Äärellisen kunnan GF(p)=GF(p^k), missä p on alkuluku ja k positiivinen kokonaisluku, multiplikatiivinen ryhmä on ilmeisestikin isomorfinen jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} kanssa.
Miten tämä todistetaan?
Ryhmien isomorfia?
Tulipa vain mieleen
7
133
Vastaukset
- Tulipa vain mieleen
Piti tietysti sanoa, että jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} additiivisen ryhmän kanssa.
- algebrikko
Mitä tarkoitat q:lla?
Äärellisen kunnan multiplikatiivisen ryhmän syklisyys seuraa seuraavasta lemmasta:
Olkoon G äärellinen n-alkioinen ryhmä, jossa jokaisella positiivisella kokonaisluvulla m yhtälöllä x^m=1 on korkeintaan m ratkaisua. Tällöin G on syklinen.
Todistus. Olkoon a(m) niiden G:n alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on m. Tällöin Lagrangen lauseen perusteella a(m)=0 jos m ei jaa lukua n. Jos a(m) erisuuri kuin nolla, on olemassa G:n alkio g kertaluvultaan m. Nyt g virittää syklisen ryhmän g', jonka kertaluku on m. Voidaan todistaa, että sillä on fii(m) virittäjää.
Siis a(m)=0 kun m ei jaa lukua n ja jos m jakaa luvun n, on a(m)=0 tai a(m)=fii(m). Lukuteoriasta tiedetään, että koska summa_{m|n} fii(m)=n ja toisaalta kaikkien lukujen a(m) summa on n, niin kaikilla n:n tekijöillä m on voimassa a(m)=fii(m). Siis a(n)=fii(n) joka on positiivinen, joten G:ssä on kertalukua n oleva alkio, joka virittää syklisen ryhmän.- Tulipa vain mieleen
'Mitä tarkoitat q:lla?'
Tulipa tuohon toinenkin näpihäiriö.
Piti olla GF(q)=GF(p^k), ts. q=p^k.
- Auktoriteetti1234
Itseasiassa vähän yleisempi ja tosi kiva teoreema on seuraava:
Minkä tahansa kunnan multiplikatiivisen ryhmän äärelliset aliryhmät on aina syklisiä.
Todistus (lienee jotain seuraavan tyylistä):
Olkoon G tämmöinen äärellinen aliryhmä. Äärellisesti viritettyjen abelisten ryhmien rakennelauseesta seuraa että sen täytyy olla muotoa Z/n_1 x Z/n_2 x ... x Z/n_k. Voidaan lisäksi olettaa että n_1|n_2|...|n_k. Nyt jokaisella näistä tekijöistä tässä tulossa on uniikki n_1-syklinen aliryhmä (Z/n:llä on uniikki k-syklinen aliryhmä jokaiselle k|n) joten ryhmässä G on yhteensä n_1^k alkiota joiden kertaluku on n_1. Siis yhtälöllä x^(n_1) - 1 = 0 on n_1^k juurta. Kunnassa tämä on mahdotonta ellei k = 1. Niinpä G = Z/n_1, eli syklinen.- Auktoriteetti1234
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
- Enemmän konkretiaa!
Auktoriteetti1234 kirjoitti:
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian? - Auktoriteetti1234
Enemmän konkretiaa! kirjoitti:
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian?Ikävä kyllä tuo isomorfismi ei ole yleisesti ottaen helposti kuvailtavassa, mutta seuraava taktiikka toiminee mikäli q-1:llä ei ole kovin monia alkutekijöitä.
Ensin kirjoita q-1 = (p_1)^(e_1) * (p_2)^(e_2) * ... * (p_k)^(e_k) (alkulukuhajotelma q-1:lle). Valitse satunnaisesti jokin nollasta poikkeava alkio g GF(q):sta ja laske käyttäen jotain algebraohjelmistoa (esim. Sage) g^((q-1)/p_1), g^((q-1)/p_2) jne.. Mikäli yksikään näistä ei ole 1, g on generaattori multiplikatiiviselle ryhmälle. Nyt isomorfismi on yksinkertaisesti g |---> 1.
Miten helppoa tuon generaattorin satunnaisesti valitseminen sitten on? Onneksi tiedämme ryhmän rakenteen, Z/(q-1)Z. Tällä on tunnetusti phi(q-1) generaattoria joten todennäköisyys valita generaattori sattumanvaraisesti on phi(q-1)/(q-1). Tämä todennäköisyys on lähellä 1:tä jos alkuluvut p_1, ..., p_k ovat suuria ja k (niiden lukumäärä) on pieni.
Lyhyesti sanottuna siis: Mitään helppoa yleisesti toimivaa tapaa tämän isomorfismin löytämiseen ei tunneta mutta yllä selittämäni menetelmä toimii varsin hyvin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Epäily: Oppilas puukotti kolmea Pirkkalan koululla
Tämänhetkisen tiedon mukaan ainakin kolme oppilasta on loukkaantunut puukotuksessa Pirkkalan Vähäjärven koululla. Myös e2346162Jos olisit täällä
Tosin en tiiä miks oisit. (Ja hävettää muutenkin kun ei muka muulla tavoin osaa kertoa tätäkään) Jos jollain pienellä492735Jos yhdistät nimikirjaimet
Jos yhdistät sinun ja kaivattusi ensimmäisten nimien alkukirjaimet mitkä nimikirjaimet tulee? Sinun ensin ja sitten häne522440- 1562262
Kesän odotuksia hyrynsalmella
Kyllä kesällä hyrynsalmellakin on mahdollisuus osallistua kylän menoon monella tavalla . On kaunislehdon talomuseolla161789- 821424
Pirkkalan koulussa puukotus, oppilas puukotti kolmea
Ilmeisesti tyttöjä ollut kohteena.1641420Voi Rakas siellä
Olet ollut mun ajatuksissa taas koko päivän. Olet ihmeellinen kertakaikkiaan ja arvostan sinua niin paljon❤️Minulla ei o241321Ohhoh! KAJ laukoi suorat sanat somessa - V-sana mainittu!
Ohhoh! Mitäs mieltä olet tästä huumoriryhmä KAJ:sta? Bara bada bastu on kyllä aikamoinen korvamato... Lue lisää: https351301Erika selvisi hienosti ennakkosuosikin paineista
Hienostihan se meni. Erika jätettiin yksin, eikä häntä tuettu, oli euroviisukiusattu, silti suoriutui ensiluokkaisesti.1091007