Miten todistaa perusaritmetiikan juttu?

Luvulla x jakaminen on sama kuin x:n käänteisluvulla kertominen. Ei sen vaikeampaa. Esim lasku 3/(3/2) eli kolme jaettuna puolellatoista.
3/(3/2)=(3*2)/3=6/3=2

löytyy maolista kirjoitti:

Luvulla x jakaminen on sama kuin x:n käänteisluvulla kertominen. Ei sen vaikeampaa. Esim lasku 3/(3/2) eli kolme jaettuna puolellatoista.
3/(3/2)=(3*2)/3=6/3=2

"löytyy maolista". No ehkei tuo nyt ollut asian pointti, vaan se, että miten siihen on päädytty matematiikan perusteista lähtien.

Oikein pätevää! Jostain aksioomasta tuon asian pitää aina seurata, ja nyt kyseessä oli tulon assosiatiivisuus.

Jos on lukenut vain koulumatikan, pitää itsestään selvänä sellaistakin mikä sitä ei ole. Aksiomaattisesti voidaan määritellä esim. matematiikka jossa ei päde että a*b = b*a.

14+10 kirjoitti:

Jos on lukenut vain koulumatikan, pitää itsestään selvänä sellaistakin mikä sitä ei ole. Aksiomaattisesti voidaan määritellä esim. matematiikka jossa ei päde että a*b = b*a.

Lue lisää

matematiikassa voidaan määritellä kaikenlaisia arkikokemukseen nähden outoja asioita (kokeilevaa taidetta :), mutta oleellisin matematiikan merkitys on toimivat määrittelyt siltä osin, kun eivät ole ristiriidassa tavanomaisten ("jokapäiväisten") asioitten kanssa.

Aksiomaattisesti kirjoitti:

matematiikassa voidaan määritellä kaikenlaisia arkikokemukseen nähden outoja asioita (kokeilevaa taidetta :), mutta oleellisin matematiikan merkitys on toimivat määrittelyt siltä osin, kun eivät ole ristiriidassa tavanomaisten ("jokapäiväisten") asioitten kanssa.

Lue lisää

"asioitten" -> ...havaintojen kanssa.

14+10 kirjoitti:

Jos on lukenut vain koulumatikan, pitää itsestään selvänä sellaistakin mikä sitä ei ole. Aksiomaattisesti voidaan määritellä esim. matematiikka jossa ei päde että a*b = b*a.

Lue lisää

Missä voi lukea muuta kuin koulumatematiikkaa tai mitä se muu sitten on ?

Jos tarkoitat tuolla viimeisellä lauseellasi että tulon tekijöiden järjestys muuttaa tuloa, taidat puhua ohi tietosi, jos merkintä liittyy johonkin poikkeavaan, se on ilmaistava myös merkinnässä, muutenhan tuloksena olisi täysi kaaos.

Besserwisseri pätee kirjoitti:

Missä voi lukea muuta kuin koulumatematiikkaa tai mitä se muu sitten on ?

Jos tarkoitat tuolla viimeisellä lauseellasi että tulon tekijöiden järjestys muuttaa tuloa, taidat puhua ohi tietosi, jos merkintä liittyy johonkin poikkeavaan, se on ilmaistava myös merkinnässä, muutenhan tuloksena olisi täysi kaaos.

Lue lisää

Matematiikka, koulumatematiikka ja
didaktinen matematiikka

http://www.tieteessatapahtuu.fi/038/tossavainensorvali.pdf

http://math.oulu.fi/materiaalit/luentorungot/koulumatematiikan_perusteet_VANHA.pdf

Besserwisseri pätee kirjoitti:

Missä voi lukea muuta kuin koulumatematiikkaa tai mitä se muu sitten on ?

Jos tarkoitat tuolla viimeisellä lauseellasi että tulon tekijöiden järjestys muuttaa tuloa, taidat puhua ohi tietosi, jos merkintä liittyy johonkin poikkeavaan, se on ilmaistava myös merkinnässä, muutenhan tuloksena olisi täysi kaaos.

Lue lisää

"Tässä artikkelissa tarkastellaan aluksi matematiikkaa tieteenä ja koulun oppiaineena. Tällöin käy ilmi, että koulumatematiikka ja tieteellinen matematiikka ovat varsin erilaisia. Perinteisessä matematiikan didaktiikassa on keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuksen problematiikkaan (esim. Malinen & Kupari 2003). Tähän mennessä siinä on käsitelty vain vähän varsinaisen matematiikan oppimisen ja opettamisen ongelmia. Toisaalta varsinaisen matematiikan tieteellisessä tutkimuksessa matematiikan oppimisen kysymyksiin on ymmärrettävästi kiinnitetty hyvin vähän jos ollenkaan huomiota. Näin matematiikan ja sen didaktiikan välimaastoon on jäänyt toistaiseksi vähän tutkittu alue. Tässä kirjoituksessa pyritään osoittamaan, että varsinaisen matematiikan opettamisen ja erityisesti matematiikan aineenopettajakoulutuksen kehittäminen edellyttää tämän harmaan alueen kartoittamista. Epäoleellista lienee se, kutsutaanko tällä alueella tapahtuvaa toimintaa didaktiseksi matematiikaksi vai luokitellaanko se matematiikkaan tai sen didaktiikkaan jo kuuluvaksi asiaksi."

http://sokl.uef.fi/verkkojulkaisut/tutkivaope/tossavainen.htm

Besserwisseri pätee kirjoitti:

Missä voi lukea muuta kuin koulumatematiikkaa tai mitä se muu sitten on ?

Jos tarkoitat tuolla viimeisellä lauseellasi että tulon tekijöiden järjestys muuttaa tuloa, taidat puhua ohi tietosi, jos merkintä liittyy johonkin poikkeavaan, se on ilmaistava myös merkinnässä, muutenhan tuloksena olisi täysi kaaos.

Lue lisää

Tulon ei tarvitse kommutoida. Esimerkiksi matriisitulo ei välttämättä ole edes määritelty jos tekijöiden järjestystä vaihdetaan.

Et taida juuri tuntea matematiikkaa?

1w2w3w kirjoitti:

Tulon ei tarvitse kommutoida. Esimerkiksi matriisitulo ei välttämättä ole edes määritelty jos tekijöiden järjestystä vaihdetaan.

Et taida juuri tuntea matematiikkaa?

Lue lisää

Ymmärrätköhän edes mistä puhut tai käsitätkö mikä ero on milloin kirjainsymboli tarkoittaa laskutoimituksen lukua tai jotain muuta.
Laskutoimitukset matriiseissa ja determinanteissa ovat aivan normaaleja alkeistoimintoja, opettele vaikka googlaamalla, mitä ne kirjaimet tarkoittavat.

Säälittävää vänkäämistä.

No huh huh. kirjoitti:

Ymmärrätköhän edes mistä puhut tai käsitätkö mikä ero on milloin kirjainsymboli tarkoittaa laskutoimituksen lukua tai jotain muuta.
Laskutoimitukset matriiseissa ja determinanteissa ovat aivan normaaleja alkeistoimintoja, opettele vaikka googlaamalla, mitä ne kirjaimet tarkoittavat.

Säälittävää vänkäämistä.

Lue lisää

Kuulostata kandivaiheen insinöörinopiskeljalta valmiine maailmankuvineen. Suloista :)

1w2w3w kirjoitti:

Kuulostata kandivaiheen insinöörinopiskeljalta valmiine maailmankuvineen. Suloista :)

Yleinen käsitys taitaa olla vallitsevana, että maailmankuvala ei ole mitään vaikutusta matematiikkaan.
Tietenkin siihen tai vastaavaan filosofiaan vetoamalla voi kaikista tilanteissa yrittää rimpuilla, kun on puhunut läpiä päähänsä.

1w2w3w kirjoitti:

Tulon ei tarvitse kommutoida. Esimerkiksi matriisitulo ei välttämättä ole edes määritelty jos tekijöiden järjestystä vaihdetaan.

Et taida juuri tuntea matematiikkaa?

Lue lisää

Tuloja on matematiikassa monenlaisia, yleiskielessä niillä vain sattuu usein olemaan sama tai samantapainen nimi, esim.ristitulo. Aloittaja tarkoittaa rationaalilukuja (murtoluvut).

Muutenkin tässä ketjussa monet opiskelijat ovat harhautuneet esittelemään algebran rakenteita, vaikka kyse on puhtaasti peruskoulun alkeisaritmetiikasta, ns.laskuopista. Niillä eväillä voisitte yrittää pärjätä

Sivusta. kirjoitti:

Tuloja on matematiikassa monenlaisia, yleiskielessä niillä vain sattuu usein olemaan sama tai samantapainen nimi, esim.ristitulo. Aloittaja tarkoittaa rationaalilukuja (murtoluvut).

Muutenkin tässä ketjussa monet opiskelijat ovat harhautuneet esittelemään algebran rakenteita, vaikka kyse on puhtaasti peruskoulun alkeisaritmetiikasta, ns.laskuopista. Niillä eväillä voisitte yrittää pärjätä

Lue lisää

Aloittaja kuitenkin peräänkuuluttaa aksioomista lähteviä perusteluja. En ole kovin hyvin perehtynyt peruskoulun aritmetiikkaan mutta ainakaan minun aikanani siellä ei lähdetty aksioomista liikkeelle.

Eräs tämän ketjun vastaaja perusteli asia tulon assosiatiivisuudella, joka on ihan aksiooma:

"Jos lähden wikissä esitetystä jakolaskun määritelmästä, saan seuraavan päättelyketjun. Ensin kertolaskun vaihdantasääntö:
a*(b*x) = (a*x)*b
Sitten oletan että b*x = 1 jolloin b = 1/x jakolaskun määritelmän perusteella. Siis:
a = (a*x)*1/x
Nyt vaihdetaan kertolaskun järjestystä:
a = (a*1/x)*x
Jakolaskun määritelmän perusteella:
Jos (a*1/x)*x = a -> a*1/x = a/x.
Meniköhän oikein. "

Aloittajan kysymys on oikein relevantti, sillä se voidaan perustella täsmällisesti, samoin kuin miksi -1*-1=1.

Tietää_ kirjoitti:

Eräs tämän ketjun vastaaja perusteli asia tulon assosiatiivisuudella, joka on ihan aksiooma:

"Jos lähden wikissä esitetystä jakolaskun määritelmästä, saan seuraavan päättelyketjun. Ensin kertolaskun vaihdantasääntö:
a*(b*x) = (a*x)*b
Sitten oletan että b*x = 1 jolloin b = 1/x jakolaskun määritelmän perusteella. Siis:
a = (a*x)*1/x
Nyt vaihdetaan kertolaskun järjestystä:
a = (a*1/x)*x
Jakolaskun määritelmän perusteella:
Jos (a*1/x)*x = a -> a*1/x = a/x.
Meniköhän oikein. "

Aloittajan kysymys on oikein relevantti, sillä se voidaan perustella täsmällisesti, samoin kuin miksi -1*-1=1.

Lue lisää

Perustelu riippuu valitusta aksioomajärjestelmästä. Esim. tuolla edellä on linkki monisteeseen Koulumatematiikan perusteet 800104P jossa rationaalilukujen summa ja tulo määritellään aksiomaattisesti. Tällöin tuo kysytty voidaan todeta aika triviaalisti.

Kaikkea sitä todistellaa. Onko nämä todistuksia vai mitä?

Lemma 2: 0 ≠ 1.

Proof: (Lemma 2: 0 ≠ 1.)
Let a ∈ F. If 0 = 1, then 0 = a*0 = a*1 = a, and hence a = 0. Thus, if 0 = 1, then all elements a of F are equal to 0,
contradicting the fact that F has at least two elements.



Lemma 4: For any element a ∈ F such that a ≠ 0, the multiplicative inverse a^−1
is unique

Proof: (Lemma 4: If a ≠ 0, then a^−1 is unique.)

Suppose a ≠ 0 and there is a b ∈ F such that ab = 1. Because a ≠ 0, a^−1 exists. Multiplying both sides of the equation
ab = 1 by a^−1 yields: a^−1 ab = a^−1 * 1 = a^−1. But a^−1 * a = 1, and hence b = a^−1.



Lemma 5: For any element a ∈ F, we have that −a = (−1)*a.
Proof: (Lemma 5: −a = (−1)*a.)
Note that 0 = a*(1 −1) = a*1 a*(−1) = a a*(−1). Adding −a to both sides yields −a = 0 a*(−1), and hence
−a = (−1)*a.


Lemma 6: (−1)*(−1) = 1

Proof: (Lemma 6: (−1)(−1) = 1.)
0 = (−1)*(1 −1) = (−1)*1 (−1)*(−1) = −1 (−1)*(−1)
Adding 1 to both sides of the equation yields:
0 1 = −1 1 (−1)*(−1) = (−1)*(−1)
Therefore, 1 = (−1)*(−1).

http://www-bcf.usc.edu/~mjneely/pdf_papers/field-lemmas.pdf

voiha lemma kirjoitti:

Kaikkea sitä todistellaa. Onko nämä todistuksia vai mitä?

Lemma 2: 0 ≠ 1.

Proof: (Lemma 2: 0 ≠ 1.)
Let a ∈ F. If 0 = 1, then 0 = a*0 = a*1 = a, and hence a = 0. Thus, if 0 = 1, then all elements a of F are equal to 0,
contradicting the fact that F has at least two elements.



Lemma 4: For any element a ∈ F such that a ≠ 0, the multiplicative inverse a^−1
is unique

Proof: (Lemma 4: If a ≠ 0, then a^−1 is unique.)

Suppose a ≠ 0 and there is a b ∈ F such that ab = 1. Because a ≠ 0, a^−1 exists. Multiplying both sides of the equation
ab = 1 by a^−1 yields: a^−1 ab = a^−1 * 1 = a^−1. But a^−1 * a = 1, and hence b = a^−1.



Lemma 5: For any element a ∈ F, we have that −a = (−1)*a.
Proof: (Lemma 5: −a = (−1)*a.)
Note that 0 = a*(1 −1) = a*1 a*(−1) = a a*(−1). Adding −a to both sides yields −a = 0 a*(−1), and hence
−a = (−1)*a.


Lemma 6: (−1)*(−1) = 1

Proof: (Lemma 6: (−1)(−1) = 1.)
0 = (−1)*(1 −1) = (−1)*1 (−1)*(−1) = −1 (−1)*(−1)
Adding 1 to both sides of the equation yields:
0 1 = −1 1 (−1)*(−1) = (−1)*(−1)
Therefore, 1 = (−1)*(−1).

http://www-bcf.usc.edu/~mjneely/pdf_papers/field-lemmas.pdf

Lue lisää

Onhan tuossa tuo englanninkielen todistussana aika näkyvästi esillä:) Kyllä nuo kaikki ovat kunta-aksioomien yksinkertaisia seurauksia. Tosin Lemma 2 pätee yleisemmin mille tahansa ykköselliselle renkaalle, jossa on vähintään kaksi alkiota, Lemma 4 pätee kaikissa ryhmissä ja Lemmat 5-6 kaikissa ykkösellisissä renkaissa.

Pitää erottaa toisistaan aritmetiikka (luvuilla laskeminen) ja sitä laajempi matematiikka.

10+12 kirjoitti:

Pitää erottaa toisistaan aritmetiikka (luvuilla laskeminen) ja sitä laajempi matematiikka.

Näinhän se on, tuossa edelläkin esitellään jo yleisempiä algebrallisia struktuureja (ja kiistellään niistä:)
Ja sitä kautta tullaan reaalilukuihin myös.
Jos ajatellaan pelkästään aloitusviestiä, niin siinä ihmetellään vain murtolukuihin liittyviä sääntöjä, ja halutaan havainnollistusta ns."alhaalta ylös" -periaatteella.

Tässä halutaan näköjään näyttää ensin yleinen teoreettinen struktuuri, jonka aksioomista lähtien todistettaisiin sitten murtoluvunkin laskuominaisuudet.