen ryhmä, jossa jokaisella positiivisella kokonaisluvulla m yhtälöllä x^m=1 on korkeintaan m ratkaisua. Tällöin G on syklinen.

      Todistus. Olkoon a(m) niiden G:n alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on m. Tällöin Lagrangen lauseen perusteella a(m)=0 jos m ei jaa lukua n. Jos a(m) erisuuri kuin nolla, on olemassa G:n alkio g kertaluvultaan m. Nyt g virittää syklisen ryhmän g', jonka kertaluku on m. Voidaan todistaa, että sillä on fii(m) virittäjää.

      Siis a(m)=0 kun m ei jaa lukua n ja jos m jakaa luvun n, on a(m)=0 tai a(m)=fii(m). Lukuteoriasta tiedetään, että koska summa_{m|n} fii(m)=n ja toisaalta kaikkien lukujen a(m) summa on n, niin kaikilla n:n tekijöillä m on voimassa a(m)=fii(m). Siis a(n)=fii(n) joka on positiivinen, joten G:ssä on kertalukua n oleva alkio, joka virittää syklisen ryhmän.

      • Tulipa vain mieleen

        'Mitä tarkoitat q:lla?'

        Tulipa tuohon toinenkin näpihäiriö.

        Piti olla GF(q)=GF(p^k), ts. q=p^k.


    • Auktoriteetti1234

      Itseasiassa vähän yleisempi ja tosi kiva teoreema on seuraava:

      Minkä tahansa kunnan multiplikatiivisen ryhmän äärelliset aliryhmät on aina syklisiä.

      Todistus (lienee jotain seuraavan tyylistä):
      Olkoon G tämmöinen äärellinen aliryhmä. Äärellisesti viritettyjen abelisten ryhmien rakennelauseesta seuraa että sen täytyy olla muotoa Z/n_1 x Z/n_2 x ... x Z/n_k. Voidaan lisäksi olettaa että n_1|n_2|...|n_k. Nyt jokaisella näistä tekijöistä tässä tulossa on uniikki n_1-syklinen aliryhmä (Z/n:llä on uniikki k-syklinen aliryhmä jokaiselle k|n) joten ryhmässä G on yhteensä n_1^k alkiota joiden kertaluku on n_1. Siis yhtälöllä x^(n_1) - 1 = 0 on n_1^k juurta. Kunnassa tämä on mahdotonta ellei k = 1. Niinpä G = Z/n_1, eli syklinen.

      • Auktoriteetti1234

        Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.


      • Enemmän konkretiaa!
        Auktoriteetti1234 kirjoitti:

        Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.

        Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.

        Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian?


      • Auktoriteetti1234
        Enemmän konkretiaa! kirjoitti:

        Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.

        Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian?

        Ikävä kyllä tuo isomorfismi ei ole yleisesti ottaen helposti kuvailtavassa, mutta seuraava taktiikka toiminee mikäli q-1:llä ei ole kovin monia alkutekijöitä.

        Ensin kirjoita q-1 = (p_1)^(e_1) * (p_2)^(e_2) * ... * (p_k)^(e_k) (alkulukuhajotelma q-1:lle). Valitse satunnaisesti jokin nollasta poikkeava alkio g GF(q):sta ja laske käyttäen jotain algebraohjelmistoa (esim. Sage) g^((q-1)/p_1), g^((q-1)/p_2) jne.. Mikäli yksikään näistä ei ole 1, g on generaattori multiplikatiiviselle ryhmälle. Nyt isomorfismi on yksinkertaisesti g |---> 1.

        Miten helppoa tuon generaattorin satunnaisesti valitseminen sitten on? Onneksi tiedämme ryhmän rakenteen, Z/(q-1)Z. Tällä on tunnetusti phi(q-1) generaattoria joten todennäköisyys valita generaattori sattumanvaraisesti on phi(q-1)/(q-1). Tämä todennäköisyys on lähellä 1:tä jos alkuluvut p_1, ..., p_k ovat suuria ja k (niiden lukumäärä) on pieni.

        Lyhyesti sanottuna siis: Mitään helppoa yleisesti toimivaa tapaa tämän isomorfismin löytämiseen ei tunneta mutta yllä selittämäni menetelmä toimii varsin hyvin.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Martinan uusi poikakaveri

      Sielläpä se sitten on. Instastoorissa pienissä speedoissa retkottaa uusin kulta Martinan kanssa. Oikein sydämiä laitettu
      Kotimaiset julkkisjuorut
      205
      3181
    2. Suomessa helteet ylittää vasta +30 astetta.

      Etelä-Euroopassa on mitattu yli +40 asteen lämpötiloja. Lähi-Idässä +50 on ylitetty useasti Lämpöennätykset rikkoutuva
      Maailman menoa
      239
      1610
    3. Laita mulle viesti!!

      Laita viesti mesen (Facebook) kautta. Haluan keskustella mutta sinun ehdoilla en halua häiriköidä tms. Yhä välitän sinus
      Ikävä
      95
      1472
    4. Millaisessa tilanteessa olisit toiminut toisin

      Jos saisit yhden mahdollisuuden toimia toisin?
      Ikävä
      92
      1379
    5. Vanhemmalle naiselle

      alkuperäiseltä kirjoittajalta. On olemassa myös se toinen joka tarkoituksella käyttää samaa otsikkoa. Ihan sama kunhan e
      Ikävä
      46
      1334
    6. Fazer perustaa 400 miljoonan suklaatehtaan Lahteen

      No eipä ihme miksi ovat kolminkertaistaneen suklaalevyjensä hinnan. Nehän on alkaneet keräämään rahaa tehdasta varten.
      Maailman menoa
      156
      1246
    7. Ajattelen sinua tänäkin iltana

      Olet huippuihana❤️ Ajattelen sinua jatkuvasti. Toivottavasti tapaamme pian. En malttaisi odottaa, mutta odotan kuitenkin
      Ikävä
      12
      1178
    8. Ökyrikkaat Fazerit saivat 20 MILJOONAA veronmaksajien varallisuutta!

      "Yle uutisoi viime viikolla, että Business Finland on myöntänyt Fazerille noin 20 miljoonaa euroa investointitukea. Faze
      Maailman menoa
      123
      1009
    9. Miehelle...

      Oliko kaikki mökötus sen arvoista? Ei mukavalta tuntunut, kun aloit hiljaisesti osoittaa mieltä ja kohtelit välinpitämät
      Ikävä
      89
      922
    10. Tuntuu liian hankalalta

      Lähettää sulle viesti. Tarvitsen apuasi ottaa koppi tilanteesta. Miehelle meni.
      Ikävä
      44
      803
    Aihe