Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoisuksissa näyttäisi jälleen olevan L'Hospitalin säännöllä ratkaistavissa oleva tehtävä (no 12).
Jokunen vuosi sitten keskustelua herätti se, että ylioppilastutkintolautakunta ei hyväksynyt tällaisen yli lukion oppimäärän menevän menetelmän käyttöä kirjoituksissa.
Mitenkähän käynee tällä kertaa?
L'Hospital-tehtävä jälleen pitkän matematiikan yo-kirjoituksissa
24
2510
Vastaukset
L'Hospitalin sääntö löytyy wikipediasta osoitteesta
http://fi.wikipedia.org/wiki/L'Hôpitalin_sääntö
Tehtävä on helppo ratkaista myös suoraan symbolisen laskimen avulla.
Olisi varsin erikoista, jos ylioppilastutkintolautakunta hyväksyisi laskimen avulla tehdyn ratkaisun, mutta ei edelleenkään teoreettista L'Hospitalin sääntöön perustuvaa ratkaisua.- maisterimatemaatikko
Kelvannee. Katso http://areena.yle.fi/tv/2040711 noin kohdasta 1.00.00.
Katselin tuon pitkän matematiikan tehtävien läpikäynnin abistudiossa yle-areenan sivulla. Valitettavasti homma meni täydeksi sekoiluksi tehtävän 8 (turnaustehtävä) osalta. Oikea ratkaisutapakin esitettiin mutta sensorien olisi kyllä pitänyt puuttua esitettyihin vääriin ratkaisutapoihin. Niissä lähdettiin tehtävää ratkaisemaan aivan väärien olettamusten pohjalta.
MattiKSinisalo kirjoitti:
Katselin tuon pitkän matematiikan tehtävien läpikäynnin abistudiossa yle-areenan sivulla. Valitettavasti homma meni täydeksi sekoiluksi tehtävän 8 (turnaustehtävä) osalta. Oikea ratkaisutapakin esitettiin mutta sensorien olisi kyllä pitänyt puuttua esitettyihin vääriin ratkaisutapoihin. Niissä lähdettiin tehtävää ratkaisemaan aivan väärien olettamusten pohjalta.
Selitettäköön vielä, että sekä studiossa olleen abin, että chatista esiin otetussa ratkaisussa tehtävää lähdettiin ratkaisemaan riippumattomien satunnaiskokeiden yhdistämiseen liittyvän tulosäännön pohjalta. Tällainen ratkaisutapa on tässä tehtävässä kuitenkin täysin väärä. Mitään syytä ei ole olettaa, että mukana olo turnajaisissa ensimmäisenä ja toisena päivänä olisivat toisistaan riippumattomia satunnaiskokeita. Vaikka olettamus näillä lukuarvoilla johtaakin lähellä oikeaa vastausta olevaan tulokseen, ei tällaisesta vastauksesta voi juurikaan olettaa pisteitä saavansa. Tehtävän oikea vastaus on 78,4%. Tulosäännöllä päädytään väärään arvoon 79,5%. Ensimmäinen vastaus tuo todennäköisesti täydet pisteet, jälkimmäinen jää varmaankin kokonaan ilman pisteitä.
Tuo tehtävän anto on muuten pahasti pielessä. Siinä puhutaan todennäköisyyksistä, mutta ei sanallakaan mainita, mihin satunnaiskokeeseen nämä mahdollisesti liittyisivät. Siitä voidaan kuitenkin päätellä, että tämä ajateltu satunnaiskoe on yhden ritarin umpimähkäinen poimiminen jälkikäteen turnajaisiin osallistuneiden joukosta. Ensimmäisen ja toisen päivän osallistuminen voivat toki olla toisistaan riippumattomia satunnaiskokeita ja johtaa annettujen lukuarvojen mukaiseen realisaatioon. Tehtävää ei kuitenkaan voida lähteä näin pitkälle menevien olettamusten pohjalta ratkaisemaan. Voihan olla, että tietyt ritarit ovat syystä tai toisesta tietoisesti halunneet osallistua ensimmäisen päivän kamppailuihin ja toiset nimenomaan toisen päivän mittelöihin. Tällöin kysymys on kaikkea muuta kuin riippumattomista satunnaismuuttujista.
Jos nyt kuitenkin halutaan tehdä olettamus, että osallistuminen ensimmäisen päivän ja toisen päivän kamppailuihin olisivat toisistaan riippumattomia satunnaiskokeita, niin tälle nollahypoteesille voitaisiin ja pitäisikin tehdä tilastollinen merkitsevyystesti esillä olevan otoksen perusteella. Yliopiston tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan koulutus antaa tähänkin valmiudet, mutta lukion varsinaiseen oppimäärään se ei kuulu. (Itse kylläkin pohdiskelin asiaan liittyvää problematiikkaa jo lukioaikanani.)
Tehtävähän oli täysin triviaali, miksi kukaan haluaisi käyttää L'Hospitalin sääntöä?
Nämä pitkän matematiikan kokeet ovat nykyään niin helppoja, että suurin osa tehtävistä voi laskea päässäkin ilman kynää ja paperia.Aivan, mutta juuri samalla perusteellahan voidaan kysyä, miksi kukaan haluaisi käyttää laskinta tehtävän ratkaisemiseen? Näin kuitenkin varmasti tapahtuu.
Ja kyllä ne aikaisemmatkin tehtävät, joissa joku on erehtynyt hyödyntämään yli lukiomatematiikan meneviä tietojaan, ovat olleet samassa mielessä triviaaleja.
Luepas huviksesi Matti Lehtisen kirjoitus aiheesta Solmu-lehdessä:
http://solmu.math.helsinki.fi/2007/1/paak.pdfMattiKSinisalo kirjoitti:
Aivan, mutta juuri samalla perusteellahan voidaan kysyä, miksi kukaan haluaisi käyttää laskinta tehtävän ratkaisemiseen? Näin kuitenkin varmasti tapahtuu.
Ja kyllä ne aikaisemmatkin tehtävät, joissa joku on erehtynyt hyödyntämään yli lukiomatematiikan meneviä tietojaan, ovat olleet samassa mielessä triviaaleja.
Luepas huviksesi Matti Lehtisen kirjoitus aiheesta Solmu-lehdessä:
http://solmu.math.helsinki.fi/2007/1/paak.pdfKyllä tuosta pitää tulla hylsy, jos vain derivoi ja antaa tulokset. Jos käyttää tuloksia, joita ei ole opetettu koulussa, pitää liittää mukaan matemaattinen todistus siitä että ne toimivat. Tällöin tehtävästä voi antaa täydet pisteet.
- Tietää_
m36-intj kirjoitti:
Kyllä tuosta pitää tulla hylsy, jos vain derivoi ja antaa tulokset. Jos käyttää tuloksia, joita ei ole opetettu koulussa, pitää liittää mukaan matemaattinen todistus siitä että ne toimivat. Tällöin tehtävästä voi antaa täydet pisteet.
Onko esim. Bolzanon lause todistettu lukiossa? Entä algebran peruslause? Derivoinnin ja integroinnin järjestyksen vaihtaminen, kuvausten jatkuvuus, avaruuskappaleiden tilavuudet, ...
Tietää_ kirjoitti:
Onko esim. Bolzanon lause todistettu lukiossa? Entä algebran peruslause? Derivoinnin ja integroinnin järjestyksen vaihtaminen, kuvausten jatkuvuus, avaruuskappaleiden tilavuudet, ...
Ei kaikkea tarvitse todistaa täsmällisesti lukiossa, ja jotkut matemaattiset todistukset ovat itsestäänselvyyksiä, kuten juuri Bolzanon lause tai väliarvolause. L'Hospitalin sääntö ei kuitenkaan ole mikään itsestäänselvyys, miten derivoimalla saa raja-arvoja laskettua. Eikä se kuulu lukion oppimäärään, joten sitä ei ole syytä käyttää, ellei sitten osaa näyttää että ymmärtää miten se toimii.
Myös Heronin kaavan käyttämisestä on tullut hylsy aikaisemmin ylioppilaskirjoituksissa, se teki tehtävästä liian helpon. Se on löytynyt ainakin joistakin MAOLin taulukoiden painoksista. Sekään ei kuulu lukion oppimäärään.- maisterimatemaatikko
m36-intj kirjoitti:
Ei kaikkea tarvitse todistaa täsmällisesti lukiossa, ja jotkut matemaattiset todistukset ovat itsestäänselvyyksiä, kuten juuri Bolzanon lause tai väliarvolause. L'Hospitalin sääntö ei kuitenkaan ole mikään itsestäänselvyys, miten derivoimalla saa raja-arvoja laskettua. Eikä se kuulu lukion oppimäärään, joten sitä ei ole syytä käyttää, ellei sitten osaa näyttää että ymmärtää miten se toimii.
Myös Heronin kaavan käyttämisestä on tullut hylsy aikaisemmin ylioppilaskirjoituksissa, se teki tehtävästä liian helpon. Se on löytynyt ainakin joistakin MAOLin taulukoiden painoksista. Sekään ei kuulu lukion oppimäärään.Minusta Bolzanon lause ei ole itsestään selvä. Mietin todistusta lukiossa useita päiviä ja hämmästyin sitten kun löysin todistuksen jostain kirjasta. En usko monenkaan lukiolaisen osaavan pyöritellä täydellisyysaksioomaa siten, että lauseen saa todistettua. Toki todistuksen löytää nykyään helposti netistä. Väliarvolause taas on helppo jos tietää Rollen lauseen, mutta enpä keksinyt Rollen lauseen todistustakaan lukioaikana.
- ffffs
Opiskelija voi aloittaa tehtävän näin.
Apulause.
Olkoon f ja g jatkuvasti derivoituvia, olkoon f(a)=g(a)=0. (tässä siis x->a)
Silloin lim f/g=lim f'/g'.
Tod. lim fx)/g(x)=lim f(x)-f(a) / g(x)-g(a) = lim f(x)- f(a) / g(x)-g(a) . x-a / x-a
=lim f(x)-f(a) / x-a . 1/ g(x)-g(a) /x-a=lim f'(x)/g'(x). MOT.
Näin helposti voi käyttää tulosta, kun viittaa todistamaansa lauseseen.- 12+10
Eipä taida onnistua noin. L'Hospital käy vain rajoitetuissa tapauksissa jolloin tulee esim. 0/0 tyyppinen raja-arvo. Otetaan vaikka funktio F(x) = x^2/x. Mitähän tulee raja-arvoksi suoraan sijoittamalla ja mitä derivointimenetelmällä, kun x -> 1 ?
- mietinvaan
Eikö tuon apulauseen ehtoihin pidä liittää vielä g'(a) ei ole nolla? Muutenhan tuo viimeisen lausekkeen nimittäjä ei ole välttämättä määritelty.
- 15+13
L'hospitalin lauseen oikea todistus ja selostus sen rajoituksista löytyy osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/L'Hôpitalin_sääntö.
- matikisti1
12+10 kirjoitti:
Eipä taida onnistua noin. L'Hospital käy vain rajoitetuissa tapauksissa jolloin tulee esim. 0/0 tyyppinen raja-arvo. Otetaan vaikka funktio F(x) = x^2/x. Mitähän tulee raja-arvoksi suoraan sijoittamalla ja mitä derivointimenetelmällä, kun x -> 1 ?
Eihän noi L'Hospitalin oletukset ole tässä tapauksessa voimassa, jos f(x)=x^2, niin f(1)=1 eikä nolla.
- kakkaljh
mietinvaan kirjoitti:
Eikö tuon apulauseen ehtoihin pidä liittää vielä g'(a) ei ole nolla? Muutenhan tuo viimeisen lausekkeen nimittäjä ei ole välttämättä määritelty.
On se määritelty jos limes on olemassa siellähän on LIM f'/g'
Eli se viittaa että voidaan derivoida toistamiseen jos mahdollista jne. Toki se vaatii lisää olettamuksia kuten että jonkin kertaluokan derivaatta on 0 poikkeava pisteessä a.
- HRIM
Kyllä L'Hospitalin sääntö esiintyy lukiomatematiikassa, kurssilla MAA13.
- Ei ole ihan noin.
Valtakunnalliseen opetussuunnitelmaan se ei kylläkään kuulu tällä hetkellä.
Lukiosta ja käytettävästä kirjasarjasta riippuen L'Hospitalin sääntö voidaan kuitenkin käydä läpi juuri tuolla MAA13 kurssilla. Joissain lukioissa on varmasti myös koulukohtaisia syventäviä kursseja, joihin kyseinen asia kuuluu.
- 5+2
Muuten onko l'Hospital vai l'Hopital. Molempaa käytetään.
- teekkari43324
Molempia käytetään. Lausutaan "opital".
- atsteekkari
teekkari43324 kirjoitti:
Molempia käytetään. Lausutaan "opital".
lausutaan "lopital".
- näinmeillesanottiin
Meillä on nyt menossa matikassa kertauskurssi. Tänään opettaja esitteli l'Hospitalin säännön yhdeksi vaihtoehdoksi tietynlaisiin raja-arvolaskuihin. Hän sanoi, että jos joku sitä ylppäreissä käyttään, on hänen (opettajan) kirjoitettava mukaan selitys, että oppilas on voinut käyttää kyseistä menetelmää, koska se on kertauskurssilla ollut. Tällöin sen kuulemma pitäisi kelvata ratkaisuksi.
Kyllä opettajasi on teitä nyt mielestäni väärin ohjeistanut.
Oppilaan pitäisi tehtävän ratkaisun yhteydessä itse kertoa suorasanaisesti käyttävänsä siinä L'Hospitalin sääntöä. Nuo opettajan jälkikäteiset selvitykset tulevat kysymykseen vasta siinä tapauksessa, jos oppilaalle on sääntö opetettu, hän on sitä hyödyntänyt, jättänyt sen mainitsematta ja jäänyt/jäämässä tästä syystä (epäoikeudenmukaisesti) täysin vaille pisteitä.
Opettajan varsinainen tehtävä ei ole kirjoittaa osia kenenkään vastauksista.- Tietää_
MattiKSinisalo kirjoitti:
Kyllä opettajasi on teitä nyt mielestäni väärin ohjeistanut.
Oppilaan pitäisi tehtävän ratkaisun yhteydessä itse kertoa suorasanaisesti käyttävänsä siinä L'Hospitalin sääntöä. Nuo opettajan jälkikäteiset selvitykset tulevat kysymykseen vasta siinä tapauksessa, jos oppilaalle on sääntö opetettu, hän on sitä hyödyntänyt, jättänyt sen mainitsematta ja jäänyt/jäämässä tästä syystä (epäoikeudenmukaisesti) täysin vaille pisteitä.
Opettajan varsinainen tehtävä ei ole kirjoittaa osia kenenkään vastauksista.Kukaan opettaja ei todellakaan ala taruileen mitään yo-tenttipapereihin!
Jos oppilat itse on maininnut käyttävänsä L'Hospitalin sääntöä, niin OK, mutta jos raja-arvoja on otettu ilman perusteluita, niin voi käydä kylmät.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Katso: Ohhoh! Miina Äkkijyrkkä sai käskyn lähteä pois Farmi-kuvauksista -Kommentoi asiaa: "En ole.."
Tämä oli shokkiyllätys. Oliko tässä kyse tosiaan siitä, että Äkkijyrkkä sanoi asioita suoraan vai mistä.... Tsemppiä, Mi1305055- 323187
Haluan jutella kanssasi Nainen
Olisiko jo aika tavata ja avata tunteemme...On niin paljon asioita joihin molemmat ehkä haluaisimme saada vastaukset...O161827Poliisiauto Omasp:n edessä parkissa
Poliisiauto oli parkissa monta tuntia Seinäjoen konttorin edessä tänään. Haettiinko joku tai jotain pankista tutkittavak221790Onko mies niin,
että sinulle ei riitä yksi nainen? Minulle suhde tarkoittaa sitoutumista, tosin eihän se vankila saa olla kummallekaan.191655Voitasko leikkiä jotain tunnisteleikkiä?
Tietäisi ketä täällä käy kaipaamassa.. kerro jotain mikä liittyy sinuun ja häneen eikä muut tiedä. Vastaan itsekin kohta711501Tietysti jokainen ansaitsee
Hän varmasti ansaitsee vain parasta ja sopivinta tietenkin, suon sen onnen hänelle enemmän kuin mielelläni. Aika on nyt111295Armi Aavikko Malmin hautausmaa
Haudattiinko Armi arkussa Malmin hautausmaalle vai tuhkattiinko hänet? Kuka tietää asiasta oikein?111276Miksi näin?
Miksi vihervassut haluaa maahan porukkaa jonka pyhä kirja kieltää sopeutumisen vääräuskoisten keskuuteen? Näin kotoutumi191257Haluisin suudella ja huokailla
ja purra kaulaasi ja rakastella sinua. Haluisin puristella rintojasi ja pakaroitasi. Ei sinulla taida olla kuitenkaan ni161247