Eli opetan eräälle henkilölle murtolukujen laskutoimituksia, mutta eräs "itsestään selvyys" alkoi askarruttamaan omaa mieltä:
Miten osoittaa, että luvulla x jakaminen vastaan luvulla 1/x kertomista?
Ja nyt en siis halua mitään tuosta-noin-vaan-selityksiä, vaan ihan aksioomista lähtien kulkevaa perustelua.
Miten osoittaa, että luvulla x jakaminen vastaan luvulla 1/x kertomista?
Ja nyt en siis halua mitään tuosta-noin-vaan-selityksiä, vaan ihan aksioomista lähtien kulkevaa perustelua.
Vastaukset 33
Vanhimmat
y/x=(1/x)y ||:(1/x)
y/x(1/x)=y
y=y
y/x(1/x)=y
Mihin tuo nyt sitten perustuu? Ei tuo ole muuta kuin alkuperäinen kysymys toisin muotoiltuna.
Luvulla x jakaminen on sama kuin x:n käänteisluvulla kertominen. Ei sen vaikeampaa. Esim lasku 3/(3/2) eli kolme jaettuna puolellatoista.
3/(3/2)=(3*2)/3=6/3=2
"löytyy maolista". No ehkei tuo nyt ollut asian pointti, vaan se, että miten siihen on päädytty matematiikan perusteista lähtien.
Löytyykö tuolta?
INVERSE AXIOMS
http://www.mathhands.com/046/hw/046c01s06ns.pdf
Luvulla x jakaminen tarkoittaa "x:s osaa" jaettavasta. Ja se puolestaan on sama asia kuin yksi x:s osa kertaa se jaettava.
Kysyt niin itsestäänselvää asiaa, ettei sellaiselle löydy sen monimutkaisempaa aksioomaa. Vähän sama kuin kysyisi miten voidaan todistaa, että 7 kertaa kuusi on sama kuin 6 kertaa seitsemän.
Käytännössä niin itsestäänselvyys, ettei ole tullut miettineeksi; teoreetikko väsää kyllä helposti todistuksen, mutta kuka ei-teoreetikko jaksaa siitä innostua :)
Logiikka on sama kuin yhteenlaskussa: sen jälkeen kun vastaluvun käsite on keksitty, vähennyslasku on itse asiassa yhteenlaskua, esim 5-2 = 5+(-2), eli saman asian merkkaamista tavalla ja sitten toisella.
Kun käänteisluvun käsite on keksitty, jakolasku on samalla logiikalla kertolaskun johdannainen, eli yhtä kaikki.
Esim. jos haluat laskea paljonko on 1% luvusta x, se on x/100. Mutta yhtä lailla se on myös 0.01*x, mikä suorastaan lienee tavallisempi tapa esim. valmisohjelmissa.
Myös arkikielessä: kilo kahvia jako kahdelle on sama asia kuin kumpikin saa puolet ("puolikertaa") kilosta.
ps. Että nollan käänteislukua ei ole, se vaatii formaaliakin perustelua kyllä, eli siltä kantilta ei tyhmä kysymys
Niin. Ainakin Maol-taulukossa on annettu aksioomana, että kaikilla nollasta poikkeavilla a on olemassa käänteisalkio x, jolle ax=1, ja merkitään x=1/a. Mutta jos ax=1 ja x:n paikalle sijoittaa 1/a, niin saadaan a*1/a=1. Mutta aksioomissa ei kai ole annettu, että a*1/a=(a*1)/a=a/a eikä että a/a=1. Eli kai tuossa pitäisi jotenkin sopia, että laskussa a*1/a osoittajan a*1 lasketaan ennen jakolaskua.
Mistä aksioomista lähtien ajattelit tuon todistaa? Joukko-opin? Kunta? Riippuu aika paljon siitä, miten todistus menee vai huomataanko sen olevan itse asiassa aksiooma.
Jos lähden wikissä esitetystä jakolaskun määritelmästä, saan seuraavan päättelyketjun. Ensin kertolaskun vaihdantasääntö:
a*(b*x) = (a*x)*b
Sitten oletan että b*x = 1 jolloin b = 1/x jakolaskun määritelmän perusteella. Siis:
a = (a*x)*1/x
Nyt vaihdetaan kertolaskun järjestystä:
a = (a*1/x)*x
Jakolaskun määritelmän perusteella:
Jos (a*1/x)*x = a -> a*1/x = a/x.
Meniköhän oikein.
Oikein pätevää! Jostain aksioomasta tuon asian pitää aina seurata, ja nyt kyseessä oli tulon assosiatiivisuus.
Mitä pitäisi todistaa ?
Funktion tai laskuioimitusten ulkoasu on yhteisesti sovittu merkintätapa, se ei ole seurausta mistään, jonka voisi todistaa.
Sama jos kysyisit miten aukottomasti todistetaan että kaksoispiste tarkoittaa jakolaskua ? ?
Jos on lukenut vain koulumatikan, pitää itsestään selvänä sellaistakin mikä sitä ei ole. Aksiomaattisesti voidaan määritellä esim. matematiikka jossa ei päde että a*b = b*a.
matematiikassa voidaan määritellä kaikenlaisia arkikokemukseen nähden outoja asioita (kokeilevaa taidetta :), mutta oleellisin matematiikan merkitys on toimivat määrittelyt siltä osin, kun eivät ole ristiriidassa tavanomaisten ("jokapäiväisten") asioitten kanssa.
"asioitten" -> ...havaintojen kanssa.
Missä voi lukea muuta kuin koulumatematiikkaa tai mitä se muu sitten on ?
Jos tarkoitat tuolla viimeisellä lauseellasi että tulon tekijöiden järjestys muuttaa tuloa, taidat puhua ohi tietosi, jos merkintä liittyy johonkin poikkeavaan, se on ilmaistava myös merkinnässä, muutenhan tuloksena olisi täysi kaaos.
Matematiikka, koulumatematiikka ja
didaktinen matematiikka
http://www.tieteessatapahtuu.fi/038/tossavainensorvali.pdf
http://math.oulu.fi/materiaalit/luentorungot/koulumatematiikan_perusteet_VANHA.pdf
"Tässä artikkelissa tarkastellaan aluksi matematiikkaa tieteenä ja koulun oppiaineena. Tällöin käy ilmi, että koulumatematiikka ja tieteellinen matematiikka ovat varsin erilaisia. Perinteisessä matematiikan didaktiikassa on keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuksen problematiikkaan (esim. Malinen & Kupari 2003). Tähän mennessä siinä on käsitelty vain vähän varsinaisen matematiikan oppimisen ja opettamisen ongelmia. Toisaalta varsinaisen matematiikan tieteellisessä tutkimuksessa matematiikan oppimisen kysymyksiin on ymmärrettävästi kiinnitetty hyvin vähän jos ollenkaan huomiota. Näin matematiikan ja sen didaktiikan välimaastoon on jäänyt toistaiseksi vähän tutkittu alue. Tässä kirjoituksessa pyritään osoittamaan, että varsinaisen matematiikan opettamisen ja erityisesti matematiikan aineenopettajakoulutuksen kehittäminen edellyttää tämän harmaan alueen kartoittamista. Epäoleellista lienee se, kutsutaanko tällä alueella tapahtuvaa toimintaa didaktiseksi matematiikaksi vai luokitellaanko se matematiikkaan tai sen didaktiikkaan jo kuuluvaksi asiaksi."
http://sokl.uef.fi/verkkojulkaisut/tutkivaope/tossavainen.htm
Tulon ei tarvitse kommutoida. Esimerkiksi matriisitulo ei välttämättä ole edes määritelty jos tekijöiden järjestystä vaihdetaan.
Et taida juuri tuntea matematiikkaa?
Ymmärrätköhän edes mistä puhut tai käsitätkö mikä ero on milloin kirjainsymboli tarkoittaa laskutoimituksen lukua tai jotain muuta.
Laskutoimitukset matriiseissa ja determinanteissa ovat aivan normaaleja alkeistoimintoja, opettele vaikka googlaamalla, mitä ne kirjaimet tarkoittavat.
Säälittävää vänkäämistä.
Kuulostata kandivaiheen insinöörinopiskeljalta valmiine maailmankuvineen. Suloista :)
Yleinen käsitys taitaa olla vallitsevana, että maailmankuvala ei ole mitään vaikutusta matematiikkaan.
Tietenkin siihen tai vastaavaan filosofiaan vetoamalla voi kaikista tilanteissa yrittää rimpuilla, kun on puhunut läpiä päähänsä.
Tuloja on matematiikassa monenlaisia, yleiskielessä niillä vain sattuu usein olemaan sama tai samantapainen nimi, esim.ristitulo. Aloittaja tarkoittaa rationaalilukuja (murtoluvut).
Muutenkin tässä ketjussa monet opiskelijat ovat harhautuneet esittelemään algebran rakenteita, vaikka kyse on puhtaasti peruskoulun alkeisaritmetiikasta, ns.laskuopista. Niillä eväillä voisitte yrittää pärjätä
Aloittaja kuitenkin peräänkuuluttaa aksioomista lähteviä perusteluja. En ole kovin hyvin perehtynyt peruskoulun aritmetiikkaan mutta ainakaan minun aikanani siellä ei lähdetty aksioomista liikkeelle.
"Ja nyt en siis halua mitään tuosta-noin-vaan-selityksiä, vaan ihan aksioomista lähtien kulkevaa perustelua."
Minkä asteinen tyytyväisyys vastauksiin aloittajalla vallitsee, kun tiukkaa aksioomajärjestelmää todistuksineen ei ole vielä tullut :)
Onko lähentynyt "itsestäänselvyys" ja itsestäänselvyys toisiaan
vaikka vastaukset enempi heitonluonteisia ovat.
Jo alakoulumatematiikassakin periaatteessa pohdittavaa riittää, esim. minkä kautta tulisi vakuuttuneeksi varmasti siitä, että käsinlasku jakokulmassa tuottaa oikean tuloksen millä tahansa luvuilla, aina? Kuka on etukäteen kokeillut kaikki mahdolliset luvut (voi olettaa, että eletään laskimia edeltävää aikaa mutta ei ole akko :)
Tätäkään jakokulmamenettelyn takuutodistusta ei tänäkään päivänä peruskoulussa kaiketi oppikursseissa esitetä, korjatkaa jos olen väärässä.
ps. erilaisia jakokulman piirtämis- eli merkintätapoja taitaa olla useampia, mutta itse menettely loogisesti on kaikissa sama. (Tutkijat ovat miettineet, minkälaisella tavalla tulisi vähiten merkintävirheitä laskun aikana)
Eräs tämän ketjun vastaaja perusteli asia tulon assosiatiivisuudella, joka on ihan aksiooma:
"Jos lähden wikissä esitetystä jakolaskun määritelmästä, saan seuraavan päättelyketjun. Ensin kertolaskun vaihdantasääntö:
a*(b*x) = (a*x)*b
Sitten oletan että b*x = 1 jolloin b = 1/x jakolaskun määritelmän perusteella. Siis:
a = (a*x)*1/x
Nyt vaihdetaan kertolaskun järjestystä:
a = (a*1/x)*x
Jakolaskun määritelmän perusteella:
Jos (a*1/x)*x = a -> a*1/x = a/x.
Meniköhän oikein. "
Aloittajan kysymys on oikein relevantti, sillä se voidaan perustella täsmällisesti, samoin kuin miksi -1*-1=1.
Perustelu riippuu valitusta aksioomajärjestelmästä. Esim. tuolla edellä on linkki monisteeseen Koulumatematiikan perusteet 800104P jossa rationaalilukujen summa ja tulo määritellään aksiomaattisesti. Tällöin tuo kysytty voidaan todeta aika triviaalisti.
Jakolaskuhan ei varsinaisesti ole mikään itsenäinen laskutoimitus. Esimerkiksi reaalilukujen normaalit aksioomat (löytyvät MAOL:ista) koskevat vain yhteen- ja kertolaskua sekä järjestysominaisuuksia. Samaten jos määritellään rationaaliluvut vaikkapa kokonaislukujen osamääräkuntana, niin riittää spesifioida pelkästään miten rationaalilukuja kerrotaan ja lasketaan yhteen.
Luku y on luvun x käänteisluku jos ja vain jos xy (=yx) = 1. Tämä on määritelmä. Edelleen jakolasku määritellään käänteisluvulla kertomiseksi. Koska kyseessä on määritelmä, sitä ei voi todistaa!
Se, että jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, on eräs reaalilukujen aksioomista. Samaten suoraan käänteisluvun määritelmään ja rationaalilukujen tulon määrittelyyn nojautuen on helppo todeta, että rationaaliluvun a/b käänteisluku on b/a aina, kun osoittaja on nollasta eroava.
Kaikkea sitä todistellaa. Onko nämä todistuksia vai mitä?
Lemma 2: 0 ≠ 1.
Proof: (Lemma 2: 0 ≠ 1.)
Let a ∈ F. If 0 = 1, then 0 = a*0 = a*1 = a, and hence a = 0. Thus, if 0 = 1, then all elements a of F are equal to 0,
contradicting the fact that F has at least two elements.
Lemma 4: For any element a ∈ F such that a ≠ 0, the multiplicative inverse a^−1
is unique
Proof: (Lemma 4: If a ≠ 0, then a^−1 is unique.)
Suppose a ≠ 0 and there is a b ∈ F such that ab = 1. Because a ≠ 0, a^−1 exists. Multiplying both sides of the equation
ab = 1 by a^−1 yields: a^−1 ab = a^−1 * 1 = a^−1. But a^−1 * a = 1, and hence b = a^−1.
Lemma 5: For any element a ∈ F, we have that −a = (−1)*a.
Proof: (Lemma 5: −a = (−1)*a.)
Note that 0 = a*(1 −1) = a*1 a*(−1) = a a*(−1). Adding −a to both sides yields −a = 0 a*(−1), and hence
−a = (−1)*a.
Lemma 6: (−1)*(−1) = 1
Proof: (Lemma 6: (−1)(−1) = 1.)
0 = (−1)*(1 −1) = (−1)*1 (−1)*(−1) = −1 (−1)*(−1)
Adding 1 to both sides of the equation yields:
0 1 = −1 1 (−1)*(−1) = (−1)*(−1)
Therefore, 1 = (−1)*(−1).
http://www-bcf.usc.edu/~mjneely/pdf_papers/field-lemmas.pdf
Onhan tuossa tuo englanninkielen todistussana aika näkyvästi esillä:) Kyllä nuo kaikki ovat kunta-aksioomien yksinkertaisia seurauksia. Tosin Lemma 2 pätee yleisemmin mille tahansa ykköselliselle renkaalle, jossa on vähintään kaksi alkiota, Lemma 4 pätee kaikissa ryhmissä ja Lemmat 5-6 kaikissa ykkösellisissä renkaissa.
Se, että (lähinnä kai reaalilukujen) laskulait on määritelty aksioomina, lienee myöhempien aikojen matemaattista herännäisyyttä, puisevaa ja kuivakasta :)
Luulen, että ajassa jo paljon ennen on jostain syystä (intuitiivisestikin) noudatettu laskennoissa noita lakeja, ja havaittu, että käyhän nuo aksioomiksikin, niin saa formaalit määrittelyt tiukempaan pakettiin.
Siittä vaan matematiikan historioita lukemaan, jos ketä kiinnostaa...
ps. Luulen,että matikkaa pitemmälle lukeville kuuluu opintoihin jonkinlainen näkemystä antava historiakurssi
Pitää erottaa toisistaan aritmetiikka (luvuilla laskeminen) ja sitä laajempi matematiikka.
Näinhän se on, tuossa edelläkin esitellään jo yleisempiä algebrallisia struktuureja (ja kiistellään niistä:)
Ja sitä kautta tullaan reaalilukuihin myös.
Jos ajatellaan pelkästään aloitusviestiä, niin siinä ihmetellään vain murtolukuihin liittyviä sääntöjä, ja halutaan havainnollistusta ns."alhaalta ylös" -periaatteella.
Tässä halutaan näköjään näyttää ensin yleinen teoreettinen struktuuri, jonka aksioomista lähtien todistettaisiin sitten murtoluvunkin laskuominaisuudet.