Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoisuksissa näyttäisi jälleen olevan L'Hospitalin säännöllä ratkaistavissa oleva tehtävä (no 12).
Jokunen vuosi sitten keskustelua herätti se, että ylioppilastutkintolautakunta ei hyväksynyt tällaisen yli lukion oppimäärän menevän menetelmän käyttöä kirjoituksissa.
Mitenkähän käynee tällä kertaa?
Jokunen vuosi sitten keskustelua herätti se, että ylioppilastutkintolautakunta ei hyväksynyt tällaisen yli lukion oppimäärän menevän menetelmän käyttöä kirjoituksissa.
Mitenkähän käynee tällä kertaa?
Vastaukset 24
Vanhimmat
L'Hospitalin sääntö löytyy wikipediasta osoitteesta
http://fi.wikipedia.org/wiki/L'Hôpitalin_sääntö
Tehtävä on helppo ratkaista myös suoraan symbolisen laskimen avulla.
Olisi varsin erikoista, jos ylioppilastutkintolautakunta hyväksyisi laskimen avulla tehdyn ratkaisun, mutta ei edelleenkään teoreettista L'Hospitalin sääntöön perustuvaa ratkaisua.
Kelvannee. Katso http://areena.yle.fi/tv/2040711 noin kohdasta 1.00.00.
Katselin tuon pitkän matematiikan tehtävien läpikäynnin abistudiossa yle-areenan sivulla. Valitettavasti homma meni täydeksi sekoiluksi tehtävän 8 (turnaustehtävä) osalta. Oikea ratkaisutapakin esitettiin mutta sensorien olisi kyllä pitänyt puuttua esitettyihin vääriin ratkaisutapoihin. Niissä lähdettiin tehtävää ratkaisemaan aivan väärien olettamusten pohjalta.
Selitettäköön vielä, että sekä studiossa olleen abin, että chatista esiin otetussa ratkaisussa tehtävää lähdettiin ratkaisemaan riippumattomien satunnaiskokeiden yhdistämiseen liittyvän tulosäännön pohjalta. Tällainen ratkaisutapa on tässä tehtävässä kuitenkin täysin väärä. Mitään syytä ei ole olettaa, että mukana olo turnajaisissa ensimmäisenä ja toisena päivänä olisivat toisistaan riippumattomia satunnaiskokeita. Vaikka olettamus näillä lukuarvoilla johtaakin lähellä oikeaa vastausta olevaan tulokseen, ei tällaisesta vastauksesta voi juurikaan olettaa pisteitä saavansa. Tehtävän oikea vastaus on 78,4%. Tulosäännöllä päädytään väärään arvoon 79,5%. Ensimmäinen vastaus tuo todennäköisesti täydet pisteet, jälkimmäinen jää varmaankin kokonaan ilman pisteitä.
Tuo tehtävän anto on muuten pahasti pielessä. Siinä puhutaan todennäköisyyksistä, mutta ei sanallakaan mainita, mihin satunnaiskokeeseen nämä mahdollisesti liittyisivät. Siitä voidaan kuitenkin päätellä, että tämä ajateltu satunnaiskoe on yhden ritarin umpimähkäinen poimiminen jälkikäteen turnajaisiin osallistuneiden joukosta. Ensimmäisen ja toisen päivän osallistuminen voivat toki olla toisistaan riippumattomia satunnaiskokeita ja johtaa annettujen lukuarvojen mukaiseen realisaatioon. Tehtävää ei kuitenkaan voida lähteä näin pitkälle menevien olettamusten pohjalta ratkaisemaan. Voihan olla, että tietyt ritarit ovat syystä tai toisesta tietoisesti halunneet osallistua ensimmäisen päivän kamppailuihin ja toiset nimenomaan toisen päivän mittelöihin. Tällöin kysymys on kaikkea muuta kuin riippumattomista satunnaismuuttujista.
Jos nyt kuitenkin halutaan tehdä olettamus, että osallistuminen ensimmäisen päivän ja toisen päivän kamppailuihin olisivat toisistaan riippumattomia satunnaiskokeita, niin tälle nollahypoteesille voitaisiin ja pitäisikin tehdä tilastollinen merkitsevyystesti esillä olevan otoksen perusteella. Yliopiston tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan koulutus antaa tähänkin valmiudet, mutta lukion varsinaiseen oppimäärään se ei kuulu. (Itse kylläkin pohdiskelin asiaan liittyvää problematiikkaa jo lukioaikanani.)
Tehtävähän oli täysin triviaali, miksi kukaan haluaisi käyttää L'Hospitalin sääntöä?
Nämä pitkän matematiikan kokeet ovat nykyään niin helppoja, että suurin osa tehtävistä voi laskea päässäkin ilman kynää ja paperia.
Aivan, mutta juuri samalla perusteellahan voidaan kysyä, miksi kukaan haluaisi käyttää laskinta tehtävän ratkaisemiseen? Näin kuitenkin varmasti tapahtuu.
Ja kyllä ne aikaisemmatkin tehtävät, joissa joku on erehtynyt hyödyntämään yli lukiomatematiikan meneviä tietojaan, ovat olleet samassa mielessä triviaaleja.
Luepas huviksesi Matti Lehtisen kirjoitus aiheesta Solmu-lehdessä:
http://solmu.math.helsinki.fi/2007/1/paak.pdf
Kyllä tuosta pitää tulla hylsy, jos vain derivoi ja antaa tulokset. Jos käyttää tuloksia, joita ei ole opetettu koulussa, pitää liittää mukaan matemaattinen todistus siitä että ne toimivat. Tällöin tehtävästä voi antaa täydet pisteet.
Onko esim. Bolzanon lause todistettu lukiossa? Entä algebran peruslause? Derivoinnin ja integroinnin järjestyksen vaihtaminen, kuvausten jatkuvuus, avaruuskappaleiden tilavuudet, ...
Ei kaikkea tarvitse todistaa täsmällisesti lukiossa, ja jotkut matemaattiset todistukset ovat itsestäänselvyyksiä, kuten juuri Bolzanon lause tai väliarvolause. L'Hospitalin sääntö ei kuitenkaan ole mikään itsestäänselvyys, miten derivoimalla saa raja-arvoja laskettua. Eikä se kuulu lukion oppimäärään, joten sitä ei ole syytä käyttää, ellei sitten osaa näyttää että ymmärtää miten se toimii.
Myös Heronin kaavan käyttämisestä on tullut hylsy aikaisemmin ylioppilaskirjoituksissa, se teki tehtävästä liian helpon. Se on löytynyt ainakin joistakin MAOLin taulukoiden painoksista. Sekään ei kuulu lukion oppimäärään.
Minusta Bolzanon lause ei ole itsestään selvä. Mietin todistusta lukiossa useita päiviä ja hämmästyin sitten kun löysin todistuksen jostain kirjasta. En usko monenkaan lukiolaisen osaavan pyöritellä täydellisyysaksioomaa siten, että lauseen saa todistettua. Toki todistuksen löytää nykyään helposti netistä. Väliarvolause taas on helppo jos tietää Rollen lauseen, mutta enpä keksinyt Rollen lauseen todistustakaan lukioaikana.
Opiskelija voi aloittaa tehtävän näin.
Apulause.
Olkoon f ja g jatkuvasti derivoituvia, olkoon f(a)=g(a)=0. (tässä siis x->a)
Silloin lim f/g=lim f'/g'.
Tod. lim fx)/g(x)=lim f(x)-f(a) / g(x)-g(a) = lim f(x)- f(a) / g(x)-g(a) . x-a / x-a
=lim f(x)-f(a) / x-a . 1/ g(x)-g(a) /x-a=lim f'(x)/g'(x). MOT.
Näin helposti voi käyttää tulosta, kun viittaa todistamaansa lauseseen.
Eipä taida onnistua noin. L'Hospital käy vain rajoitetuissa tapauksissa jolloin tulee esim. 0/0 tyyppinen raja-arvo. Otetaan vaikka funktio F(x) = x^2/x. Mitähän tulee raja-arvoksi suoraan sijoittamalla ja mitä derivointimenetelmällä, kun x -> 1 ?
Eikö tuon apulauseen ehtoihin pidä liittää vielä g'(a) ei ole nolla? Muutenhan tuo viimeisen lausekkeen nimittäjä ei ole välttämättä määritelty.
L'hospitalin lauseen oikea todistus ja selostus sen rajoituksista löytyy osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/L'Hôpitalin_sääntö.
Eihän noi L'Hospitalin oletukset ole tässä tapauksessa voimassa, jos f(x)=x^2, niin f(1)=1 eikä nolla.
On se määritelty jos limes on olemassa siellähän on LIM f'/g'
Eli se viittaa että voidaan derivoida toistamiseen jos mahdollista jne. Toki se vaatii lisää olettamuksia kuten että jonkin kertaluokan derivaatta on 0 poikkeava pisteessä a.
Kyllä L'Hospitalin sääntö esiintyy lukiomatematiikassa, kurssilla MAA13.
Valtakunnalliseen opetussuunnitelmaan se ei kylläkään kuulu tällä hetkellä.
Lukiosta ja käytettävästä kirjasarjasta riippuen L'Hospitalin sääntö voidaan kuitenkin käydä läpi juuri tuolla MAA13 kurssilla. Joissain lukioissa on varmasti myös koulukohtaisia syventäviä kursseja, joihin kyseinen asia kuuluu.
Muuten onko l'Hospital vai l'Hopital. Molempaa käytetään.
Molempia käytetään. Lausutaan "opital".
lausutaan "lopital".
Meillä on nyt menossa matikassa kertauskurssi. Tänään opettaja esitteli l'Hospitalin säännön yhdeksi vaihtoehdoksi tietynlaisiin raja-arvolaskuihin. Hän sanoi, että jos joku sitä ylppäreissä käyttään, on hänen (opettajan) kirjoitettava mukaan selitys, että oppilas on voinut käyttää kyseistä menetelmää, koska se on kertauskurssilla ollut. Tällöin sen kuulemma pitäisi kelvata ratkaisuksi.
Kyllä opettajasi on teitä nyt mielestäni väärin ohjeistanut.
Oppilaan pitäisi tehtävän ratkaisun yhteydessä itse kertoa suorasanaisesti käyttävänsä siinä L'Hospitalin sääntöä. Nuo opettajan jälkikäteiset selvitykset tulevat kysymykseen vasta siinä tapauksessa, jos oppilaalle on sääntö opetettu, hän on sitä hyödyntänyt, jättänyt sen mainitsematta ja jäänyt/jäämässä tästä syystä (epäoikeudenmukaisesti) täysin vaille pisteitä.
Opettajan varsinainen tehtävä ei ole kirjoittaa osia kenenkään vastauksista.
Kukaan opettaja ei todellakaan ala taruileen mitään yo-tenttipapereihin!
Jos oppilat itse on maininnut käyttävänsä L'Hospitalin sääntöä, niin OK, mutta jos raja-arvoja on otettu ilman perusteluita, niin voi käydä kylmät.